点.直线.平面的投影课件.ppt

面点、直线、平面是构成形体的基本几何元素点、直线、平面是构成形体的基本几何元素BCDA线31 点的投影点的投影点3.1.1点的三面投影P 采用多面投影。采用多面投影。3.1.1点的三面投影点的三面投影 过空间点过空间点A的投射线的投射线与投影面与投影面P的交点即为点的交点即为点A在在P面上的投影。面上的投影。a A 点在一个投影面上的投影点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。不能确定点的空间位置。Pb BB2B1解决办法解决办法HWV投影面与投影轴投影面与投影轴OV面与面与H面的交线面的交线OX轴轴V面与面与W面的交线面的交线OZ轴轴H面与面与W面的交线面的交线OY轴轴3.1.1点的三面的投影点的三面的投影YXZ空间点空间点A A；a a 点点A的水平的水平(H)投影投影;a a 点点A的正面的正面(V)投影投影;a a 点点A的侧面的侧面(W)投影。投影。3.1.1点的三面投影点的三面投影空间点的位置和直角坐标空间点的位置和直角坐标 空间点的位置，可由空间点的位置，可由直角坐标值来确定，直角坐标值来确定，一般采用下列的书写一般采用下列的书写形式：形式：A(x,y,z)A(x,y,z)。点到各投影面的点到各投影面的距离，为相应的坐标距离，为相应的坐标数值数值X X，Y Y，Z Z 。W投影面展开投影面展开XVAYOWZaa Ya ZaXaaVHYWHH面向下旋转面向下旋转面向下旋转面向下旋转9090HWW面向右旋转面向右旋转面向右旋转面向右旋转9090OXZYHaxaza ayayaaV V面面面面不动不动不动不动?a aOX轴轴;a a OZ轴轴;a到到OX轴轴的距离的距离=a 到到OZ轴轴的距离的距离 AaAa=aaaax x=a a az z=a=ay y0=0=y yA AAA点到点到V面的距离面的距离 AaAa=a ax x=a a ay y=a=az z0=0=z zA AAA点到点到H面的距离面的距离 Aa a=aaaay y=a a az z=a=ax x0=0=x xA AAA点到点到W面的距离面的距离 点的点的三面三面投影规律投影规律:XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAA例例1:已知已知A点的坐标值点的坐标值A(12，10，15)，求作求作A点的点的 三面投影图。三面投影图。作投影作投影轴轴；量取：量取：OaOax x=12=12、OaOaz z=15=15、OaOaYHYH=OaOaYWYW=10,=10,得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等点等点 ；步骤步骤:aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12过过a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等点分别作等点分别作所在轴的垂线，交点所在轴的垂线，交点a a、a a、a a既为所求。既为所求。a aax例例2：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:解法二解法二:a 通过作通过作45线使线使a az=aax用圆规直接量取用圆规直接量取a az=aax3.1.2点的空间位置1.在空间在空间（X X，Y Y，Z Z）点在投影体系中有点在投影体系中有四种位置情况：四种位置情况：3 3.1.2.1.2点的空间位置点的空间位置 XVYOWZH 由于由于X X，Y Y，Z Z均不为零，均不为零，对三个投影面都有一定对三个投影面都有一定距离，所以点的三个投距离，所以点的三个投影都不在轴上。影都不在轴上。a Zaaa YaXaA3 3.1.2.1.2点的空间位置点的空间位置 由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。2.在投影面上：在投影面上：在在H H面上面上（X X，Y Y，0 0）XVYOWZH 在在V V面上面上（X X，0 0，Z Z）在在W W面上面上（0 0，Y Y，Z Z）bBCdbCdDbdCC3.1.3点的相对位置3 3.1.3.1.3两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。x 坐标大的在左；坐标大的在左；y 坐标大的在前；坐标大的在前；z 坐标大的在上。坐标大的在上。判断方法：判断方法：B点在点在A点点的的左、下、前方。左、下、前方。上上上上下下下下后后后后左左左左右右右右前前前前当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。两点重影重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。以示区别。两点重影两点重影()H面重影，面重影，被挡被挡住的投影加住的投影加()3.2 直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的面投影用直线连接，就得到直线的投影。投影。直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB 真实性真实性直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点ab=0 积聚性积聚性abmBAM直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 abAB 类似性类似性3.2 直线的投影直线的投影3.2.1各种位置直线的投影特征各种位置直线的投影特征ABababAB直线中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线正平线（平行于面）（平行于面）侧平线侧平线（平行于面）（平行于面）水平线水平线（平行于面）（平行于面）正垂线正垂线（垂直于面）（垂直于面）侧垂线侧垂线（垂直于面）（垂直于面）铅垂线铅垂线（垂直于面）（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面直线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影特性：投影特性：三个投影都缩短了三个投影都缩短了。即即:都不反映空间线段的实都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。(1)一般位置直线(2)投影面平行线投影特性：投影特性：1.水平线的水平线的H面投影反映线段实长。即：面投影反映线段实长。即：ab=AB;2.水平线的水平线的V、W面投影分别平行于面投影分别平行于H面的两根轴。面的两根轴。3.即即 abox轴，轴，abOYW轴；轴；3.水水平平线线的的H面面投投影影与与OX轴轴夹夹角角反反映映该该直直线线对对V面面的的倾倾角角；与与OYH轴的夹角，反映该直线对轴的夹角，反映该直线对W面的倾角面的倾角。水平线的投影特征：水平线的投影特征：对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。b a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。并反映直线与另两投影面倾角。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长ba aa b b(3)投影面垂直线投影特性：投影特性：1.H面投影积聚成一点；面投影积聚成一点；2.V、W面投影反映实长，即面投影反映实长，即ab=ab=AB；V、W面投影，分别垂直于面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即：面的两面根轴，即：abox轴轴ab oz轴轴。对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。铅垂线投影特征铅垂线投影特征:投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线2.另外两个投影面上，另外两个投影面上，投影反映线段实长。投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点例1：判断下列直线的空间位置dCdddCABAB为为为为水平线水平线水平线水平线CDCD为为为为侧平线侧平线侧平线侧平线3.2.2直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在则点的投影必在直线的同面投影上。即具有直线的同面投影上。即具有从属性。从属性。若点在直线上，则点将线段的同若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有即具有定比性：定比性：AC/CB=ac/cb=ac/cb 若点的投影有一个不在直线的同名若点的投影有一个不在直线的同名投影上，投影上，则该点必不在此直线上。则该点必不在此直线上。判别方法：判别方法：ABVH3.2.2直线与点的相对位置直线与点的相对位置Cbcac b a e e在在不在不在C点点 直线直线AB上上D点点 直线直线AB上上D例例2：判断点：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法是另一判断法是因因a k:k b ak:kb 故点故点K不在不在AB上。上。两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同面投影同面投影必相互平行必相互平行，反之亦然。，反之亦然。3.2.3两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。abcda b c d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。结论：结论：AB/CDXcbadd b a c b d c a 对于投影面平行线，只对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。反映实长的投影。结论结论:AB:AB与与CDCD不平行不平行例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断如何判断HVXABCDabcda b c d abcdb a c d 2.2.两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。kk 交点是两直线交点是两直线的共有点的共有点k kKcabb a c d k kd例例3：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影12d b a abcdc1(2 )3(4)3.两直线交叉两直线交叉 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但“交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律。一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影，重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。3 4 AB与与CD两直线相交吗两直线相交吗投影特性：投影特性：结论：结论：AB与与CD两直线不相交两直线不相交两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设直角边设直角边BC/H面面因因BCAB,同时同时BCBb所以所以BCABba平面平面结论结论:直线在直线在H面面上的投影互相垂直上的投影互相垂直即即abc为直角为直角因此因此 bcab故故bc ABba平面平面又因又因BCbcABCabcHa c b abc.证明：证明：d abca b c d例例4：过：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。.AB为正平线为正平线,正面正面投影反映直角。投影反映直角。s a b a b s a b 3.3.1平面的表示法aa bb ss 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行直线两平行直线两相交直线两相交直线平面图形平面图形3.3平面的投影平面的投影3.3.1平面的表示法平面的表示法s a b s a b aa b bss c d aa b bss aa b bcc dd aa b bss 3.3.2各种位置平面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直投影积聚成直线线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性3.3.2各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面投影面垂直面ABC为什么为什么位置的平面位置的平面abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性投影面平行面a b c a b c abc2.2.投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性结论：水平面结论：水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。一般位置平面a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：4.3.3平面上的直线和点判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。平面上取任意直线平面上取任意直线3.3.3平面上的直线和点平面上的直线和点有无数解。有无数解。abcb c a abcb c a d mnn m d例例1：已知平面由直线：已知平面由直线AB、AC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：根据定理一根据定理一有多少解有多少解根据定理二根据定理二例例2：在平面：在平面ABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解有多少解平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例例1：已知：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：面上取点的方法：首先面上取线首先面上取线abca b k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解bckada d b c ada d b c k bc例例3：已知：已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。何元素（点、线、面等）。根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。的解题思路与方法。本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间分析和想像，以培养空间思维能力。分析和想像，以培养空间思维能力。解题方法：解题方法：解题方法解题方法：本章小结 点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投影是为了正确表达形体和解决空间几何问题影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础奠定理论基础和提供有力的分析手段。和提供有力的分析手段。本本 章章 小小 结结点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。在平面上确定直线和点的方法。在平面上确定直线和点的方法。点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题：求求两平面的两平面的交线交线方法：方法：确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。的情况。判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。判别可见性。可通过正面投影直观可通过正面投影直观地进行判别。地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正正垂面垂面，它们的，它们的交线为一条交线为一条正垂线正垂线，两平面，两平面正面投影正面投影的交点即为交线的正面投的交点即为交线的正面投影，影，交线的水平投影垂直交线的水平投影垂直于于OXOX轴轴。求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。nm能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？O OX Xabcdefc f d b e a m(n)例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MNMN并判别可见性。并判别可见性。求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在在上，其水平投影可见。上，其水平投影可见。mn空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正正垂面垂面，它们的，它们的交线为一条交线为一条正垂线正垂线，两平面，两平面正面投影正面投影的交点即为交线的正面投的交点即为交线的正面投影，影，交线的水平投影垂直交线的水平投影垂直于于OXOX轴轴。O OX Xaa bd(e)ebdh(f)cfch1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFHDEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac c、bcbc的交点的交点m m 、n n 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mnmn即为交线即为交线MNMN的水平投影的水平投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MCMC上，点上，点在在FHFH上，上，点点在前，点在前，点在后，在后，故故m mc c 可见。可见。作图作图21 mmnnabd(e)ebdh(f)cfch空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅垂面，是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其它的水平投影有积聚性，其与与ac、bc的交点的交点m、n 即为即为两个共有点的水平投影，故两个共有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投影的水平投影。求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上上,点点在在FH上，上，点点在前，点在前，点在后，在后，故故mc 可见。可见。作图作图mnnmc d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def 的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。nn m kmk 互交互交c d e f a b abcdef互交互交mkk m 投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位位于于def 的外面，说明点的外面，说明点N位于位于DEF所确定的平面所确定的平面内，但不位于内，但不位于DEF这个这个图形内。图形内。所以所以ABC和和DEF的的交线应为交线应为MK。