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数学中的中国传统文化 一、算法问题 1用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，需要做减法的次数为()A2 B3 C4 D5 答案 C 解析(84,294)(84,210)(84,126)(84,42)(42,42)，一共做了 4 次减法 2如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着 九章算术 中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为 14,18，则输出的a为()A4 B2 C0 D14 答案 B 解析 由题意输出的a是 18,14 的最大公约数 2，故选 B.3用辗转相除法求 459 和 357 的最大公约数，需要做除法的次数是()A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 4593571102，357102351，102512，459 和 357 的最大公约数是 51，需要做除法的次数是 3.4秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数fn(x)anxnan1xn1a1xa0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和n?n1?2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了 CPU 运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义运用秦九韶算法计算f(x)4x5x43x35x当x3 时的值时，最先计算的是()A5315 B34 C3335366 D364351 答案 B 解析 f(x)4x5x43x35x(4)x1)x3)x0)x5)x，然后由内向外计算，最先计算的是34.5若用秦九韶算法求多项式f(x)4x5x22当x3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A4,2 B5,3 C5,2 D6,2 答案 C 解析 f(x)(4x)x)x1)x)x2，乘法要运算 5 次，加减法要运算 2 次 6已知函数f(x)6x65，当xx0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为()A21,6,2 B7,1,2 C0,1,2 D0,6,1 答案 D 解析 f(x)6x65，多项式的最高次项的次数是 6，要进行乘法运算的次数是 6.要进行加法运算的次数是 1，运算过程中不需要乘方运算 7中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的a依次为 2,2,5，x，n均为 2，则输出的s等于()A7 B12 C17 D34 答案 C 解析 第一次运算，a2，s2，n2，k1，不满足kn；第二次运算，a2，s2226，k2，不满足kn；第三次运算，a5，s62517，k3，满足kn，输出s17，故选 C.8用秦九韶算法求多项式f(x)x33x22x11 的值时，应把f(x)变形为()Ax3(3x2)x11 B(x3)x2(2x11)C(x1)(x2)x11 D(x3)x2)x11 答案 D 解析 f(x)x33x22x11(x3)x2)x11 9用秦九韶算法求函数f(x)3x52x42x34x27 当x2 的值时，v3的结果是()A4 B10 C16 D33 答案 C 解析 函数f(x)3x52x42x34x27(3x2)x2)x4)x)x7，当x2 时，v03，v13224，v242210，v3102416.10用秦九韶算法求多项式f(x)x65x56x4x22 的值，当x2 时，v1的值为()A1 B7 C7 D5 答案 C 解析 f(x)x65x56x4x22(x5)x6)x0)x1)xx2，v0a61,v1v0 xa51(2)57.11利用秦九韶算法求多项式f(x)6x45x32x6 的值，当x3 时，v3的值为()A486 B351 C115 D339 答案 C 解析 f(x)6x45x32x6(6x5)x0)x2)x6，v0a46，v1v0 xa363513，v2v1xa2133039，v3v2xa13932115.12秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所着的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为 4,3，则输出v的值为()A20 B61 C183 D548 答案 C 解析 由程序框图知，初始值：n4，x3，v1，i3，第一次循环：v6，i2；第二次循环：v20，i1；第三次循环：v61，i0；第四次循环：v183，i1.结束循环，输出当前v的值 183.13原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天()A1 326 B510 C429 D336 答案 B 解析 由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为 173372276510.14用秦九韶算法计算多项式f(x)5x54x43x32x2x1，乘法运算次数为_加法运算次数为_ 答案 5 5 解析 f(x)(5x4)x3)x2)x1)x1，乘法要运算 5 次，加法要运算 5 次 15若f(x)x43x3x1，用秦九韶算法计算f()时，需要乘法m次，加法n次，则mn_.答案 6 解析 f(x)x43x3x1(x3)x)x1)x1，用秦九韶算法计算f()时，乘法运算与加法运算的次数和等于 6.16我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc(a，b，c，dN*)，则bdac是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道 59，若令31104915，则第一次用“调日法”后得165是 的更为精确的过剩近似值，即31100)，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(，1,0)，C(0,1,0)，PB(，1，1)，因为点E是棱PC的中点，所以E(0，12，12)，DE(0，12，12)，于是PBDE0，所以PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因为PC(0,1，1)，所以DEPC0，所以DEPC，而PBPCP，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)解 由PD平面ABCD，所以DP(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量 由(1)知，PB平面DEF，所以BP(，1,1)是平面DEF的一个法向量 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3，则 cos 3|BPDP|BP|DP|122|12，结合0，解得2，所以DCBC122.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3时，DCBC22.四、其他问题 1我国古代数学名着九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为()A134 石 B169 石 C338 石 D1 365 石 答案 B 解析 抽样比是28254，那么 1 534 石米夹谷 1 53428254169(石)，故选 B.22016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2a1c2；c1a12a2,2c12c2，即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确 a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正确 a1a20，c1c20，a21a22，c21c22.又a1c1a2c2，即a1c2a2c1，即a21c222a1c2a22c212a2c1，a21c21c22a222a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c2a1c2，正确 c1a2a1c2，a10，a20，c1a2a1a2a1c2a1a2，即c1a1c2a2，不正确 故选 D.3古代数学名着九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d 3169V，人们还用过一些类似的近似公式根据 159，判断下列近似公式中最精确的一个是()Ad 3169V Bd 32V Cd 3300157V Dd 32111V 答案 D 解析 由V43(d2)3，解得d36V，令ab6，则 6ba，选项 A 代入得 6916，选项 B 代入得 623，选项 C 代入得 6157300，选项 D 代入得 11621 857.故 D 项中的近似公式最精确 4“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是()A132 答案 A 解析 设小正方形的边长为x，由于 sin 12，cos 32，即x1232，则x31，故飞镖落在小正方形内的概率是P4234132，故选 A.5如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为，则 tan _.答案 34 解析 由题意得，大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2，210cos 10sin，cos sin 15，又为锐角，易求得 tan 34.62002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为.那么 cos 2的值等于_ 答案 725 解析 小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，每一个直角三角形的面积是 6，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则 a2b225，12ab6，两条直角边的长分别为 3,4，又直角三角形中较小的锐角为，cos 45，cos 22cos21725.7数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是_ 答案 49 解析 三位数的回文数为ABA，A共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1B1、2B2、3B3、9B9，B共有 0 到 9 共 10 种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，共有 91090 个，其中偶数为A是偶数，共 4 种可能，即 2B2、4B4、6B6、8B8，B共有 0 到 9 共 10 种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，共有 41040 个，三位数的回文数中，偶数的概率P409049.8欧阳修 卖油翁 中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为 cm 的圆，中间有边长为 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为_ 答案 49 解析 由题意可得铜钱的面积S(错误!)2错误!，边长为 cm 的正方形孔的面积S14，所求概率PSS49.92011 年，国际数学协会正式宣布，将每年的 3 月 14 日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得 5 个学豆、10 个学豆、20 个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为34，23，12，选手选择继续闯关的概率均为12，且各关之间闯关成功互不影响(1)求选手获得 5 个学豆的概率；(2)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率 答案(1)P(X5)341238.(2)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，P(A1)3412(123)18，P(A2)34122312(112)116.P(A)P(A1)P(A2)18116316.10九章算术是我国古代数学成就的杰出代表其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12(弦矢矢2)弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为23，弦长等于9 m 的弧田 (1)计算弧田的实际面积；(2)按照 九章算术 中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少m2(结果保留两位小数)答案(1)扇形半径r33，扇形面积为12r21223(33)29，弧田实际面积为12r212r2sin2392734(m2)(2)圆心到弦的距离等于12r，所以矢长为12r.按照上述弧田面积经验公式计算得 12(弦矢矢2)12(9332274)274(312)927342734278 m2，按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 m2.