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二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 第一章第一章 函数与极限函数与极限引入引入 连续函数具有很强的几何直观，且在生活中有许连续函数具有很强的几何直观，且在生活中有许多现实的例子多现实的例子.比如比如,随着时间的微小变化，我们的身随着时间的微小变化，我们的身高也进行微小的改变，气温也进行微小的变化，开着高也进行微小的改变，气温也进行微小的变化，开着的汽车的行程也作了微小的变化。的汽车的行程也作了微小的变化。总得说来，可以抽象为随着自变量的微小变化，总得说来，可以抽象为随着自变量的微小变化，相应的函数值也只有微小的变化。来刻画这种相互依相应的函数值也只有微小的变化。来刻画这种相互依赖的微小变化用到的工具就是函数的连续性。赖的微小变化用到的工具就是函数的连续性。自变量与应变量的变化描述自变量与应变量的变化描述xyOy=f(x)一、一、函数在点函数在点 x0 连续的定义连续的定义记记于是，上述定义可以转化为于是，上述定义可以转化为确切地，有以下定义：确切地，有以下定义：一、一、函数在点函数在点 x0 连续的定义（续）连续的定义（续）用极限的用极限的“”语言来描述：语言来描述：单侧连续的定义单侧连续的定义(1)左连续左连续:(2)右连续右连续:区间上的连续函数区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的连续函数的连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线的曲线.在闭区间在闭区间a,b上的全体连续函数的集合记作上的全体连续函数的集合记作因只要因只要都有都有在在(,)上连续上连续.有理分式函数有理分式函数在其定义域内连续在其定义域内连续.例例1.证证:由由 x0 的任意性知函数的任意性知函数 y=sin x在在(,)内内连续连续.同样可证同样可证:函数函数 y=cos x在在(,)内内连续连续.即即可见可见,函数函数 f(x)在点在点 x0 连续必须具备下列条连续必须具备下列条件件:(1)f(x)在点在点 x0 有定义有定义，即即 f(x0)存在存在;(2)极限极限存在存在;(3)二、二、函数的间断点函数的间断点(1)函数函数 f(x)在点在点 x0 但但设设 f(x)在点在点 x0 的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,则有下列情则有下列情形形之一之一的的函数函数 f(x)在点在点 x0 不连续不连续:这样的点这样的点 x0 称为称为间断点或不连续点间断点或不连续点.无定义无定义;(2)函数函数 f(x)在点在点 x0 不存在不存在;虽有定义虽有定义,但但(3)函数函数 f(x)在点在点 x0 存在存在,虽有定义虽有定义,且且间断点的分类间断点的分类:第一类间断点第一类间断点:第二类间断点第二类间断点:，称，称若其中有一个为若其中有一个为为为无穷间断点无穷间断点.若其中有一个振荡若其中有一个振荡,称称为为振荡间断点振荡间断点.若若称称为为可去间断点可去间断点.若若称称为为跳跃间断点跳跃间断点.及及均存在均存在,及及中至少有一个不存在中至少有一个不存在,为其无穷间断点为其无穷间断点.为其振荡间断点为其振荡间断点.为可去间断点为可去间断点.例如例如,在在 处无定义处无定义.在在 x=0 处无定义处无定义.在在 x=1 处无定义处无定义.x=0 x=1补充定义补充定义 f(1)=？,则函数在则函数在 x=1 连续连续.显然显然x=1 为其可去间断点为其可去间断点.(5)x=0 为其跳跃间断点为其跳跃间断点.。(4)修改定义修改定义 f(1)=？时可使函数在？时可使函数在 x=1 处连续处连续.小结小结左连续左连续右连续右连续第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点(左右极限都存在左右极限都存在)第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点(左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个不存在)2.f(x)在点在点 x0 间断的类型间断的类型 1.f(x)在点在点 x0 连续的几种等价形式连续的几种等价形式可补充或修改定义可补充或修改定义使之成为连续点使之成为连续点!课堂练习课堂练习x=2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点.提示提示:答案答案:x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,可补充定义可补充定义 f(1)=2 则函数就在则函数就在 x=1 处连续处连续.时时 f(x)为连续函数为连续函数.3.确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型.解解:间断点间断点为无穷间断点为无穷间断点;故故 x=1为跳跃间断点为跳跃间断点.作业作业P64-65 2(别忘了别忘了画图画图)3/(2)(3)(4)(需要详细需要详细说明理由说明理由)4
