2016年四川省达州市中考数学试卷解读.pdf

第 1 页（共 1 页）2016 年四川省达州市中考数学试卷 一、（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）1（3 分）（2016达州）下列各数中最小的是（）A0B3CD1 2（3 分）（2016达州）在“十二五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819 亿元增加到 1351 亿元，年均增长约 10%，将 1351 亿元用科学记数法表示应为（）A1.3511011B13.511012C1.3511013D0.13511012 3（3 分）（2016达州）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（）A遇 B见 C未 D来 4（3 分）（2016达州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD 5（3 分）（2016达州）下列说法中不正确的是（）A函数 y=2x 的图象经过原点 B函数 y=的图象位于第一、三象限 C函数 y=3x1 的图象不经过第二象限 D函数 y=的值随 x 的值的增大而增大 6（3 分）（2016达州）如图，在 55 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）ABCD 第 1 页（共 1 页）7（3 分）（2016达州）如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2），B 是 y 轴左侧A 优弧上一点，则 tan OBC 为（）AB2CD 8（3 分）（2016达州）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三角形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是（）A25B33C34D50 9（3 分）（2016达州）如图，在 ABC 中，BF 平分 ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（）A2B3C4D5 10（3 分）（2016达州）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1下列结论：abc0 4a+2b+c0 4acb28a a bc 其中含所有正确结论的选项是（）第 1 页（共 1 页）ABCD 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，把最后答案直接填在题中的横线上）11（3 分）（2016葫芦岛）分解因式：a34a=12（3 分）（2016达州）如图，AB CD，AE 交 CD 于点 C，DEAE 于点 E，若 A=42，则 D=13（3 分）（2016达州）已知一组数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2，则这组数据的方差是 14（3 分）（2016达州）设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x2018=0 的两个实数根，则m2+3m+n=15（3 分）（2016达州）如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AQ，连接 BQ若 PA=6，PB=8，PC=10，则四边形 APBQ 的面积为 16（3 分）（2016达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB：BC=3：2，点 A（3，0），B（0，6）分别在 x 轴，y 轴上，反比例函数 y=（x0）的图象经过点 D，且与边 BC 交于点 E，则点 E 的坐标为 第 1 页（共 1 页）三、解答题（72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题 2 个小题，共 12 分）17（6 分）（2016达州）计算：（2016）0+|3|4cos45 18（6 分）（2016达州）已知 x，y 满足方程组，求代数式（xy）2（x+2y）（x2y）的值 （二）、本题 2 个小题，共 14 分 19（7 分）（2016达州）达州市图书馆今年 4 月 23 日开放以来，受到市民的广泛关注.5 月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表 八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表 去图书馆的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以上 人数 8 12 a 10 4 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）填空：a=，b=；（2）求扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数；（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，谈谈对新图书馆的印象和感受求恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率 20（7 分）（2016达州）如图，在ABCD 中，已知 ADAB（1）实践与操作：作 BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明 （三）、本题 2 个小题，共 16 分 21（8 分）（2016达州）如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东端 N 有 20km以轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 第 1 页（共 1 页）A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏西 30方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60方向，且与灯塔 C 相距 12km（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由（参考数据：1.4，1.7）22（8 分）（2016达州）如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接 AC，BC，过点 O 作 ODAC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD并延长交 AE 于点 F（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆 O 的直径为 10，sin BAC=，求 AF 的长 （四）、本题 2 个小题，共 19 分 23（9 分）（2016达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌 a 270 500 元 餐椅 a110 70 已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同（1）求表中 a 的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200 张该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了 2250 元请问本次成套的销售量为多少？24（10 分）（2016达州）ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点D 不与 B，C 重合），以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF（1）观察猜想 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，BC 与 CF 的位置关系为：BC，CD，CF 之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）第 1 页（共 1 页）（2）数学思考 如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸 如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE 若已知 AB=2，CD=BC，请求出 GE 的长 （五）、本题 11 分 25（11 分）（2016达州）如图，已知抛物线 y=ax2+2x+6（a0）交 x 轴与 A，B 两点（点A 在点 B 左侧），将直尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45放置，边 WZ 经过抛物线上的点 C（4，m），与抛物线的另一交点为点 D，直尺被 x 轴截得的线段 EF=2，且 CEF 的面积为 6（1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使得 ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）将直尺以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向左平移，设平移的时间为 t 秒，平移后的直尺为 WXYZ，其中边 XY所在的直线与 x 轴交于点 M，与抛物线的其中一个交点为点 N，请直接写出当 t 为何值时，可使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形 第 1 页（共 1 页）2016 年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）1（3 分）（2016达州）下列各数中最小的是（）A0B3CD1【分析】根据正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数绝对值大的反而小即可解答【解答】解：因为在 A、B、C、D 四个选项中只有 B、C 为负数，故应从 B、C 中选择；又因为|3|=2，所以3，故选 B【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数比较大小的方法：（1）正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；（2）两个负数绝对值大的反而小 2（3 分）（2016达州）在“十二五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819 亿元增加到 1351 亿元，年均增长约 10%，将 1351 亿元用科学记数法表示应为（）A1.3511011B13.511012C1.3511013D0.13511012【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值是易错点，由于 1351 亿有 12 位，所以可以确定 n=121=11【解答】解：1351 亿=135 100 000 000=1.3511011 故选 A【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键 3（3 分）（2016达州）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（）A遇 B见 C未 D来【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“遇”与“的”是相对面，“见”与“未”是相对面，“你”与“来”是相对面 故选 D【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题 第 1 页（共 1 页）4（3 分）（2016达州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集【解答】解：由得，x3；由得，x；所以，不等式组的解集为x3 故选 A【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”得到公共部分 5（3 分）（2016达州）下列说法中不正确的是（）A函数 y=2x 的图象经过原点 B函数 y=的图象位于第一、三象限 C函数 y=3x1 的图象不经过第二象限 D函数 y=的值随 x 的值的增大而增大【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案【解答】解：A、函数 y=2x 的图象经过原点，正确，不合题意；B、函数 y=的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；C、函数 y=3x1 的图象不经过第二象限，正确，不合题意；D、函数 y=的值，在每个象限内，y 随 x 的值的增大而增大，故错误，符合题意 故选：D【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键 6（3 分）（2016达州）如图，在 55 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）第 1 页（共 1 页）ABCD【分析】从点 A，B，C，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：从点 A，B，C，D 中任取三点能组成三角形的一共有 4 种可能，其中 ABD，ADC，ABC 是直角三角形，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 故选 D【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系和勾股定理的逆定理运用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型 7（3 分）（2016达州）如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2），B 是 y 轴左侧A 优弧上一点，则 tan OBC 为（）AB2CD【分析】作直径 CD，根据勾股定理求出 OD，根据正切的定义求出 tan CDO，根据圆周角定理得到 OBC=CDO，等量代换即可【解答】解：作直径 CD，在 Rt OCD 中，CD=6，OC=2，则 OD=4，tan CDO=，由圆周角定理得，OBC=CDO，则 tan OBC=，故选：C 第 1 页（共 1 页）【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 8（3 分）（2016达州）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三角形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是（）A25B33C34D50【分析】由第一次操作后三角形共有 4 个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第 n 次操作后三角形共有 4+3（n1）=3n+1 个，根据题意得 3n+1=100，求得 n 的值即可【解答】解：第一次操作后，三角形共有 4 个；第二次操作后，三角形共有 4+3=7 个；第三次操作后，三角形共有 4+3+3=10 个；第 n 次操作后，三角形共有 4+3（n1）=3n+1 个；当 3n+1=100 时，解得：n=33，故选：B【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第 n 次操作后，三角形的个数为 3n+1是解题关键 9（3 分）（2016达州）如图，在 ABC 中，BF 平分 ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（）A2B3C4D5 第 1 页（共 1 页）【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DF=AB=AD=BD=5 且 ABF=BFD，结合角平分线可得 CBF=DFB，即 DE BC，进而可得 DE=8，由 EF=DEDF 可得答案【解答】解：AFBF，AFB=90，AB=10，D 为 AB 中点，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又 BF 平分 ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DE BC，ADE ABC，=，即，解得：DE=8，EF=DEDF=3，故选：B【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键 10（3 分）（2016达州）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1下列结论：abc0 4a+2b+c0 4acb28a a bc 其中含所有正确结论的选项是（）ABCD【分析】根据对称轴为直线 x=1 及图象开口向下可判断出 a、b、c 的符号，从而判断；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得的判断；根据图象经过（1，0）可得到 a、第 1 页（共 1 页）b、c 之间的关系，从而对作判断；从图象与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间可以判断 c 的大小得出的正误【解答】解：函数开口方向向上，a0；对称轴在原点左侧 ab 异号，抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴，c0，abc0，故正确；图象与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x=1，图象与 x 轴的另一个交点为（3，0），当 x=2 时，y0，4a+2b+c0，故错误；图象与 x 轴交于点 A（1，0），当 x=1 时，y=（1）2a+b（1）+c=0，ab+c=0，即 a=bc，c=ba，对称轴为直线 x=1=1，即 b=2a，c=ba=（2a）a=3a，4acb2=4a（3a）（2a）2=16a20 8a0 4acb28a 故正确 图象与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间，2c1 23a1，a；故正确 a0，bc0，即 bc；故正确；故选：D【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系 解题关键是注意掌握数形结合思想的应用 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，把最后答案直接填在题中的横线上）11（3 分）（2016葫芦岛）分解因式：a34a=a（a+2）（a2）【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式=a（a24）=a（a+2）（a2）第 1 页（共 1 页）故答案为：a（a+2）（a2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 12（3 分）（2016达州）如图，AB CD，AE 交 CD 于点 C，DEAE 于点 E，若 A=42，则 D=48 【分析】首先根据平行线的性质求得 ECD 的度数，然后在直角 ECD 中，利用三角形内角和定理求解【解答】解：AB CD，ECD=A=42，又 DEAE，直角 ECD 中，D=90 ECD=9042=48 故答案为：48【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确理解定理是关键 13（3 分）（2016达州）已知一组数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2，则这组数据的方差是 frac53 【分析】先由平均数的公式计算出 x 的值，再根据方差的公式计算即可【解答】解：数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2，（0+1+2+2+x+3）6=2，x=4，这组数据的方差=（20）2+（21）2+（22）2+（22）2+（24）2+（23）2=，故答案为：【点评】本题考查方差的定义：一般地设 n 个数据，x1，x2，xn的平均数为，则方差 S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 14（3 分）（2016达州）设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x2018=0 的两个实数根，则m2+3m+n=2016 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2=2m+2018，则 m2+3m+n 可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到 m+n=2，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：m 为一元二次方程 x2+2x2018=0 的实数根，m2+2m2018=0，即 m2=2m+2018，m2+3m+n=2m+2018+3m+n=2018+m+n，m，n 分别为一元二次方程 x2+2x2018=0 的两个实数根，第 1 页（共 1 页）m+n=2，m2+3m+n=20182=2016【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程根的定义 15（3 分）（2016达州）如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AQ，连接 BQ若 PA=6，PB=8，PC=10，则四边形 APBQ 的面积为 24+9sqrt3 【分析】连结 PQ，如图，根据等边三角形的性质得 BAC=60，AB=AC，再根据旋转的性质得 AP=PQ=6，PAQ=60，则可判断 APQ 为等边三角形，所以 PQ=AP=6，接着证明 APC ABQ 得到 PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明 PBQ 为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用 S四边形APBQ=S BPQ+S APQ进行计算【解答】解：连结 PQ，如图，ABC 为等边三角形，BAC=60，AB=AC，线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AQ，AP=PQ=6，PAQ=60，APQ 为等边三角形，PQ=AP=6，CAP+BAP=60，BAP+BAQ=60，CAP=BAQ，在 APC 和 ABQ 中，APC ABQ，PC=QB=10，在 BPQ 中，PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而 64+36=100，PB2+PQ2=BQ2，PBQ 为直角三角形，BPQ=90，S四边形APBQ=S BPQ+S APQ=68+62=24+9 故答案为 24+9 第 1 页（共 1 页）【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了勾股定理和等边三角形的性质 16（3 分）（2016达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB：BC=3：2，点 A（3，0），B（0，6）分别在 x 轴，y 轴上，反比例函数 y=（x0）的图象经过点 D，且与边 BC 交于点 E，则点 E 的坐标为（2，7）【分析】首先过点 D 作 DFx 轴于点 F，易证得 AOB DFA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点 D 的坐标，即可求得反比例函数的解析式，再利用平移的性质求得点 C的坐标，继而求得直线 BC 的解析式，则可求得点 E 的坐标【解答】解：过点 D 作 DFx 轴于点 F，则 AOB=DFA=90，OAB+ABO=90，四边形 ABCD 是矩形，BAD=90，AD=BC，OAB+DAF=90，ABO=DAF，AOB DFA，OA：DF=OB：AF=AB：AD，AB：BC=3：2，点 A（3，0），B（0，6），AB：AD=3：2，OA=3，OB=6，DF=2，AF=4，OF=OA+AF=7，点 D 的坐标为：（7，2），反比例函数的解析式为：y=，点 C 的坐标为：（4，8），设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则，第 1 页（共 1 页）解得：，直线 BC 的解析式为：y=x+6，联立得：或（舍去），点 E 的坐标为：（2，7）故答案为：（2，7）【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质 注意准确作出辅助线是解此题的关键 三、解答题（72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题 2 个小题，共 12 分）17（6 分）（2016达州）计算：（2016）0+|3|4cos45【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：原式=21+34=2【点评】此题考查了平方根，绝对值，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18（6 分）（2016达州）已知 x，y 满足方程组，求代数式（xy）2（x+2y）（x2y）的值【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，求出方程组的解得到 x 与 y 的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式=（x22xy+y2）（x24y2）=x22xy+y2x2+4y2=2xy+5y2，方程组，+得：3x=3，即 x=1，把 x=1 代入得：y=，第 1 页（共 1 页）则原式=+=【点评】此题考查了代数式求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 （二）、本题 2 个小题，共 14 分 19（7 分）（2016达州）达州市图书馆今年 4 月 23 日开放以来，受到市民的广泛关注.5 月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表 八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表 去图书馆的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以上 人数 8 12 a 10 4 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）填空：a=16，b=20；（2）求扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数；（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，谈谈对新图书馆的印象和感受求恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率 【分析】（1）根据去图书馆“1 次”的学生数其占全班人数的百分比可得总人数，将总人数减去其余各次数的人数可得“2 次”的人数，即 a 的值，将“3 次”的人数除以总人数可得 b 的值；（2）将 360乘以“0 次”人数占总人数比例可得；（3）直接根据概率公式可得【解答】解：（1）该班学生总数为：1224%=50（人），则 a=50812104=16，b=100=20；（2）扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数为：360=57.6；（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，有 50 种等可能结果，其中恰好抽中去过“4 次及以上”的同学有 4 种结果，故恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率为=第 1 页（共 1 页）故答案为：（1）16，20【点评】本题考查了扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图和统计表中得到必要的信息是解决问题的关键 20（7 分）（2016达州）如图，在ABCD 中，已知 ADAB（1）实践与操作：作 BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明 【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF；画出图形即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出 BAE=AEB，证出 BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出 BE=AF，即可得出结论【解答】解：（1）如图所示：（2）四边形 ABEF 是菱形；理由如下：四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，DAE=AEB，AE 平分 BAD，BAE=DAE，BAE=AEB，BE=AB，由（1）得：AF=AB，BE=AF，又 BE AF，四边形 ABEF 是平行四边形，AF=AB，四边形 ABEF 是菱形 【点评】本题考查了平行四边形的性质、作图基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明 BE=AB 是解决问题（2）的关键 （三）、本题 2 个小题，共 16 分 21（8 分）（2016达州）如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东端 N 有 20km以轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏西 30方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60方向，且与灯塔 C 相距 12km 第 1 页（共 1 页）（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由（参考数据：1.4，1.7）【分析】（1）延长 AB 交海岸线 l 于点 D，过点 B 作 BE海岸线 l 于点 E，过点 A 作 AFl于 F，首先证明 ABC 是直角三角形，再证明 BAC=30，再求出 BD 的长即可角问题（2）求出 CD 的长度，和 CN、CM 比较即可解决问题【解答】解：（1）延长 AB 交海岸线 l 于点 D，过点 B 作 BE海岸线 l 于点 E，过点 A 作AFl 于 F，如图所示 BEC=AFC=90，EBC=60，CAF=30，ECB=30，ACF=60，BCA=90，BC=12，AB=36=24，AB=2BC，BAC=30，ABC=60，ABC=BDC+BCD=60，BDC=BCD=30，BD=BC=12，时间 t=小时=20 分钟，轮船照此速度与航向航向，上午 11：00 到达海岸线（2）BD=BC，BECD，DE=EC，在 RT BEC 中，BC=12，BCE=30，BE=6，EC=610.2，CD=20.4，2020.421.5，轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头 【点评】本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出 BAC=30，属于中考常考题型 第 1 页（共 1 页）22（8 分）（2016达州）如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接 AC，BC，过点 O 作 ODAC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD并延长交 AE 于点 F（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆 O 的直径为 10，sin BAC=，求 AF 的长 【分析】（1）只要证明 EAD ABC 即可解决问题（2）作 DMAB 于 M，利用 DM AE，得=，求出 DM、BM 即可解决问题【解答】（1）证明：AB 为半圆 O 的直径，C=90，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE 是切线，OAAE，E+AOE=90，E=CAB，EAD ABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB （2）解：作 DMAB 于 M，半圆 O 的直径为 10，sin BAC=，BC=ABsin BAC=6，AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sin OAD=，sin OAD=sin MAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DM AE，第 1 页（共 1 页）=，AF=【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 （四）、本题 2 个小题，共 19 分 23（9 分）（2016达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌 a 270 500 元 餐椅 a110 70 已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同（1）求表中 a 的值；（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200 张该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了 2250 元请问本次成套的销售量为多少？【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；（2）设购进餐桌 x 张，餐椅（5x+20）张，销售利润为 W 元根据购进总数量不超过 200张，得出关于 x 的一元一次不等式，解不等式即可得出 x 的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出 W 关于 x 的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；（3）设本次成套销售量为 m 套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于 m 的一元一次方程，解方程即可得出结论【解答】解：（1）由题意得=，解得 a=150，经检验，a=150 是原分式方程的解；（2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为 W 元 由题意得：x+5x+20200，解得：x30 a=150，餐桌的进价为 150 元/张，餐椅的进价为 40 元/张 第 1 页（共 1 页）依题意可知：W=x（500150440）+x（270150）+（5x+20 x4）（7040）=245x+600，k=2450，W 关于 x 的函数单调递增，当 x=30 时，W 取最大值，最大值为 7950 故购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 7950 元（3）涨价后每张餐桌的进价为 160 元，每张餐椅的进价为 50 元，设本次成套销售量为 m 套 依题意得：（500160450）m+（30m）（270160）+（1704m）（7050）=79502250，即 670050m=5700，解得：m=20 答：本次成套的销售量为 20 套【点评】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式、一次函数的性质及解一元一次方程，解题的关键是：（1）由数量相等得出关于 a 的分式方程；（2）根据数量关系找出 W 关于 x 的函数解析式；（3）根据数量关系找出关于 m 的一元一次方程本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（方程或方程组）是关键 24（10 分）（2016达州）ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点D 不与 B，C 重合），以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF（1）观察猜想 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，BC 与 CF 的位置关系为：垂直 BC，CD，CF 之间的数量关系为：BC=CD+CF；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考 如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸 如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE 若已知 AB=2，CD=BC，请求出 GE 的长 【分析】（1）根据正方形的性质得到 BAC=DAF=90，推出 DAB FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形 ADEF 的性质可推出 DAB FAC，根据全等三角形的性质得到 CF=BD，ACF=ABD，根据余角的性质即可得到结论；第 1 页（共 1 页）（2）根据正方形的性质得到 BAC=DAF=90，推出 DAB FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论（3）根据等腰直角三角形的性质得到 BC=AB=4，AH=BC=2，求得 DH=3，根据正方形的性质得到 AD=DE，ADE=90，根据矩形的性质得到 NE=CM，EM=CN，由角的性质得到 ADH=DEM，根据全等三角形的性质得到 EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到 CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）正方形 ADEF 中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在 DAB 与 FAC 中，DAB FAC，B=ACF，ACB+ACF=90，即 CFBD；故答案为：垂直；DAB FAC，CF=BD，BC=BD+CD，BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；（2）CFBC 成立；BC=CD+CF 不成立，CD=CF+BC 正方形 ADEF 中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在 DAB 与 FAC 中，DAB FAC，ABD=ACF，BAC=90，AB=AC，ACB=ABC=45 ABD=18045=135，BCF=ACF ACB=13545=90，CFBC CD=DB+BC，DB=CF，CD=CF+BC （3）解：过 A 作 AHBC 于 H，过 E 作 EMBD 于 M，ENCF 于 N，BAC=90，AB=AC，第 1 页（共 1 页）BC=AB=4，AH=BC=2，CD=BC=1