人教版高中数学必修一教学案-函数.pdf

第 1 页 共 17 页 人教版高中数学必修一教学案 年 级：高一 上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 函数全章复习与巩固 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 函数全章复习与巩固【要点梳理】要点一：关于函数的概念 1两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的函数有三要素定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等 2函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 3映射 设 A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x（原象），在集合 B 中都有唯一确定的元素()f x（象）与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射 4函数的定义域 函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x得函数表达式，求定义域；（2）已知()f x的定义域，求()fx的定义域，其实质是由()x的取值范围，求出x的取值范围；（3）已知()fx的定义域，求()f x的定义域，其实质是由x的取值范围，求()x的取值范围 5函数的值域 第 2 页 共 17 页 由函数的定义知，自变量x在对应法则f下取值的集合叫做函数的值域 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如yaxbcxd的函数，可用换元法即设tcxd，转化成二次函数再求值域（注意0t）；（3）形如(0)axbyccxd的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|ay yc；（4）形如22axbxcymxnxp（,a m中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域 6函数的解析式 函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域 求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数()f g x的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x 要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有12()()f xf x，那么就说函数()f x在区间 D 上是增函数（2）如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有12()()f xf x，那么就说函数()f x在区间 D 上是减函数（3）若函数()f x在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间若函数()f x在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等 要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，第 3 页 共 17 页 那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数（2）若奇函数()yf x的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)ff，即(0)(0)ff，所以(0)0f（3）奇、偶性图象的特点 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是 y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数 要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象 要点五：一次函数和二次函数 1一次函数(0)ykxb k，其中ykx 2二次函数 二次函数2(0)yaxbxc a，通过配方可以得到2(),ya xhk a决定了二次函数图象的开口大小及方向顶点坐标为,h k，对称轴方程为xh 对于二次函数2224()()24bacbf xaxbxca xaa 当0a 时，()f x的图象开口向上；顶点坐标为24,24bacbaa；对称轴为2bxa；()f x在,2ba 上是单调递减的，在,2ba上是单调递增的；当2bxa 时，函数取得最小值244acba 当0a 时，()f x的图象开口向下；顶点坐标为24,24bacbaa；对称轴为2bxa；()f x在,2ba 上是单调递增的，在,2ba上是单调递减的；当2bxa 时，函数取得最大值244acba 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；第 4 页 共 17 页（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()yf x xD，我们把使()0f x 得实数x叫做函数()()yf x xD的零点（2）确定函数()yf x的零点，就是求方程()0f x 的实数根（3）一般地，如果函数()yf x在区间,a b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f af b，那么函数()yf x在区间,a b内有零点，即存在0,xa b，使得0()0f x，这个0 x也就是方程()0f x 的根（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x 来说，我们可以将它与函数()yf x联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解 判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x 与函数()yf x联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根 对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于 0 （5）在实数范围内，二次函数2(0)yaxbxc a的零点与二次方程20(0)axbxca的根之间有密切关系 0，方程20(0)axbxca有两个实根，其对应二次函数有两个零点；0，方程20(0)axbxca有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；第 5 页 共 17 页 0，方程20(0)axbxca无根，其对应二次函数无零点【典型例题】类型一：映射 例 1设集合(,)|,ABx yxyRR，f 是 A 到 B 的映射，并满足:(,)(,)fx yxy xy （1）求 B 中元素（3，4）在 A 中的原象；（2）试探索 B 中有哪些元素在 A 中存在原象；（3）求 B 中元素（a，b）在 A 中有且只有一个原象时，a，b 所满足的关系式【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识【解析】（1）设（x，y）是（3，4）在 A 中的原象，于是34xyxy，解得13xy 或31xy，（3，4）在 A 中的原象是（1，3）或（3，1）（2）设任意（a，b）B 在 A 中有原象（x，y），应满足 xyaxyb 由可得 y=xb，代入得 x2bx+a=0 当且仅当=b24a0 时，方程有实根 只有当 B 中元素满足 b24a0 时，才在 A 中有原象（3）由以上（2）的解题过程知，只有当 B 中元素满足 b2=4a 时，它在 A 中有且只有一个原象【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题 举一反三：【变式 1】已知 a，b 为两个不相等的实数，集合24,1Maa，241,2Nbb，:fxx表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x，则 a+b 等于（）A1 B2 C3 D4【答案】D 第 6 页 共 17 页 【解析】由已知可得 M=N，故222242420411420aaaabbbb ，a、b 是方程 x24x+2=0 的两根，故 a+b=4 类型二：函数的概念及性质 例 2 设定义在 R 上的函数 y=f（x）是偶函数,且 f（x）在（，0）为增函数 若对于120 xx，且120 xx，则有()A12(|)(|)fxfx B21()()fxfx C12()()f xfx D12()()fxf x 【答案】D 【解析】因为120 xx，且120 xx，所以21|xx，画出 y=f（x）的图象，数形结合知，只有选项 D 正确 【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题 举一反三：【变式 1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A1yx B2yx C1yx D|yx x【答案】D【解析】奇函数有1yx和|yx x,又是增函数的只有选项 D 正确【变式 2】定义在 R 上的偶函数 f(x)，对任意 x1，x20，+）（x1x2），有2121()()0f xf xxx，则（）A(3)(2)(1)fff B(1)(2)(3)fff C(2)(1)(3)fff D(3)(1)(2)fff【答案】A【解析】由题知，()f x为偶函数，故(2)(2)ff，又知 x0，+）时，()f x为减函数，且 321，(3)(2)(1)fff，即(3)(2)(1)fff故选 A 例 3设偶函数()f x满足3()8(0)f xxx，则|(2)0 x f x（）Ax|x2 或 x4 Bx|x0 或 x4 第 7 页 共 17 页 Cx|x0 或 x6 Dx|x2 或 x2【答案】B 【解析】当 x0 时，x0，33()()88fxxx ，又()f x是偶函数，3()()8f xfxx，338,0()8,0 xxf xxx，33(2)8,0(2)(2)8,0 xxf xxx，30(2)80 xx或30(2)80 xx 解得 x4 或 x0，故选 B 举一反三：【变式 1】若函数()yf x的定义域是0，2，则函数(2)()1fxg xx的定义域是（）A0，1 B0，1）C0，1）（1，4 D（0，1）【答案】B 【解析】要使()g x有意义，则02210 xx，解得 0 x1，故定义域为0，1），选 B 例 5已知函数13yxx的最大值为 M，最小值为 m，则mM的值为（）A14 B12 C22 D32【答案】C 【解析】函数的定义域为3，1 又22242(1)(3)422342 4(1)yx xxxx 而204(1)2x，4y28 又 y0，22 2y2 2M，m=2 22mM故选 C 项 第 8 页 共 17 页 举一反三：【变式 1】函数221xyx（xR）的值域是_【答案】0，1）【解析】（1）注意到x20，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域 由221xyx，得21yxy，01yy，解之得 0y1故填0，1）【例 6】直线 y=1 与曲线 y=x2|x|+a 有四个交点，则 a 的取值范围是_【答案】514a【解析】如图，作出 y=x2|x|+a 的图象，若要使 y=1 与其有四个交点，则需满足114aa，解得514a 类型三：函数的零点问题 例 7若函数()yf x在区间（2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x 在（2，2）上仅有一个实根 0，则(1)(1)ff的值（）A大于 0 B小于 0 C等于 0 D无法确定【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0ff，则()f x在（1，1）内必有零点，即方程()0f x 在（1，1）内有根；反之，若方程()0f x 在（2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0ff，也有可能(1)(1)0ff【总结升华】若(1)(1)0ff，则()f x在（1，1）内必有零点，但当()f x在（1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0ff 举一反三：【变式 1】若函数2()f xxaxb的零点是 2 和4，则a ，b 第 9 页 共 17 页【答案】2,8ab 【变式 2】若函数()0f xaxb有一个零点是 2，那么函数2()g xbxax的零点是 【答案】10,2 类型四：函数性质的综合应用 例 8.已知函数2()af xxx（x0，常数 aR）（1）讨论函数()f x的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x在 x2，+）上为增函数，求 a 的取值范围【思路点拨】（1）对a进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可（2）由题意知，任取 2x1x2，则有12()()0f xf x恒成立，即可得a的取值范围【解析】（1）当 a=0 时，2()f xx，对任意 x（，0）（0，+），22()()()fxxxf x，()f x为偶函数 当 a0 时，2()af xxx（a0，x0），取 x=1，得(1)(1)20ff，(1)(1)ff，(1)(1)ff，函数(1)(1)ff既不是奇函数，也不是偶函数（2）解法一：设 2x1x2，2212121212121212()()()xxaaf xf xxxx xxxaxxx x，要使函数()f x在 x2，+）上为增函数，必须12()()0f xf x恒成立 x1x20，x1 x24，即 ax1 x2(x1+x2)恒成立 又x1+x24，x1x2(x1+x2)16 a 的取值范围是（，16 解法二：当 a=0 时，2()f xx，显然在2，+）上为增函数 当 a0 时，反比例函数ax在2，+）上为增函数，2()af xxx在2，+）上为增函数 当 a0 时，同解法一 第 10 页 共 17 页【总结升华】函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题 举一反三：【变式 1】已知函数1()f xkxx，且 f（1）=1（1）求实数 k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+）上的单调性，并用定义加以证明【解析】（1）(1)1,11,2fkk ，1()2f xxx，定义域为：,00,（2）在（0，+）上任取1212,x xxx且，则 12121211()()22f xf xxxxx =12121()(2)xxx x 1212121,0,20 xxxxx x 12()()f xf x 所以函数1(2)2fxx在0,上单调递增 类型五：函数的实际应用 例 9某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定资本为 200 元，每桶水的进价是 5 元销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价能获得最大利润?【答案】11.5 1490【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)已知固定成本 200 元天，水进价 5 元桶；(2)用表格体现出了售价与日销售量的关系；(3)解决利润最大问题解决本题可先分析表格，从中找到单价每增加 1 元，则 第 11 页 共 17 页 日销售量就减少 40 桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题 【解析】设每桶水在原来的基础上上涨 x 元，利润为 y 元，由表格中的数据可以得到：价格每上涨 1 元，日销售量就减少 40 桶，所以涨价 x 元后，日销售的桶数为：480-40(x-1)520-40 x0，所以 0 x13，则利润：213(52040)2004014902yx xx(0 x13)故当 x6.5 时，利润最大，即当水的价格为 11.5 元时，利润最大值为 1490 元【总结升华】列表法是给出函数关系的一个重要形式，通过“利润收入支出”这一实际意义建立变量之间的关系运用二次函数模型，常解决一些最大（小）值问题，对生产生活等问题进行优化 举一反三：【变式 1】某公司每年需购买某种元件 8000 个用于组装生产，每年分 n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用 500 元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费 2 元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为 y 元，其中购买成本费为固定投入，设为 c 元，则 8000150022yncn 800016500500()ncncnn 24500()4000ncn，当且仅当4nn，即 n=4 时，y 取得最小值且 ymin=4000+c 所以分 4 次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16yxx在（0，+）上的单调性求最值 第 12 页 共 17 页 课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容 函数全章复习与巩固 【巩固练习】1.已知函数()f x在 R 上是增函数，若0ab，则有（）。A.()()()()f af bfafb B.()()()()f af bfafb 第 13 页 共 17 页 C.()()()()f afaf bfb D.()()()()f afaf bfb 2.若函数2()2f xxxa没有零点，则实数a的取值范围是（）。A.1a B.1a C.1a D.1a 3函数2()23f xxax在区间 1,2上是单调函数的条件是（）。A.,1a B.2,a C.1,2a D.,12,a 4.函数2yxx的定义域为（）A.,01,B.0,1 .0,1 .,01,5.函数|35|yx的单调递减区间是（）A.0,B.,0 C.5,3 D.5,3 6.设()f x是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A.()()f xfx是奇函数 B.()|()|f xfx是奇函数 C.()()f xfx是偶函数 D.()()f xfx是偶函数 7.已知函数1,0()1,0 xxf xxx，则不等式(1)(1)1xxf x的解集是（）A|121xx Bx|x1 C|21x x D|2121xx 8.实数,x y满足224xy，则283xy的最大值是（）A23 B21 C19 D 17 9.设2,3x，则函数2241yxx的值域是 .10.设()f x是定义在R上的函数且(2)()f xf x,在区间 1 1，上,0111()201xxaxf xbxx，其中abR，.若1322ff,则3ab的值为 .11已知函数2|1|=1xyx的图象与函数=2y kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围 是_.第 14 页 共 17 页 12.关于函数22()21,f xxaxaxR，有下列四个结论：当0a 时，函数()f x在区间0,上单调递增；当0a 时，函数()f x在区间,0上单调递减；对于任意xR，必有()1f x 成立；对于任意xR，必有()(2)f xfax成立 其中正确的论断序号是 （将全部正确结论的序号都填上）13.已知函数 f(x)=-x2+2ax-a2+1(1)若函数 f(x)在区间0，2上是单调的，求实数 a 取值范围；(2)当 x-1，1时，求函数 f(x)的最大值 g(a)，并画出最大值函数 y=g(a)的图象 14.已知实数1,13a，将函数 f(x)=ax2-2x+1 在区间1，3上的最大值和最小值分别表示为 a 的函数 M(a)，N(a)，令 g(a)=M(a)-N(a).(1)求 g(a)的表达式；(2)判断函数 g(a)在区间1,13上的单调性，并求出 g(a)的最小值 15已知函数()f x的定义域是),0(，且满足()()()f xyf xf y,1()12f,如果对于0 xy,都有()()f xf y（1）求(1)f；（2）解不等式2)3()(xfxf 【答案与解析】1.【答案】A【解析】因为ab、ba，所以()()f afb、()()f bfa，即()()()()f af bfafb。2.【答案】B【解析】使440a 即可。3.【答案】D【解析】对称轴xa在区间 1,2的外面即可。4.【答案】A【解析】要使式子有意义，须20 xx，解得1x 或0 x 第 15 页 共 17 页 5.【答案】C【解析】先画出35yx的图象，然后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去，就得|35|yx的图象，由图象知单调递减区间是5,3 6.【答案】D【解析】令()()()F xf x fx，则()()()()Fxfx f xF x，所以它不是奇函数，故 A 选项不对；同理选项 B、C 都不对，只有选项 D 正确 7.【答案】C【解析】由题意得不等式(1)(1)1xxf x等 价于（1）10(1)(1)11xxxx 或（2）10(1)(1)11xxxx，解不等式组（1）得 x1；解不等式组（2）得121x 因此原不等式的解集是|21x x，选 C 项 8.【答案】19【解析】C 22283(4)83(4)23xyyyy 22224,40,22xyxyy 故当2y 时，283xy取得最大值 19 9.【答案】3,15 10.【答案】10.【解析】()f x是定义在R上的函数且(2)()f xf x,11ff,即21=2ba.又311=1222ffa,1322ff,141=23ba.联立,解得,=2.=4ab.3=10ab.11【答案】(0,1)(1,4)【解析】解法一：函数=2y kx 的图像直线恒过定点B(0,2),且42246510AOBCD 第 16 页 共 17 页(1,2)A,(1,0)C,(1,2)D,2+2=01 0ABk,0+2=21 0BCk,2+2=41 0BDk,由 图 像 可 知(0,1)(1,4)k.解 法 二:函 数1)1)(1(112xxxxxy,当1x时,11112xxxxy,当1x时,1,111,11112xxxxxxxy,综上函数1,111,111112xxxxxxxxy，,做出函数的图象(蓝线),要使函数y与2 kxy有两个不同的交点,则直线2 kxy必须在四边形区域 ABCD内(和 直 线1 xy平 行 的 直 线 除 外,如 图,则 此 时 当 直 线 经 过)2,1(B,401)2(2k,综上实数的取值范围是40 k且1k,即10 k或41 k.12.【答案】13.【解析】(1)-02，(2)当 a-1 时，f(x)的最大值为 f(-1)=-a2-2a 当-1a1 时，f(x)的最大值为 f(a)=1 当 a1 时，f(x)的最大值为 f(1)=-a2+2a 所以22-2,1()1,-11-2,1aaag aaaaa 14.【解析】(1)f(x)的对称轴为：11,3xa，分以下两种情况讨论；当111212aa，即时，M(a)=f(3)=9a-5，11()()-1N afaa 1()()-()9-6g aM aN aaa 当1112332aa，即，M(a)=f(1)=a-1，11()()-1N afaa 1()()-()-2g aM aN aaa 第 17 页 共 17 页 综上，111-2 ()32()119-6(1)2aaag aaaa(2)当111()-232ag aaa时，单调递减，当111()9-62ag aaa时，单调递增 min11()()22gag 15.【解析】（1）令1xy，则(1)(1)(1),(1)0ffff（2）1()(3)2()2fxfxf 11()()(3)()0(1)22fxffxff 3()()(1)22xxfff，3()(1)22xxff 则0230,1023122xxxxx