二次函数的实际问题应用讲义解析.pdf

-1-二次函数的应用【引例】求下列二次函数的最值：（1）求函数223yxx的最值 （2）求函数223yxx的最值(03)x 方法归纳：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在 处取得最大值（或最小值）如果自变量的取值范围是12xxx，分两种情况：顶点在自变量的取值范围内时，以0a为例，最大值是 ；最小值是 顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性 专题一 应用之利润最值问题【例 1】某种商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200件；如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72元），设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数），每个月的销售利润为 y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?变式练习：某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30，每个月可买出 180 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月就会少卖出 10 件，但每件售价不能高于 35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为x的取值范围 -2-为y元。（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是 1920 元？解题回顾：总利润=*；找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价【例 2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过程发现，每月销量 y（万件）与销售单价 x（元）之间关系可以近似地看作一次函数 y=2x+100.(利润=售价制造成本)（1）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于 32 元.如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解题回顾：先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的 ，然后根据函数性质并结合函数图象求最值【例3】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；-3-若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)解题回顾：分段函数求最值时，要根据各段函数自变量的 求相应的最值。专题二 应用之面积最值问题【例 4】把一边长为 40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个 -4-长方形盒子的表面积为 550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。变式练习：如图，在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（ABCD 四个顶点正好重合于上底面上一点）已知 E、F 在 AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x（cm）（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？专题三 实际应用问题【例 5】如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x(m)满足关系式 -5-y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O点的水平距离为 18m。（1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）；（2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围。【例 6】卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）-6-（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12，计算结果精确到 1 米）变式练习：如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度 12米时，球移动的水平距离为 9 米 已知山坡 OA 与水平方向 OC 的夹角为 30o，O、A 两点相距 83米（1）求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点 -7-【课后测试】（1、（青羊区 26）近年来，我市为了增强市民环保意识，政府决定对购买太阳能热水器的市民实行政府补贴。规定每购买一台热水器，政府补贴若干元，经调查某商场销售太阳能热水器台数 y（台）与每台补贴款额 x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 Z（元）会相应降低，且 Z 与 x 之间也大致满足如图所示的一次 函 数 关系 （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售太阳能热水器的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售太阳能热水器台数 y 和每台太阳能热水器的 收益 z 与政府补贴款额 x 之间的函数关系式；（3）要使该商场销售太阳能热水器的总收益 w（元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少并求出总收益 w 的最大值 2、某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为 10 元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：-8-（1）已知 y 与 x 之间是一次函数关系，求出此函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）3、政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件 30 元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间的关系可近似的看作一 次函数：y=-10 x+700.(1)小明每月获得的利润为 w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？最大利润是多少？(2)如果小明想要每月获得 3000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？4、某汽车租赁公司拥有 20 辆同类汽车 据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元 设公司每日租出x辆车时，日收益为 y 元（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示，要求填写化简后的结果）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？