不定积分高等数学教案.pptx
会计学1不定积分高等数学不定积分高等数学 1 1原函数的定义原函数的定义（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，关于原函数的说明：关于原函数的说明：（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，（为任意常数）为任意常数）则则(3)连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.第1页/共41页任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数2.不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢!即：若即：若则则第2页/共41页 说明说明:原函数和不定积分的联系原函数和不定积分的联系1.1.不定积分是由无限多个原函数组成的集合；不定积分是由无限多个原函数组成的集合；2.2.不定积分原函数不定积分原函数C C（任意常数）（任意常数）（1 1）的导函数；的导函数；（2 2）的一个原函数；的一个原函数；（3 3）的不定积分的不定积分第3页/共41页(1)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.3.不定积分的性质不定积分的性质（2 2）性质）性质先积后微形式不变先积后微形式不变;先微后积差一常数先微后积差一常数第4页/共41页1.已知已知求求2.已知已知求求3.已知已知求求4.已知已知求求第5页/共41页4 4、基本积分表、基本积分表是常数是常数)第6页/共41页第7页/共41页利用利用恒等变形恒等变形、及及基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 ,代数公式代数公式 ,积分性质积分性质 5、直接积分法、直接积分法:第8页/共41页6 6、第一类换元法、第一类换元法（凑微分法）（凑微分法）第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）第9页/共41页常见的凑微分形式常见的凑微分形式第10页/共41页第11页/共41页7 7、第二类换元法、第二类换元法(变量替换法变量替换法)第二类换元公式第二类换元公式第12页/共41页令令一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令第13页/共41页8 8、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式反反:反三角函数反三角函数对对:对数函数对数函数幂幂:幂函数幂函数指指:指数函数指数函数三三:三角函数三角函数选择选择u u的有效方法的有效方法:反对幂指三反对幂指三,哪哪个在前哪个选作个在前哪个选作u.u.第14页/共41页（1 1）幂函数与三角函数的乘积）幂函数与三角函数的乘积必须用分部积分法积分的被积函数的类型：必须用分部积分法积分的被积函数的类型：（2 2）幂函数与指数函数的乘积）幂函数与指数函数的乘积（3 3）幂函数与对数函数的乘积）幂函数与对数函数的乘积（4 4）幂函数与反三角函数的乘积）幂函数与反三角函数的乘积（5 5）三角函数与指数函数的乘积）三角函数与指数函数的乘积第15页/共41页(3)简单无理式的积分简单无理式的积分.(“谁妨碍我就把谁换掉谁妨碍我就把谁换掉”：做根式代换：做根式代换)(1)有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）(2)三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）9、几种特殊类型函数、几种特殊类型函数的积分的积分第16页/共41页（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式和一个真分式之和.第17页/共41页 有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下 面三种形式面三种形式:真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法第18页/共41页令令（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为（万能置换公式）（万能置换公式）第19页/共41页（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号第20页/共41页第21页/共41页例例3.3.求求解解第22页/共41页解解:原式=例例5.求解解:原式=例例4.4.求求第23页/共41页例例例例6.6.6.6.求求求求解解:原式=第24页/共41页例例7 7 求求解解第25页/共41页例例 8 求求解解第26页/共41页解一：解一：第27页/共41页例例10.求求解解:第28页/共41页例例11.11.求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.第29页/共41页例例12.12.求求解解积化和差公式积化和差公式:第30页/共41页例13：求解：解：第31页/共41页例例1414 求求解解 令令第32页/共41页例例 15.求积求积分分解解第33页/共41页例例1616 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式第34页/共41页解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得依题意可知：依题意可知：第35页/共41页第36页/共41页例例19.求求解：因为解：因为所以所以第37页/共41页例例 20 求求解解第38页/共41页第39页/共41页例例22.22.求积分求积分 解解第40页/共41页
