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近世代数复习提纲精编WORD 版 IBM system office room【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3）11111(),()abb aaa；（4）abacbc；（5）1axbxa b；1yabyba。3、元素的阶 使mae成立的最小正整数m叫做元素a的阶，记作|am；若这样的正整数不存在，则称a的阶是无限的，记作|a 。（1）11|,|()|ag aggGaa。（2）若mae，则|am；|am由nae可得|m n。（3）当群G是有限群时，aG，有|a 且|aG。（4）|rnanad，其中(,)drn。证明 设|rak。因为()()nrrnddaae，所以nkd。另一方面，因为()rkrkaae，所以n rk，从而nrkdd，又(,)1rndd，所以nkd，故nkd。注：1|aba b，但若abba，且(|,|)1ab，则有|aba b（P70.3）。2|,|GaGa ；但,|aGaG 。例 1 令|,1nGaCnZa，则G关于普通乘法作成群。显然，1 是G的单位元，所以aG，有|a ，但|G 。二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。3、变换群：集合A上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合A上的变换群。（1）变换群的单位元是A的恒等变换。（2）A的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A上最大的变换群。（3）一般地，变换群不是交换群。（4）任一个群都与一个变换群同构。4、置换群：有限集合A上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例 2 设(123),(13)(24)是5S中元素，求。解 12345123451234512345(123)(13)(24)(142)2314 53214 514325413 25（1）n元集合A的所有置换作成的置换群，叫做n次对称群，记作nS。（2）|!nSn。（3）每个n元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。（4）11 22 1()()kkiiiii i。（5）任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群：若群G中存在元素a，使得()|nGaanZ，则称G是循环群。（1）循环群是交换群（P61.1）。（2）素数阶群是循环群（P70.1）。（3）循环群的子群是循环群（P65.4）。（4）当|G 时，2102,GZGaaeaaa；当|Gn时，021,nnGZGeaaaa。（5）|Ga（6）当|G 时，G有且仅有两个生成元1,aa；当|Gn时，G有且仅有()n个生成元，这里()n表示小于n且与n互素的正整数个数。且当(,)1mn 时，ma是G的生成元。（7）若G与G同态，则 1G也是循环群；2 当()aa时，()Ga；3 G的阶整除G的阶。例 3（P79、3）三、子群 1、定义：设H是群G的非空子集，若H关于G的于是也构成群，则称H是G的子群，记作HG。2、等价条件（1）群G的非空子集H是子群,abH，有1,abaH ,abH，有1abH （2）群G的非空有限子集H是子群,abH，有abH。3、运算（1）若12,HHG，则12HHG（可推广到任意多个情形）。（2）若12,HHG，则12HH未必是G的子群。（3）若12,HHG，则12121122|,H HhhhHhH未必是G的子群。（4）若12,HHG，则12HH不是G的子群。4、陪集 设HG，则G的子集|aHah hH叫做H的包含a的左陪集；G的子集|Haha hH叫做H的包含a的右陪集。（1）一般地，aHHa。（2）1aHbHb aH；1HaHbabH；()aH HaHaH。（3）()aH HaGaH。（4）()()()()()aHbH HaHbaHbHHaHb。（5）|aH aG是G的一个分类，|Ha aG也是G的一个分类。即 a GGaH，且()()aHbH（当aHbH时）或 a GGHa，且()()HaHb（当HaHb时）5、指数：群G的子群H的左陪集（右陪集）个数叫做H的指数，记作:G H。当|G 时，有|:GHG H。6、不变子群 设H是群G的子群，若aG，都有aHHa，则称H是G的不变子群，记作H G。群G的子群H是不变子群aG，有1a HaH ,aGhH ，有1a haH。例 4（P74、1）例 5（P74、3）1 不变子群的交是不变子群。2 交换群的子群是不变子群。3 群G的中心()|,C GaGxGxaax 是G的不变子群。4 设12,HHG且有一个是不变子群，则12H HG。7、商群 设H G，令|G HaH aG，,aHbHG H，定义 则它是G H的代数运算，叫做陪集的乘法。G H关于陪集的乘法作成群，叫做G关于H的商群。当|G 时，有|GG HH。四、群同态 设是群G到G的同态满射，则 1、G也是群；2、()ee；3、11()()aa；4、|()|aa；5、ker|()aGaeG；6、ker(:ker()GGaa；7、()HGHG；8、()H GHG；9、1()HGHG；10、1()H GHG。注：若H G，则映射:()aaHaG 是G到G H的同态满射，叫做自然同态。环论部分 一、基本概念 1、环的定义 设R是一个非空集合，“”与“。”分别是加法与乘法运算，若（1）R关于“”作成交换群（叫做加群）；（2）R关于“。”封闭；（3）,abcR，有()()ab ca bc；（4）,abcR，有 则称R关于“”与“。”作成环。2、基本性质（1）()abca ba c，()bcab ac a；（2）000aa；（3）()()()ababa b；（4）()()aba b；（5）1111(),()nnnnabba ba bbbababa；（6）1111()()mnmnijijijijabab；（7）,()mnm nmnmnaaaaa；（8）当R是交换环时，,abR，有 1111()nnnnnnnnabaC abCabb。3、环的几种基本类型 设R是环（1）交换环：,abR，有abba。例 6（P89.2）（2）有单位元环：存在1R，使得aR，有11aaa。（3）无零因子环：,abR，当0,0ab时，0ab。注：无零因子环的特征：无零因子环R中的非零元关于加法的阶，叫做R的特征。1 无零因子环R的特征，或是或是素数；2 当无零因子环R的元素个数|R有限时，R的特征整除|R。（4）整环：有单位元无零因子的交换环。（5）除环：有单位元1(0)，且非零元都有逆元。（6）域：交换的除环。二、两类特殊的环 1、模n剩余类环：0,1,2,nZn。（1）nZ是有单位元的交换环，且1是nZ的单位元；（2）naZ，0a，则 a不是零因子(,)1an；（3）nZ无零因子n是素数；（4）naZ，0a，则 a不是零因子 a是可逆元；（5）nZ是域n是素数。2、多项式环：1010 ()|,nnnR xf xa xa xaaaaR。例 7（P109.2）三、理想 1、定义：设U是环R的非空子集，若（1）,abU，有abU；（2）,aUrR ，有,arraU。则称U是环R的理想子环，简称理想。注：1 理想一定是子环，但子环不一定是理想。2 环的中心是子环，但未必是理想。2、运算（1）若12,UU是环R的理想，则12UU也是环R的理想（可推广到任意多个情形）。（2）若12,UU是环R的理想，则12UU未必是环R的理想。（3）若12,UU是环R的理想，则12121122|,UUuuuUuU也是环R的理想。（4）若12,UU是环R的理想，则12UU不是环R的理想。3、生成理想：设A环R的一个非空子集，则R的所有包含A的理想的交仍是R的理想，这个理想叫做由A的理想，记作()A。（1）()A是R的包含A的最小理想。（2）当 Aa时，记()()Aa，叫做由a生成的主理想。1 当R是交换环时，()|,arana rRnZ；2 当R是有单位元环时，1()|,miiiiiax ayxyR；3 当R是有单位元的交换环环时，()|ara rR。（3）12,nAaaa，记12()(,)nAaaa。且有 例 8（P113.例 3）例 9（P114.3）4、最大理想：设U是环R的理想，且UR。若包含U的环R的理想，只有U与R，则称U是环R的最大理想（极大理想）。（1）环R的理想()UR是最大理想 当R的理想适合UR 时，必有U 或R。（2）环R的理想()UR是最大理想 商环R U只有平凡理想。（3）设R是有单位元的交换环，则R的理想()UR是最大理想 商环R U是域。例 10（P119.1）已知：|,Rabi abZ。求证：(1)Ri是域。证明：因为R是有单位元的交换环，所以(1)abii，存在()xyiZ i使得 所以,axybxy，由此可见，当,xy奇偶性相同时，,ab同为偶数；当,xy一奇一偶时，,ab同为奇数。反之，当,ab的奇偶性相同时，取,22ababxy，就有 所以(1)|,iabi abZ且,ab奇偶性相同 R 设U是R的理想，且(1)iU，若(1)Ui，则存在abiU，但(1)abii，所以,ab奇偶性不同，从而1,ab奇偶性相同，因而有 于是1(1)()abiabiU，因而UR，从而(1)i是R的最大理想。故(1)Ri是域。
