高数学习教程.pptx

1【例【例6】求】求【解】【解】【分析】【分析】这是这是 型不定式型不定式,应用洛必达法则应用洛必达法则,求导去掉积分号求导去掉积分号.思考思考:去掉积分号还有没有其它方法去掉积分号还有没有其它方法?第1页/共49页2【证】【证】第2页/共49页3【证】【证】令令第3页/共49页4【解】【解】【补充【补充1】第4页/共49页5【解】【解】第5页/共49页6【练习】【练习】求求【解】【解】令令第6页/共49页7第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、换元公式一、换元公式三、小结三、小结 思考题思考题二、分部积分公式二、分部积分公式第7页/共49页8【定理】【定理】一、换元公式一、换元公式第8页/共49页9【应用换元公式时应注意】【应用换元公式时应注意】(1)(2)三换三换换积分限换积分限上限对上限，下限对下限上限对上限，下限对下限.换被积函数换被积函数换微分换微分第9页/共49页10【例【例1】计算计算【解】【解】令令第10页/共49页11【例【例1】计算计算第11页/共49页12【例【例2】计算计算【解】【解】容易犯错误容易犯错误第12页/共49页13【例【例3】计算计算【解】【解】原式原式第13页/共49页14【例【例4 】计算计算【解】【解】令令原式原式另解另解:第14页/共49页15【证】【证】第15页/共49页16奇函数奇函数【例【例6】计算计算【解】【解】原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积第16页/共49页17【例【例7】设函数设函数【解】【解】换元换元 令令于是于是第17页/共49页18【总结】【总结】定积分的证明题定积分的证明题一般用到积分区间的一般用到积分区间的分割分割性性质、质、换元法换元法、定积分与积分变量、定积分与积分变量无关无关的特性。的特性。令令【例【例8】【证】【证】【分析】【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量先分割、再换元，最后改变积分变量第18页/共49页19【例例9】设设f(x)是以是以T为周期的连续函数，则对任意为周期的连续函数，则对任意a，有，有 【证证】令令则则【分析】【分析】先分割、再换元，最后改积分变量先分割、再换元，最后改积分变量【一般地】【一般地】第19页/共49页20二、分部积分公式二、分部积分公式【例【例1】计算计算【解】【解】令令则则第20页/共49页21【例【例2】计算计算【解】【解】第21页/共49页22【例【例3】计算计算【解】【解】第22页/共49页23【例【例4】证明定积分公式证明定积分公式(华里士（华里士（Wallis）公式）公式)为正偶数为正偶数为大于为大于1 1的正奇数的正奇数第23页/共49页24积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0 0或或1 1为止为止【证】【证】设设第24页/共49页25于是于是第25页/共49页26定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式三、小结三、小结定积分的换元法定积分的换元法定积分的证明题定积分的证明题一般用到积分区间的一般用到积分区间的分割分割性质、性质、换元法换元法、定积分与积分变量、定积分与积分变量无关无关的特性。的特性。第26页/共49页27第四节第四节 反常积分反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分（瑕积分）二、无界函数的反常积分（瑕积分）三、小结三、小结 思考题思考题第27页/共49页28（2 2）瑕积分（被积函数无界）瑕积分（被积函数无界）以上各节所讲定积分是以上各节所讲定积分是正常正常情况下的积分，情况下的积分，它满足两条：它满足两条：(1)(1)积分区间为有限区间积分区间为有限区间 a，b(2)(2)被积函数为有界函数被积函数为有界函数（尤其常见的是连续函数）（尤其常见的是连续函数）（1 1）无穷限的反常积分（积分区间无限）无穷限的反常积分（积分区间无限）反反常常积积分分第28页/共49页29一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分第29页/共49页30第30页/共49页31第31页/共49页32【注】【注】由上述定义及牛由上述定义及牛莱公式可得如下结果：莱公式可得如下结果：否则称否则称发散发散.（1）（2）第32页/共49页33（3）第33页/共49页34【例【例1 1】计算反常积分计算反常积分【解】【解】几何意义几何意义它是位于曲线的下方，它是位于曲线的下方，x轴轴上方、两端无限延伸的图形上方、两端无限延伸的图形的面积。但却是有限值的面积。但却是有限值第34页/共49页35【例【例2】计算反常积分计算反常积分【解】【解】第35页/共49页36【证】【证】第36页/共49页37二、无界函数的反常积分（二、无界函数的反常积分（瑕积分瑕积分）【定义】【定义】如果函数如果函数f(x)在点在点a的的任一邻域内任一邻域内都都无界无界，则，则称点称点a为函数为函数f(x)的的瑕点瑕点（又称（又称无界间断点无界间断点）第37页/共49页38第38页/共49页39定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.第39页/共49页40【注意】【注意】由上述定义及牛由上述定义及牛莱公式可得如下结果：莱公式可得如下结果：极限极限 存在存在，称反常积分，称反常积分收敛收敛；否否则则称反常积分称反常积分发散发散.极限极限 存在存在，称反常积分，称反常积分收敛收敛；否否则则称反常积分称反常积分发散发散.第40页/共49页41收敛收敛；否则当至少有一个；否则当至少有一个不存在不存在时，称反常积时，称反常积分分发散发散.第41页/共49页42【例【例5】计算反常积分计算反常积分【解】【解】必为瑕点必为瑕点第42页/共49页43【思考题【思考题1】【思考题解答】【思考题解答】第43页/共49页44【思考题【思考题2】【解】【解】令令第44页/共49页45【思考题解答】【思考题解答】计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.正确解法是正确解法是第45页/共49页46【练习【练习】设设【解】【解】【分析】【分析】第46页/共49页47第47页/共49页48 P253 1（偶）（偶）;2;5;7(16)作业：作业：第48页/共49页49感谢您的观看！第49页/共49页