初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义及训练习题--判别式——二次方程根的检测器.pdf

1 初中奥林匹克数学竞赛辅导讲义-判别式二次方程根的检测器 为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题求解】【例 1】已知关于x的一元二次方程0112)21(2xkxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 。(广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于k的不等式组，注意k21、1k的隐含制约。注：运用判别式解题，需要注意的是：(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为 0 的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。【例 2】已知三个关于y的方程：02ayy，012)1(2yya和012)2(2yya，若其中至少有两个方程有实根，则实数a的取值范围是()（山东省竞赛题）A、2a B、41a或21 x C、1a D、141 a 思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a的不等式组，综合判断选择。【例 3】已知关于x的方程02)2(2kxkx，(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长a1，另两边长b、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长。(湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明0；对于(2)由于未指明底与腰，须分cb 或b、c中有一个与 c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b、c的值。注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有 2 多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。【例 4】设 方程42axx，只 有 3 个 不相 等的 实数根，求a的 值和 相应的 3 个 根。(重庆市竞赛题)思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有 3 个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。【例 5】已知：如图，矩形 ABCD 中，ADa，DCb，在 AB 上找一点 E，使 E 点与 C、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设 AEx，问：这样的点 E 是否存在?若存在，这样的点 E 有几个?请说明理由。(云南省中考题)思路点拨：要使 RtADE、RtBEC、RtECD 彼此相似，点 E 必须满足AED+BEC90，为此，可设在 AE 上存在满足条件的点 E 使得 RtADERtBEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点 E 的存在与否及存在的个数。注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：(1)利用根的定义构造；(2)利用根与系数关系构造；(3)确定主元构造。3 判别式二次方程根的检测器学力训练 1、已知014ba，若方程02baxkx有两个相等的实数根，则k=。2、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。(辽宁省中考题)3、已知关于x方程0422kxkx有两个不相等的实数解，化简4422kkk=。4、若关于x的一元二次方程01)12()2(22xmxm有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A、43m B、43m C、43m且2m D、43m且2m (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为a、b、c，B90，那么关于x的方程0)1(2)1(22xbcxxa的根的情况为()A、有两个相等的实数根 B、没有实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于x的方程0)1(2)2(2mxmxm只有一个实数根，那么方程0)4()2(2mxmmx的根的情况是()A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003 年河南省中考题)7、在等腰三角形 ABC 中，A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3a，b和c是 关于x的方程02122mmxx的两个实数根，求ABC 的周长。(济南市中考题)8、已知关于x的方程063)2(22mxmx (1)求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为1x、2x，满足1x=32x，求实数m的值。(盐城市中考题)4 9、a、b为实数，关于x的方程22baxx有三个不等的实数根。(1)求证：0842 ba；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是 60；(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值。(江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程03242mmxx，0)12(22mxmx中至少有一个方程有实根，则 m 的取值范围是 。(2002 年四川省竞赛题)11、当a=，b=时，方程0)2443()1(2222babaxax有实数根。(全国初中数学联赛试题)12、若方程axx52有且只有相异二实根，则a的取值范围是 。13、如 果 关 于x的 方 程05)2(22mxmmx没 有 实 数 根，那 么 关 于x的 方 程0)2(2)5(2mxmxm的实根的个数()A、2 B、1 C、0 D、不能确定 14、已知一元二次方程02cbxx，且b、c可在 1、2、3、4、5 中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有()A、12 个 B、10 个 C、7 个 D、5 个 (河南省中考题)15、已知ABC 的三边长为 a、b、c，且满足方程0)(22222bxbacax，则方程根的情况是()A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)16、若 a、b、c、d0，证明：在方程02212cdxbax；02212adxcbx；02212abxdcx；02212bcxadx中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。(湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数 a、b、c 满足0cba，abc1，求证：a、b、c 中至少有一个大于23。5 18、关于x的方程01)1(2xkkx有有理根，求整数是的值。(山东省竞赛题)19、考虑方程baxx22)10(1)若a=24，求一个实数b，使得恰有 3 个不同的实数x满足式。(2)若a25，是否存在实数b，使得恰有 3 个不同的实数x满足式?说明你的结论。(国家理科实验班招生试题)20、如图，已知边长为a的正方形 ABCD 内接于边长为b的正方形 EFGH，试求ab的取值范围。6 参考答案 7