概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明.pdf

.1/30 第一章习题解答 1解：1=0,1,10；2=ini|0,1,100n,其中n为小班人数；3=,其中表示击中,表示未击中；4=yx,|22yx 1.2解：1事件CAB表示该生是三年级男生,但不是运动员；2当全学院运动员都是三年级学生时,关系式 CB 是正确的；3全学院运动员都是三年级的男生,ABC=C 成立；4当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时,A=B 成立.3解：1ABC；2ABC；3CBA；4CBA)(；5CBA；6CBCABA;CBA;BCACBACAB 4解：因 ABCAB,则 PABCPAB可知 PABC=0 所以 A、B、C 至少有一个发生的概率为 PABC=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC=31/4-1/8+0=5/8 5解：1PAB=PA+PB-PAB=0.3+0.8-0.2=0.9)(BAP=PA-PAB=0.3-0.2=0.1 2因为 PAB=PA+PB-PABPA+PB=+,所以最大值 maxPAB=min；又 PAPAB,PBPAB,故最小值 min PAB=max 6解：设 A 表示事件最小为 5,B 表示事件最大为 5.由题设可知样本点总数310Cn,2425,CkCkA.所以 31025CCAP121；31024CCBP201 7解：设 A 表示事件甲、乙两人相邻,若n个人随机排成一列,则样本点总数为!n,!2!.1 nkA,若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置,再考虑乙的位置.i表示按逆时针方向.2/30 乙在甲的第i个位置,1,.,2,1ni.则样本空间=121,.,n,事件 A=11,n所以 8解：设 A 表示事件偶遇一辆小汽车,其牌照中有数 8,则其对立事件A表示偶遇一辆小汽车,其牌照中没有数 8,即中每一位都可从除 8 以外的其他 9 个数中取,因此A包含的基本事件数为449119,样本点总数为410.故 9解：设 A、B、C 分别表示事件恰有 2 件次品、全部为正品、至少有 1 件次品.由题设知样本点总数410Cn,472723,CkCCkBA,61,103nkBPnkAPBA,而CB,所以 10解：设 A、B、C、D 分别表示事件5X 牌为同一花色、3X 同点数且另 2X 牌也同点数、5X 牌中有 2 个不同的对没有 3X 同点、4X 牌同点数.样本点总数552Cn,各事件包含的基本事件数为241123411351314,CCCCkCCkBA 148441131442424213,CCCkCCCCkDC故所求各事件的概率为：11解：2.05.07.0,4.01BAPAPABPBPBP 1972.04.07.07.0|BAPABAPBAAP 2929.02.0|BAPABPBAABP 3 852.015.0|BAPBAPBAAP 12解：令 A=两件产品中有一件是废品,B=两件产品均为废品,C=两件产品中有一件为合格品,D=两件产品中一件是合格品,另一件是废品.则 所求概率为：1 121|mMmAPABPABP 2 12|mMmCPCDPCDP 13解：设 A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙得病,由已知有：PA=0.05 PB|A=0.4 PC|AB=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为：.3/30 PABC=PAPB|APC|AB=0.016 14解：令2,1,0,ii，Ai名中国旅游者有从甲团中任选两人 B=从乙团中随机选一人是中国人,则：由全概率公式有：2020222|iimniminiibaiaCCCABPAPBP 15解：令 A=天下雨,B=外出购物则：PA=0.3,PB|A=0.2,PB|A=0.9（1）PB=PAPB|A+PAPB|A=0.69（2）PA|B=232|BPABPAP 16解：令 A=学生知道答案,B=学生不知道答案,C=学生答对 PA=0.5 PB=0.5 PC|A=1 PC|B=0.25 由全概率公式：PC=PAPC|A+PBPC|B =0.5+0.50.25=0.625 所求概率为：PA|C=8.0625.05.0 17解：令事件2,1,iiAi次取到的零件是一等品第 2,1,iiBi箱取到第则 5.021BPBP 1 4.030185.050105.0|2121111BAPBPBAPBPAP 2 4.0|2212121112112BAAPBPBAAPBPAPAAPAAP 18证明：因BAPBAP|则 经整理得：BPAPABP 即事件 A 与 B 相互独立.19解：由已知有 41BAPBAP,又 A、B 相互独立,所以 A 与B相互独立；A与 B相互独立.则可从上式解得：PA=PB=1/2 20解：设A密码被译出,iA第 i 个人能译出密码,i=1,2,3 则41)(,31)(,51)(321APAPAP)()(321AAAPAP又321,AAA相互独立,.4/30 因此)(1)(321AAAPAP)()()(1321APAPAP 6.0)411)(311)(511(1 21解：设iA第i次试验中 A 出现,4,3,2,1i则此 4 个事件相互独立.由题设有：解得 PA=0.2 22解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机,D 表示敌机被击落.于是有 D=BCACBACABABC故敌机被击落的概率为：=0.902 23解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼,则 PA=0.4,PB=0.6,PC=0.9（1）三人中恰有一人钓到鱼的概率为：=0.40.40.1+0.60.60.1+0.60.40.9=0.268（2）三人中至少有一人钓到鱼的概率为：=1-0.60.40.1 =0.976 24解：设 D=甲最终获胜,A=第一、二回合甲取胜；B=第一、二回合乙取胜；C=第一、二回合甲、乙各取胜一次.则：2,22CPBPAP .|,0|,1|DPCDPBDPADP由全概率公式得：所以 PD=212 25解：由题设 500 个错字出现在每一页上的机会均为 1/50,对给定的一页,500 个错字是否出现在上面,相当于做 500 次独立重复试验.因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式,所以所求概率为：P=5002500500491115005005050505030110.9974kkkkkkkkCC 26解：设 A=厂长作出正确决策.每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的,因此 5 个顾问向厂长贡献正确意见相当于做 5 次重复试验,则所求概率为：PA=53554.06.0kkkkC0.3174 附综合练习题解答 一、填空题 10.3;3/7;0.6.5/30 20.829;0.988 30.2;0.2 40 52/3 67/12 71/4 82/3 9 765361310C 103/64 二、选择题 1.C;2.D;3.D;4.D;5.B;6.B;7.B;8.C;9.C;10.D 三、1.1假；2假；3假；4真；5真 2.解：设 A=所取两球颜色相同 样本点总数为541619CCn,若 A 发生,意味着都取到黑球或白球,故 A 包含的基本事件数为1221213CCk,所以 PA=2/9 3.解：设 A=第三次才取得合格品 3,2,1,iiAi次取得合格品第 则321AAAA 213121|AAAPAAPAPAP=12078792103 4.解：从 0,1,9 中不放回地依次选取 3 个数,组成一个数码.若 0 在首位,该数码为两位数,否则为三位数,于是可组成的数有 1098=720 个.（1）设 A=此数个位为 5,7289Ak,PA=1/10（2）设 B=此数能被 5 整除,892Bk,PB=1/5 5.解：设 A=系统可靠,5,.,1,iiAi工作正常元件,由全概率公式有：当第 3 号元件工作不正常时,系统变为如下：1 2 4 5 图 1 当第 3 号元件工作正常时,系统变为如下：1 2 4 5 图 2 2232|PPAAP 从而 6.解：设 A=某人买到此书,iA=能从第i个新华书店买到此书,3,2,1i.6/30 由题设 412121321APAPAP 故所求概率为：6437321AAAPAP 第二章习题解答 1.设)(1xF与)(2xF分别是随机变量 X 与 Y 的分布函数,为使)()(21xbFxaF是某个随机变量的分布函数,则ba,的值可取为.A.52,53baB.32,32ba C.23,21baD.23,21ba 2.一批产品 20 个,其中有 5 个次品,从这批产品中随意抽取 4 个,求这 4 个产品中的次品数X的分布律.解：因为随机变量X这 4 个产品中的次品数 X的所有可能的取值为：0,1,2,3,4.且401554209100.2817323C CP XC；3115542045510.4696969C CP XC；221554207020.2167323C CP XC；131554201030.0310323C CP XC；04155420140.0010969C CP XC.因此所求X的分布律为：X 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010 3 如果X服从 0-1 分布,又知X取 1 的概率为它取 0 的概率的两倍,写出X的分布律和分布函数.解：设1P xp,则01P xp.由已知,2(1)pp,所以23p X的分布律为：X 0 1.7/30 P 1/3 2/3 当0 x 时,()0F xP Xx；当01x时,1()03F xP XxP X；当1x时,()011F xP XxP XP X.X的分布函数为：00()1/30111xF xxx .4.一批零件中有 7 个合格品,3 个不合格品,安装配件时,从这批零件中任取一个,若取出不合格品不再放回,而再取一个零件,直到取得合格品为止,求在取出合格品以前,已取出不合格品数的概率分布.解：设 X=在取出合格品以前,已取出不合格品数.则 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3.7010P x；377110 930P x；32 77210 9 8120P x；32 1 71310 9 8 7120P x.所以 X 的概率分布为：X 0 1 2 3 P 7/10 7/30 7/120 1/120 5.从一副扑克牌52X中发出 5X,求其中黑桃 X 数的概率分布.解：设 X其中黑桃 X 数.则 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,4,5.051339552210900.22159520C CP xC；1413395522741710.411466640C CP xC；2313395522741720.274399960C CP xC；3213395521630230.0815199920C CP xC；41133955242940.010739984C CP xC；.8/30 5013395523350.000566640C CP xC.所以 X 的概率分布为：X 0 1 2 3 4 5 P 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005 6.自动生产线在调整之后出现废品的概率为 p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数.解：由已知,()XG p 所以()(1),0,1,2iP Xippi.7.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿是相互独立的,且红、绿两种信号显示时间相同.以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求 X 的概率分布.解：X的所有可能的取值为 0,1,2,3.且102P X；1111224P X；111122228P X；111132228P X；所以 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 1/2 1/4 1/8 1/8 8.一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训,据以前的培训情况,估计大约有4%的培训者不能完成培训任务.求：（1）恰有 6 个人不能完成培训的概率；（2）不多于 4 个的概率.解：设 X不能完成培训的人数.则(100,0.04)XB,1669410060.040.960.1052P XC;24100100040.040.960.629kkkkP XC.9.一批产品的接收者称为使用方,使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率 p 接受一批产品的概率.假设你是使用方,允许次品率不超过05.0p,你方的验收标准为从这批产品中任取 100 个进行检验,若次品不超过 3 个则接受该批产品.试求使用方风险是多少？假设这批产品实际次品率为 0.06.解：设 X100 个产品中的次品数,则(100,0.06)XB,.9/30 所求概率为10010033(0.06)(0.94)0.1430kkkkP XC.10.甲、乙两人各有赌本 30 元和 20 元,以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正面,则甲赢 10 元,乙输 10 元；如果出现反面,则甲输 10 元,乙赢 10 元.分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布与相应的概率分布函数.解：设甲X投掷一次后甲的赌本,乙X投掷一次后乙的赌本.则甲X的取值为 20,40,且 120402P XP X甲甲,110302P XP X乙乙,所以甲X与乙X的分布律分别为：甲X 20 40 乙X 10 30 p 1/2 1/2 p 1/2 1/2 0,201,204021,40XxFxxx甲（）,0,101,103021,30XxFxxx乙（）11.设离散型随机变量X的概率分布为：12,1,2,100kP Xkak；22,1,2,kP Xkak,分别求1、2中常数a的值.解：1因为1001001121,kkkP Xka 即1002(12)112a,所以)12(21100a.因为1121,kkkP Xka 即121112a,所以1a.12.已知一 交换台服从4的泊松分布,求：1每分钟恰有 8 次传唤的概率；2每分钟传唤次数大于 8 次的概率.解：设 X每分钟接到的传唤次数,则()XP,查泊松分布表得 18890.05110.02140.0297P XP XP X；.10/30 280.02136P X.13.一口袋中有 5 个乒乓球,编号分别为 1、2、3、4、5,从中任取 3 个,以示 3 个球中最小,写出X的概率分布.解：X的所有可能的取值为 1,2,3.2435631105CP xC；23353210CP xC；22351310CP xC.所以 X 的概率分布为：X 1 2 3 P 6/10 3/10 1/10 14.已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)的泊松分布.若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)pp,且读者是否借书是相互独立的.求每天借书的人数 X 的概率分布.解：设Y 每天去图书馆的人数,则()YP,当Yi时,(,)XB i p,即 X 的概率分布为()e,0,1,2,!kppP Xkkk.15.设随机变量X的密度函数为 ,010,x b axf(x)其它,且3131XPXP,试求常数a和b.解：1301()3183abP Xaxb dx；113142()393abP Xaxb dx,由421183932abab得,71.5,.4ab 16.服从柯西分布的随机变量的分布函数是 F=A+Bxarctan,求常数 A,B;.11/30 1P X 以与概率密度 f.解：由()lim(arctan)02()lim(arctan)12xxFABxABFABxAB 得121AB.所以11()arctan2F xx；1 11(1)(1)0.5P XPxFF；211()()1f xF xx.17.设连续型随机变量X的分布函数为 求：1常数A的值；2X的概率密度函数)(xf；32XP.解：1由()F x的连续性得(10)(10)(1)1FFF 即21lim1xAx,所以1A,20,0(),011,1xF xxxx；22,01()()0,xxf xF x其他；32(2)1P XF.18.设随机变量X的分布密度函数为 ,01 ,1)(2其它当 xxAxf 试求：1系数A；2221XP；3X的分布函数)(xF.解：1因为111211()arcsin1Af x dxdxAxAx 所以1A,21 ,1()10 ,xf xx其它；2121112122211112()arcsin231PXf x dxdxxx；.12/30 当1x 时,()0f xP Xx,当01x时,21111()arcsin21xf xP Xxdtxt,当1x时,1211()11f xP Xxdtt,所以1,111,arcsin1211,0 xxxxxF）（19.假设你要参加在11层召开的会议,在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口,已知在任意一层等待电梯的时间服从 0 到 10 min 之间的均匀分布.电梯运行一层的时间为 10 s,从 11层电梯口到达会议室需要 20 秒.如果你不想走楼梯而执意等待电梯,则你能准时到达会场的概率是多少？解：设X=在任意一层等待电梯的时间,则(0,10)XU,由题意,若能准时到达会场,则在 10 等电梯的时间不能超过 4.5 min,所求概率为4.504.50.45100P X.20.设顾客在某银行窗口等待服务的时间Xmin服从51的指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过 10 min,他就离开.若他一个月到银行 5 次,求：一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y的分布；求1YP.解：1由已知,1(),(5,)5XEYBp 其中10101101()pP XP Xf x dx 110250115e dxe 所以Y的分布为 55(1)kkkP YkC pp2255()(1),(0,1,2,3,4,5)kkkCeek；202 02 551101()(1)0.5167P YP YC ee .21.设随机变量)4,5(NX,求使：1903.0XP；201.05XP.解：由)4,5(NX得5(0,1)2XN.13/30 1555()0.903222XP XP 查标准正态分布表得：51.32,所以6.7；2由01.05XP得,50.99PX 所以55PXPX 即()0.9952,查标准正态分布表得2.582,所以16.5 22.设)2,10(2NX,求210 ,1310XPXP.解：由)2,10(2NX得10(0,1)2XN 101013=P 01.5(1.5)(0)0.99320.50.49322XPX；10 11(1)(1)2(1)12 0.841310.68262XP .23.某地 8 月份的降水量服从185 mm,28 mm的正态分布,求该地区 8 月份降水量超过 250 mm的概率.解：设随机变量X该地 8 月份的降水量,则2(185,28)XN,从而185(0,1)28XN 所求概率为 24.测量某一目标的距离时,产生的随机误差(cm)X服从正态分布)400,0(N,求在 3 次测量中至少有 1 次误差的绝对值不超过 30 cm的概率.解：由(0,400)XN得(0,1)20XN 设Y在 3 次测量中误差的绝对值不超过 30 cm的次数,则(3,)YBp 其中30 3030 1.51.5pP XPXPX 所以 P3 次测量中至少有 1 次误差的绝对值不超过 30 cm=1P Y 25.已知测量误差2(7.5,10)XN,X 的单位是 mm,问必须进行多少次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0.9.解：设必须进行 n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0.9.14/30 由已知2(7.5,10)XN,7.5(0,1)10XN 设Yn 次测量中,绝对误差不超过10 mm的次数,则(,)YB n p 其中7.5100.25(0.25)0.598710XpP XP 所求概率为10.9P Y,即00.1P Y 000.59870.40130.1nnC,解之得,3n 必须进行 3 次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0.9.26.参加某项综合测试的 380 名学生均有机会获得该测试的满分 500 分.设学生的得分)(2，NX,某教授根据得分X将学生分成五个等级：A 级：得分)(X；B 级：)(X；C 级：X)(；D 级：)()2(X；F 级：)2(X.已知 A 级和 C 级的最低得分分别为 448 分和 352 分,则：1和是多少？2多少个学生得 B 级？解：1由已知,448352,解之得40048 201XPXP 由于 0.3413380=129.66,故应有 130 名学生得 B 级.27.已知随机变量X的概率分布如下,X -1 0 1 2 P 0.2 0.25 0.30 0.25 求13XY与12 XZ的概率分布.解：13XY的所有可能的取值为 4,1,-2,-5.且410.2P YP X；100.25P YP X；210.3P YP X；520.25P YP X.所以13XY的分布律为 13XY-5 -2 1 4 P 0.25 0.3 0.25 0.2 12 XZ的所有可能的取值为 1,2,5 且100.25P ZP X；.15/30 0,1 图 1 2110.5P ZP XP X；520.25P ZP X.所以12 XZ的分布律为 12 XZ 1 2 5 P 0.25 0.5 0.25 28.设随机变量)1,0(NX,求XY21的密度函数.解：由 XN,得2221)(xXexp,设XY21的分布函数为 FY,则 当 y1 时,121)(PyXPyYPyFY；当 y1 时,)21()21(1yFyFXX.即.1,0,1),21()21(1)(yyyFyFyFXXY 29.随机变量 X 的概率密度为 求XYln的密度函数.解：由于 y=lnx 是一个单调函数,其反函数为yex,利用公式得 Y=lnX 的密度函数为 30.设通过点)1,0(的直线与 x 轴的交角在,0上服从均匀分布,求这直线在 x 轴上截距 X的密度函数.解：以 表示过0,1点的直线与 x 轴的交角,见图 1.由题意知：随机变量 在内服从均匀分 布,故得 的概率密度为 设随机变量 X 表示直线在 x 轴上的截矩,易知 ctgX,即ctgX,其分布函数为：)()(xarcctgFxarcctgP.其密度函数为 第三章习题解答 1.设随机变量的联合分布为.16/30 若 X,Y 相互独立,则 A .A.91,92ba B.92,91ba C.31,31ba D.31,32ba 解：根据离散型随机变量独立性的定义,px=1y=2=px=1py=2 即：1/9=1/6+1/9+1/18 1/9+a得：a=2/9 px=1y=3=px=1py=3 得：b=1/9 2.同时掷两颗质体均匀的骰子,以 X,Y 分别表示第 1 颗和第 2 颗骰子出现的点数,则.A.1,1,2,636P Xi Yji j B.361 YXP C.21 YXP D.21 YXP 解：根据离散型随机变量独立性的定义,因为所有的样本点为1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6一直到6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6共 36个 X=Y 共 6 个,故 B 选项16P XY,则 C 选项56P XY XY 的样本点数为 21 个,2136P XY 3.若),(),(222211NYNX,且 X,Y 相互独立,则.A.)(,(22121NYX B.),(222121NYX C.)4,2(2222121NYX D.)2,2(2222121NYX 参看课本 69 页推论 2：随机变量)21()(2niNXiii，,且nXXX,21相互独立,常数naaa,21不全为零,则有 4.已 知(3,1),(2,1),XNYNX Y且相 互 独 立,记,72YXZ则Z.A.)5,0(N B.)12,0(N C.)54,0(N D.)2,1(N 5.已知的密度函数为 则 C 的值为.A.21 B.22 C.12 D.12 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b X Y.17/30 解：根据二维随机变量密度函数的性质：()d d1f xyx y，即：4400sin()d d1cxy x y 解得：c=12 6为使(23)e,0(,)0,xyAx yf x y其他为二维随机向量的联合密度,则 A 必为.A.0 B.6 C.10 D.16 解：同上题类似 7.设(,)X Y的密度函数为23,02,01(,)20,xyxyf x y其他,则在以,为顶点的三角形内取值的概率为.A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 解：以,为顶点的三角形内,密度函数解析式不唯一.以,为顶点的三角形内,23(,)2f x yxy 以,为顶点的三角形内,(,)0f x y 所以,2120232xpdxxy dy=0.6 8.设X,Y的联合密度函数为 判断X与Y是否相互独立.解：根据课本 62 页定理 1,先求(),()xYfxfy,然后看()()(,)xYfx fyf x y是否成立.经判断,不独立 9一个袋中有 4 个球,分别标有数字 1、2、2、3,从袋中随机取出 2 个球,令X、Y分别表示第一个球和第二个球上的,求：X,Y的联合分布列.解：根据实际意义得：px=1y=1=0 px=3y=3=0 其它概率直接求即可.Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 10设随机变量X和Y的分布如下：X 1 0 1 Y 0 1 P 412141 p 2121 又已知01P XY,试求),(YX的联合分布,并判断X和Y是否独立.18/30 解：由01P XY 得：px=-1y=1=0,px=1y=1=0 根据联合分布和边缘分布的关系,py=1=1/2,得 px=0y=1=1/2 px=0=1/2,得 px=0y=0=0,px=1=1/4,得 px=1y=0=1/4 px=-1=1/4,得 px=-1y=0=1/4 联合分布为：Y X 0 1-1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0 因为 px=0y=1=1/2,而 px=0 py=1=1/4,所以 X,Y 不独立 11设),(YX的分布列如下,写出X与Y的边缘分布.X,Y -1,1-1,3 2,0 P 1/6 1/3 1/12 5/12 解：根据联合分布和边缘分布的关系得：X-1 0 2 Y 0 1 3 ip 5/12 1/6 5/12 jp 7/12 1/3 1/12 12设二维随机变量X,Y的密度函数为 求常数C与边缘分布密度函数.解：考查二维随机变量密度函数的性质与密度函数与边缘密度函数的关系 由()d d1f xyx y，得：(1)00d d1x yCxex y 所以 C=1 边缘密度公式：()()dYfyf xyx，()()dyXfxf xy，带入得：0,00,)(xxexfxX,0,00,)1(1)(2yyyyfY 13.设二维随机变量X,Y的密度函数为（1）求X和Y的边缘密度,并判断X和Y是否独立；2求1YXP 解：1与上题类似,判断是否独立,看()()(,)xYfx fyf x y是否成立.（2）求区域上的概率.即高等数学上求二重积分.1YXP=122011(+xy)dydx3xx=65/72 14.独立投掷一枚均匀的骰子两次,记B、C为两次中各出现的点数,求一元二次方程02CBxx有实根的概率和有重根的概率.解：方程有实根即22404BCBC,参看选择第二题,样本点数为 19,故 P=19/36.方程有重根即22404BCBC,样本点为 2 个,P=2/36.15.证明二维正态随机变量),(YX相互独立的充要条件是0.19/30 证明：参见教材 61 页例 3.16.设G是由直线0y,8 yx与0 x所围成的三角形区域,二维随机变量),(YX在G上服从均匀分布,求：),(YX的联合概率密度；2,X Y的边缘分布密度函数;条件密度|(|)Y Xfy x和|(|)X Yfx y.解：1 由均 匀 分 布的 定 义 64 页例 6 ,D 为平面上面积为 A 的有界区域.其它，0)(1)(DyxAyxf 求区域的面积A=32,所以其他080,80321,xyxyxf 2边缘密度公式：()()dYfyf xyx，()()dyXfxf xy，,将密度函数带入得 其他080328xxxfX,其他080328yyyfY 3条件密度公式：|,Y XXf x yfy xfx|,X YYf x yfx yfy 17设随机变量X与Y相互独立,且分别服从参数为1和2的泊松分布,求YXZ的概率分布.解：11()!kP Xkek,22()!kP Ykek,1,2,k 即 Z 服从参数为1+2的泊松分布.18设X,Y的概率分布为：Y X-1 1 2-1 5/20 2/20 6/20 2 3/20 3/20 1/20 求：YXZ1和2ZX Y的分布列.解：考查离散型随机变量函数的分布,参看课本 67 页例 1 YXZ1-2 0 1 3 4 .20/30 P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 XYZ2 -1 -2 1 2 4 P 2/20 9/20 5/20 3/20 1/20 19.系统管理设某系统L由两个相互独立的子系统1L与2L连接而成,已知1L与2L的寿命单位：年分别为随机变量X与Y,它们的分布密度为 式中的,1L与2L的连接方式为1串联；2并联；3留2L备用.若系统L的寿命为Z,试求Z的分布密度,若2.0,1.0,试求10P Z.解：串联的情况.由于当 L1和 L2中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,所以这时 L 的寿命为 Z=min 不难求得X与分布函数分别为 于是 Z=min的分布函数 Z=min的密度函数 并联的情况.由于当且仅当 L1和 L2都损坏时,系统 L 才停止工作,所以这时 L 的寿命为 Z=max 其分布函数 于是 Z=max的密度函数 备用的情况.由于当 L1损坏时才启用 L2,因此系统 L 的寿命是 L1和 L2两者寿命之和,即有 Z=X+Y 于是,当 z0 时 Z 的密度函数为 当0z 时()0Zfz,所以 第四章习题解答 1设随机变量 XB30,61,则 EX.A.61；B.65；C.625；D.5.2 已知随机变量 X 和 Y 相互独立,且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布,则 E=A.A.3；B.6；C.10；D.12.因为随机变量 X 和 Y 相互独立所以()()()3E XYE X E Y 3设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4,则 X2的数学期望 E_18.4_ 4某射手有 3 发子弹,射一次命中的概率为32,如果命中了就停止射击,否则一直射到子弹用尽设表示 X 耗用的子弹数求 EX.21/30 解：X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 5设 X 的概率密度函数为 求2(),().E XE X 解：12201()()(2)1E Xxf x dxx dxxx dx,122232017()()(2)6E Xx f x dxx dxxx dx.6设随机向量的联合分布律为：Y X-1 1 2-1 0.25 0.1 0.3 2 0.15 0.15 0.05 求(),(),().E XE YE XY 解：X-1 2 P 0.65 0.35()0.650.3520.05E X .Y-1 1 2 P 0.4 0.25 0.35 7设二维随机向量X,Y的联合概率密度为 求1()E XY;()E XY.解：()()(,)E XYxy f x y dxdy 0()3yxxy e dy dx 8设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D=1,D=2,则 D=3.9 设正方形的边长在区间 0,2 服从均匀分布,则正方形面积 A=X2的方差为_64/45_.41()1,(),123E XD XX 的密度函数1/2,02()0 xf x，其他 10设随机变量 X 的分布律为 X-1 0 1 2 P 1/5 1/2 1/5 1/10 求 D.解：22()()()D XE XE X,1111()10 1255105E X ,22221114()(1)0 1255105E X,.22/30 224119()()()52525D XE XE X.11设随机变量 X 的概率密度函数为|1()e2xf x,求 D 解：1()()02xE Xxf x dxxedx,22201()()222xE Xx f x dxx e dx,22()()()2D XE XE X.12设随机变量 X,Y 相互独立,其概率密度函数分别为 求 D,D,D 解：由本章习题 5 知()1E X,27()6E X,于是有 221()()()6D XE XE X.由(1)YE知()()1E XD X.由于随机变量 X,Y 相互独立,所以 7()()()6D XYD XD Y.13设 D=1,D=4,相关系数0.5XY,则 cov=_1_.cov=()()1XYD X D Y 14设二维随机变量的联合密度函数为 求 cov,XY 解：()(,)E Xxf x y dxdy 22001sin()24xxy dxdy,22011(cos+sin)2282xx dx,2221()()()2162D XE XE X.由对称性()()4E YE X,21()()2162D YD X.cov=22()()()().24E XYE X E Y=-00461，15设二维随机变量有联合概率密度函数 试求 E,E,cov,XY.23/30 解：()(,)E Xxf x y dxdy 220017()86x xy dxdy,由对称性7()6E Y.220014()()(,)()()83E XYxy f x y dxdyxyxy dxdy ,cov=1()()()36E XYE X E Y.222220015()()(,)()()83E Xxf x y dxdyxxy dxdy ,2211()()()36D XE XE X.由对称性11()36D Y.16设 X,Y 相互独立,XN,YN,Z=X+2Y,试求 X 与 Z 的相关系数 解：cov(,)cov(,2)()2cov(,)1 01X ZX XYD XX Y,()(2)()4()9D ZD XYD XD Y,cov(,)13()()xzx zD X D Z.17 设随机变量XN,Y 在0,6上服从均匀分布,相关系数12XY,求 1(2)E XY；2(2)D XY.解：(2)()2()52 31E XYE XE Y ,18设二维随机向量X,Y的概率密度为 求1EXY；2EXY；3XY.解：100()()(,)2()1xE XYxy f x y dxdyxy dy dx ;1001()()(,)2()4xE XYxy f x y dxdyxy dxdy ;cov=1()()()36E XYE X E Y 221()()()18D XE XE X,221()()()18D YE YE Y 第五章习题解答 1.设随机变量X的方差为 2,则根据车比雪夫不等式有估计()2P XE X 1/2 .24/30 2.随机变量X和Y的数学期望分别为-2 和 2,方差分别为 1 和 4,相关系数为-0.5,则根据车比雪夫不等式有估计6PXY1/12.3.电站供应一万户用电 设用电高峰时,每户用电的概率为 09,利用中心极限定理,1计算同时用电的户数在 9030 户以上的概率；2若每户用电 200 w,电站至少应具有多大发电量才能以 095 的概率保证供电？解：设X表示用电户数,则 由中心定理定理 4得 设发电量为Y,依题意 即900090002000.95900900YXP 4.某车间有 150 台同类型的机器,每台机器出现故障的概率都是 002,设各台机器的工作是相互独立的,求机器出现故障的台数不少于 2 的概率 解：设X表示机器出故障的台数,则(150,0.02)XB 5.