高等流体力学第一讲.ppt

1高等流体动力学主讲：赵鹤能源与动力工程学院动力工程系2一、课程名称一、课程名称:高等工程流体力学高等工程流体力学二、教材：二、教材：张鸣远张鸣远 高等工程流体力学（第一版）高等工程流体力学（第一版）西安交通大学出版社西安交通大学出版社 2006.7三、参考书：三、参考书：张鸣远张鸣远 高等工程流体力学练习题解高等工程流体力学练习题解 西安交通大学出版社西安交通大学出版社 2008.8 吴望一吴望一 流体力学流体力学 北京大学出版社北京大学出版社课程简介课程简介3第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础一、一、矢量的表征及运算矢量的表征及运算其中，其中，分别表示分别表示x,y,z 三个方向的单位矢量。三个方向的单位矢量。高等流体力学中一般用高等流体力学中一般用 表示。表示。2.点积点积3.叉积叉积结果为标量结果为标量1.表征：表征：4第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础二、场的概念，梯度及方向导数二、场的概念，梯度及方向导数1.场：场：一种函数，描述空间区域或空间与时间的函数一种函数，描述空间区域或空间与时间的函数 数学场数学场用标量描述空间叫标量场，用向量表示叫向用标量描述空间叫标量场，用向量表示叫向 量场。量场。2.哈密度算子：哈密度算子：是一个具有微分及矢量双重运算性质的计算符号。是一个具有微分及矢量双重运算性质的计算符号。拉普拉斯算子：拉普拉斯算子：是一个具有微是一个具有微分的标量算符。分的标量算符。5第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础3.标量场及梯度标量场及梯度标量场：标量场：标量场的等值（位）线（面）标量场的等值（位）线（面）标量场的梯度：标量场的梯度：向量的方向导数。向量的方向导数。向量垂直于曲面，正向指向向量垂直于曲面，正向指向 增加的方向增加的方向梯度：梯度：gradient -标量标量矢量矢量63.矢量场，散度及旋度矢量场，散度及旋度第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础哈密顿算子：哈密顿算子：散度：散度：矢量矢量-标量：标量：旋度：旋度：矢量矢量-矢量：矢量：divergence-div：rotation-rot：例：例：为一速度势函数为一速度势函数1.速度场的梯度速度场的梯度 速度（向量）速度（向量）2.速度的散度：速度的散度：（不可压缩流体的（不可压缩流体的连续性方程）连续性方程）流动相对体积膨胀率流动相对体积膨胀率3.速度的旋度：速度的旋度：无旋流动无旋流动流体为绕通过其中心轴旋转角速流体为绕通过其中心轴旋转角速度的度的2倍倍 8第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础三、笛卡尔张量三、笛卡尔张量一、指标表示法和符号约定一、指标表示法和符号约定x、y、z 分别计作分别计作 x1、x2、x3，ax、ay、az 分别计作分别计作 a1、a2、a3，而三个单位矢量而三个单位矢量 分别计作分别计作 1.指标表示法指标表示法也可表示为也可表示为 ，i 是自由指标，可取是自由指标，可取1、2、3。9自由指标：可任意取下标值:2.2.求和约定求和约定 在在同同一一项项中中如如有有两两个个指指标标相相同同时时，就就表表示示对对该该指指标标从从1到到3求求和和:重复出现的指标称为重复出现的指标称为哑指标哑指标，改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础10北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿总结：方程同一项中只出现一次的指标为自由指标；总结：方程同一项中只出现一次的指标为自由指标；同一项中如有两个指标相同时，为哑坐标同一项中如有两个指标相同时，为哑坐标n n为自由指标为自由指标m m为哑指标为哑指标第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础113.3.张量的基本运算规则张量的基本运算规则（1）克罗内克（）克罗内克（Kroneker）符号）符号ijij是二阶单位张量。是二阶单位张量。两矢量的点积可表示为：两矢量的点积可表示为：符号具有以下重要性质：符号具有以下重要性质：第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础12符号具有以下重要性质：符号具有以下重要性质：第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础13（2 2）里奇（）里奇（RicciRicci）置换符号）置换符号ijkijk偶排列，即：123,231,312；奇排列，即：213,321,132有两个或两个以上指标相同。ijkijk 是三阶张量。是三阶张量。两矢量的矢量积两矢量的矢量积:单位矢量的矢量积可表示为：单位矢量的矢量积可表示为：第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础14ijkijk与与ijij的关系恒等式的关系恒等式当当i=li=l时，有：时，有：第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础15北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第一讲，附录部分：数学基础第一讲，附录部分：数学基础例题例题2.已知已知,求求:.解:1 1、定义、定义标量、矢量和张量标量、矢量和张量1)1)标量标量是一维的量，它只需是一维的量，它只需1 1个数及单位来表示，如温度、密度。个数及单位来表示，如温度、密度。2)2)矢矢量量则则不不仅仅有有数数量量的的大大小小，而而且且有有指指定定的的方方向向，它它必必需需由由某某一一空空间坐标系的间坐标系的 3 3 个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。3)3)三三维维空空间间中中的的二二阶阶张张量量是是一一个个9 9维维的的量量，必必须须用用9 9个个分分量量才才可可完完整整的表示，如应力，变形速率。的表示，如应力，变形速率。三维空间中的三维空间中的 n n 阶张量阶张量由由 3 3n n 个分量组成。个分量组成。标量和矢量均可看作低阶张量，标量为标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量零阶张量，而矢量为，而矢量为一阶张量一阶张量 4)二阶张量有二阶张量有9个分量，通常也可表示为矩阵形式，即个分量，通常也可表示为矩阵形式，即 四.二阶张量2 2、二阶张量的代数运算、二阶张量的代数运算1).1).张量相等张量相等两个张量相等则各分量一一对应相等。设两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ，若，若则则若若两两个个张张量量在在某某一一直直角角坐坐标标系系中中相相等等，则则它它们们在在任任意意一一个个直直角角坐坐标标系系中中也相等。也相等。2).2).张量加减张量加减设设 、，则，则张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张量才能相加减。量才能相加减。3).张量数乘张量数乘二阶张量二阶张量 乘以标量乘以标量 ,，则，则张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。1).共轭张量共轭张量 设设 P 是一个二阶张量，则是一个二阶张量，则 也为一个二阶张量，称为也为一个二阶张量，称为 P 的共轭张量，的共轭张量，可表示为可表示为 3、共轭张量、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解对称张量、反对称张量和张量的分解若二阶张量分量若二阶张量分量 之间满足之间满足则称此张量为对称张量，可表示为则称此张量为对称张量，可表示为一个对称张量，只有一个对称张量，只有6个独立的分量。个独立的分量。2).2).对称张量对称张量若二阶张量分量若二阶张量分量 之间满足之间满足则称此张量为反对称对张量，可表示为则称此张量为反对称对张量，可表示为 一个反对称张量只有一个反对称张量只有3个独立的分量，对角线各元素均为零。个独立的分量，对角线各元素均为零。3).3).反对称张量反对称张量4).4).张量分解定理张量分解定理一个二阶张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和：一个二阶张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量之和：容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。5).张量的微分运算法则张量的微分运算法则梯度梯度设矢量设矢量 ，则，则一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲，一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲，一个一个 n 阶张量的梯度是阶张量的梯度是 阶张量。阶张量。散度散度 设二阶张量设二阶张量 ，一个二阶张量的散度是一个矢量一个二阶张量的散度是一个矢量。一般来讲，一个。一般来讲，一个 阶张量的散度是阶张量的散度是 阶张量。阶张量。利利用用哈哈密密顿顿算算子子进进行行运运算算时时，先先进进行行微微分分运运算算，后后进进行行矢矢量量运算。运算。例题例题6.分别写出分别写出 在直角坐标下的表达式在直角坐标下的表达式.例题例题3.设设 ，求，求解：解：结果与结果与 一致一致例题例题4.已知：已知：求求 解解例题例题5.写出下述方程在直角坐标系中的表达式写出下述方程在直角坐标系中的表达式 式中式中是切应力张量是切应力张量(二阶对称张量二阶对称张量 ).).解解.将上述矢量用张量表示法写出将上述矢量用张量表示法写出,28流体的微观图景流体的微观结构：流体的微观结构：1cm3液体中液体中:含有含有3.31022个左右的分子，个左右的分子，单个分子半径约为单个分子半径约为1.2510-10 m。27%V1cm3气体中气体中:含有含有2.71019个左右的分子。个左右的分子。0.02%V因此分子之间存在空隙。因此分子之间存在空隙。流体流体在空间上并不是连续分布的物在空间上并不是连续分布的物质质第1章 流体力学基本概念一、一、一、一、连续介质假设连续介质假设29流体的宏观图景流体的宏观图景 宏观角度宏观角度：在研究流体力学规律时，在研究流体力学规律时，人们感兴趣的不是流体的这人们感兴趣的不是流体的这种微观上的分子热运动，而种微观上的分子热运动，而是由外部原因，如重力、压是由外部原因，如重力、压力差等作用引起的力差等作用引起的宏观上的宏观上的整体定向运动整体定向运动。即：即：一般工程中，所研究流一般工程中，所研究流体的体的空间尺度要比分子距离空间尺度要比分子距离大得多。大得多。第1章 流体力学基本概念30设想：设想：在宏观尺度上如果能将流体认为是由无穷多在宏观尺度上如果能将流体认为是由无穷多个个，无穷小的无穷小的，彼此紧密毗邻、，彼此紧密毗邻、连续不断的连续不断的流体质点流体质点所组成所组成的一种的一种无间隙的连续介质，无间隙的连续介质，则有几个好处：则有几个好处：1 1）使人们从分子运动的复杂性中解放出来。避免了流避免了流体分子运动的复杂性体分子运动的复杂性，只需研究流体宏观运动流体宏观运动3 3）可以把数学上的可以把数学上的微积分手段加以应用。微积分手段加以应用。2 2）流体的一些物理量：比如密度、速度等等,皆可用表示为空间坐标和时间的连续函数表示为空间坐标和时间的连续函数。所以问题的关键是：所以问题的关键是：研究的对象流体是否能适用于连续介质假设？第1章 流体力学基本概念31p微观尺度又足够大的物理实体：微观尺度又足够大的物理实体：使得流体质点中包含足够多的分子，使得流体质点中包含足够多的分子，使各物理使各物理量的统计平均值有意义量的统计平均值有意义（如密度，速度，压强，温（如密度，速度，压强，温度，粘度，热力学能等度，粘度，热力学能等宏观属性宏观属性）。而无需研究所）。而无需研究所有单个分子的瞬时状态。有单个分子的瞬时状态。p宏观尺度非常小：宏观尺度非常小：才能把流体视为占据整个空间的一种才能把流体视为占据整个空间的一种连续介质连续介质，且其且其所有的物理量所有的物理量都是都是空间坐标空间坐标和和时间的连续函时间的连续函数数的一种假设模型。的一种假设模型。研究流适用于连续介质假设需研究流适用于连续介质假设需具备的两个基本条件：具备的两个基本条件：对象流体要能适用于连续介质假设需满足那些要求？对象流体要能适用于连续介质假设需满足那些要求？第1章 流体力学基本概念32流体质点对微分子团尺度的这种宏观上足够小、流体质点对微分子团尺度的这种宏观上足够小、微观上充分大的要求，在绝大多数情况下都是可微观上充分大的要求，在绝大多数情况下都是可以满足的：大量事实证明，连续介质力学在相当以满足的：大量事实证明，连续介质力学在相当广泛的领域内给出了和实际吻合的结果，广泛的领域内给出了和实际吻合的结果，例如，例如，气体在标准状态下，仅在气体在标准状态下，仅在10-5cm3这样一个宏这样一个宏观上看来非常小的体积里，就包含着观上看来非常小的体积里，就包含着2.7*1014个个分子分子，这从微观上看又是非常大了。，这从微观上看又是非常大了。第1章 流体力学基本概念33例如：例如：高度真空下，气体稀薄，分子的平均自高度真空下，气体稀薄，分子的平均自由程与气体流动通道的直径几乎同量级时，由程与气体流动通道的直径几乎同量级时，连续介质模型就不适用了。连续介质模型就不适用了。需要指出的是：需要指出的是：但是，也应当指出，对于但是，也应当指出，对于研究对象的宏观尺度研究对象的宏观尺度和物质结构的微观尺度量级相当和物质结构的微观尺度量级相当的情况，连续介质的情况，连续介质模型将不再适用。模型将不再适用。第1章 流体力学基本概念1）欧拉参考系（空间与时间相互独立）欧拉参考系（空间与时间相互独立）当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。着眼于空间点，在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化。独立变量独立变量x,y,z,t。二、欧拉和拉格朗日参考系数学描述：数学描述：某时刻某时刻t，某点的速度为：，某点的速度为：则速度为：则速度为：同理：同理：第1章 流体力学基本概念二、拉格朗日参考系二、拉格朗日参考系着着眼眼于于流流体体质质点点，描描述述每每个个流流体体质质点点自自始始至至终终的的运运动动，即即它它的位置随时间变化，的位置随时间变化，式中式中x0,y0,z0 是是 t=t 0 时刻流体质点空间位置的坐标。时刻流体质点空间位置的坐标。独立变量独立变量x0,y0,z0,t。用用x0,y0,z0来来区区分分不不同同的的流流体体质质点点，而而用用t来来确确定定流流体体质质点点的不同空间位置。的不同空间位置。2.2欧拉和拉格朗日参考系数学描述：数学描述：某质点在某质点在t0某时刻，位于（某时刻，位于（x0,y0,z0）,则在则在t时刻位于：时刻位于：，即：速度为速度为:36EularEular与与lagrangelagrange法的变换方法：法的变换方法：1.已知已知lagrange表达式：表达式：变换代入2.由由Eular方程得：方程得：积分3.把把t=t0时，时，r=r（r0）代入（）代入（*）得：）得：Eular坐标系优点：速度、密度、压强和温度为空间和时间的函数，可以用场论及适量、张量的知识求解。例例2-1拉格朗日坐标系（拉格朗日坐标系（x0,y0,z0）表示的流动规律为：）表示的流动规律为：求：（1）Eular坐标表示的速度场；（2）该流动是否是定常流动；（3）求Lagrange和Eular坐标系下的加速度。（2）由于uy,uz中含有t变量，因此该流动为非定常流动。（3）方法同（1）可求Lagrange和Eular坐标系下的加速度表达式。解：（1）速度场：代入问题中的已知条件，可得：通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关系式。1.系统系统某某一一确确定定流流体体质质点点集集合合的的总总体体。随随时时间间改改变变其其空空间间位位置置、大大小小和和形形状状；系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。系统边界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成。在在拉拉格格朗朗日日参参考考系系中中，通通常常把把注注意意力力集集中中在在流流动动的的系系统统上上，应应用用质质量量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组。动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组。2.控制体控制体流流场场中中某某一一确确定定的的空空间间区区域域，其其边边界界称称控控制制面面。流流体体可可以以通通过过控控制制面面流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。流进流出控制体，占据控制体的流体质点随时间变化。为为了了在在欧欧拉拉参参考考系系中中推推导导控控制制方方程程，通通常常把把注注意意力力集集中中在在通通过过控控制制体体的的流流体体上上，应应用用质质量量、动动量量和和能能量量守守恒恒定定律律于于这这些些流流体体，即即可可得得到到欧欧拉参考系中的基本方程组。拉参考系中的基本方程组。三、系统和控制体三、系统和控制体2.2欧拉和拉格朗日参考系四、欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数四、欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数欧拉参考系：欧拉参考系：某某一一空空间间点点上上的的流流体体速速度度变变化化，称称当当地地导导数数或或局局部部导数。导数。拉格朗日参考系：在欧拉参考系下用在欧拉参考系下用 表示流体质点的速度变化。表示流体质点的速度变化。流体质点的速度变化，即加速度。流体质点的速度变化，即加速度。2.2欧拉和拉格朗日参考系五、物质导数五、物质导数流流体体质质点点的的物物理理量量随随时时间间的的变变化化率率。物物质质导导数数又又称称质质点导数，随体导数。点导数，随体导数。设设场场变变量量 ，则则 表表示示某某一一流流体体质质点点的的 随随时时间间的的变变化化，即即一一个个观观察察者者随随同同流流体体一一起起运运动动，并并且且一一直直盯着某一特定流体质点时所看到的盯着某一特定流体质点时所看到的 随时间的变化。随时间的变化。是拉格朗日参考系下的时间导数。是拉格朗日参考系下的时间导数。六、在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）六、在欧拉参考系下的表达式（在欧拉参考系下推导）时刻，时刻，泰勒级数展开，七、在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）七、在欧拉参考系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）此时此时 不再是独立变量，而是不再是独立变量，而是 的函数的函数上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的当地导数和对流导数联系起来。上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的当地导数和对流导数联系起来。称称对对流流导导数数或或位位变变导导数数，流流体体物物性性随随空空间间坐坐标标变变化化而而变变化化，当当流流体体质质点点空空间间位位置置随随时时间间变变化化时时，在在流流动动过过程程中中会会取取不不同的同的 值，因此也会引起值，因此也会引起 的改变。的改变。欧欧拉拉时时间间导导数数，称称局局部部导导数数或或就就地地导导数数，表表示示空空间间某某一一点流体物理量随时间的变化；点流体物理量随时间的变化；物质导数；物质导数；八、矢量和张量形式的物质导数八、矢量和张量形式的物质导数44第一章，流体力学的基本概念第一章，流体力学的基本概念