概率试卷(一)卷附答案.pdf
概率论与数理统计试卷一 一、选择题（共 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分）1设事件 A 与 B 互不相容，则(D ).A()0P AB；B()()()P ABP A P B；C.()1()P AP B；D()1P AB.2.设随机变量 X 的分布函数为0,0 1(),0121,1xxF xxex，则(1)P X（C ）.A0；B12；C.112e；D11 e.3.设随机变量 X 的分布函数为1()0.3()0.7()2xF xx，其中()x为标准正态分布，则 EX=（C ）.A.0;B.0.3；C.0.7;D.1.4设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间0,1上的均匀分布，则 22(1P XY（D ）.A.14;B.12；C.8;D.4.5.设随机变量 X,Y 独立同分布，X 的分布为 F(x)，max,ZX Y的分布函数 为（B ）.A()()F x F y；B2()Fx；C.21 1()F x；D1()1()F xF y.6.设二维随机变量（X，Y）服从22(,;,0)N ；则2()E X Y（A ）.A.22()；B2()；C.22()；D2().1/5 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，共计 12 分）1.已知111(),(|),(|)432P AP B AP A B，则()P AB 1 3.2.设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则2()P XEX11 2e.3.设随机变量 X 和 Y 相互独立，密度函数分别为1,01()0,Xxfx其它，,0()0,yYeyfy其它，则 Z=X+Y 的概率密度为()Zfz 1,01(1),1 0,zzezeez其它.4.设12,mXXX为来自二项分布总体(,)b n p的简单随机样本，2,X S分别为样本均值和样本方差，若22=E XkSnp，则k -1 .三、计算下列各题（共 3 小题，每小题 8 分，共计 24 分）1.在 150 个产品中有 40 个次品，110 个正品，从中任取 20 个产品，求（1）恰好取到 9 个次品的概率；（2）至少取到 2 个次品的概率.解：（1）91140110120150C CpC.（2）2011911040110220201501501CC CpCC.2.设随机变量 X 的概率密度函数 2,01()0,xxf x其它，现对 X 作 40 次独立重复观察，求事件12X 出现的次数在 10 至 15 之间的概率.（提示：用正态逼近，(1.83)0.9664）解 记 Y 表示40 次独立重复观察中事件12X 出现的次数，由题知(40,)Ybp，其中 2/5 12011()224pP Xxdx 即 1(40,)4Yb，1510,2EYnpDXnpq，15 1010 1030(1015)(0)3151522PY=1.83(0)0.96640.50.4664.3一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 0.5，若第一次 及格则第二次及格的概率也为 0.5，若第一次不及格则第二次及格的概率为 0.25.求（1）该学生两次考试中至少有一次及格的概率；（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率.解（1）设12,A A分别表示第一、二次考试及格。121212()()()()P AAP AP AP A A 220.5(0.50.5 0.25)0.5=0.625 （2）2121222()0.52(|)()0.50.5 0.253P A AP A AP A。四、（10 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白色球，现有放回地从 袋中取两次球，每次取一个，以X，Y 分别表示两次取球所得的红球、黑 球的个数，（1）求二维随机变量（X，Y）的联合分布律；（2）求在 X=1 下，Y 的条件分布律.解（1）（X,Y）的联合分布律：0 1 2111 0 463611 1 0391 2 0 09Y X （2）在X=1 下，Y的条件分布律：0 132 55Yp 。3/5 五、（10 分）设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布律为 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4XY 求（1）EX，EY，DX，DY；（2）X,Y 的协方差、相关系数；（3）（X,Y）的协方差阵、相关阵.解（1）0.7,0.6,0.21,0.24.EXEYDXDY （2）0.4,EXY (,)0.40.420.02,Cov X YEXYEXEY (,)0.020.089.0.21 0.24XYCov X YDXDY （3）协方差阵 0.210.02,0.020.24 相关阵 10.089.0.0891R 六、（10 分）设二维随机变量(X,Y)在 G 上服从均匀分布，其中 G 由 0,2,0 xyxyy所围成，求:（1）关于 X，关于 Y 的边缘密度函数；（2）问 X 与 Y 是否独立？为什么？（3）计算概率()3XP Y.解：（1）,01()2 120,Xxxfxxx，其它，22,01()0,Yyyfy其它；（2）X,Y 不独立，因为在 G 上，(,)()()XYf x yfx fy.（3）122031()32yyXP Ydydx.七、（共两小题，每小题 8 分，共 16 分）1.设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 4/5 0 112 33Xp ，1 0 1111 333Yp 且 22(=)1P XY，求(1)(,)X Y的联合分布律；（2）(,)X Y的相关系数.解（1）(,)X Y的联合分布律为：1 0 11 0 0 0311 1 0 33XY （2）2(,)0003Cov X YEXYEXEY，0.XY 2.设某次考试考生成绩服从正态分布，从中随机的抽取 25 位考生的成绩，计算得样本均值67.5x 分,样本标准差15s，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？给出检验过程。解 01:70,:70HH 070(1)(24)/HXTt ntSn 查表 0.05,得2.064 计算 67.5700.8315/25T 因为|0.832.064T 故不拒绝 H0，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分。
