初中数学-巧添辅助线--解证几何题.pdf
文档 巧添辅助线 解证几何题 引出问题 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。例题解析 一、倍角问题 例 1：如图 1，在ABC 中，AB=AC,BDAC 于 D。求证：DBC=12BAC.分析：DBC、BAC 所在的两个三角形有公共角C，可利用 三角形内角和来沟通DBC、BAC 和C 的关系。证法一：在ABC 中，AB=AC，ABC=C=12（180-BAC）=90-12BAC。BDAC 于 D BDC=90 DBC=90-C=90-(90-12BAC)=12BAC 即DBC=12BAC 分析二：DBC、BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“DBC=BAC”中含有角的倍、半关系，因此，可以做A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把A 放在直角三角形中求解；也可以把DBC 沿 BD 翻折构造 2DBC 求解。证法二：如图 2，作 AEBC 于 E，则EAC+C=90 AB=AC EAG=12BAC BDAC 于 D DBC+C=90 EAC=DBC（同角的余角相等）即DBC=12BAC。证法三：如图 3，在 AD 上取一点 E，使 DE=CD 连接 BE BDAC BD 是线段 CE 的垂直平分线 BC=BE BEC=C EBC=2DBC=180-2C AB=AC ABC=C BAC=180-2C EBC=BAC DBC=12BAC 说明：例 1 也可以取 BC 中点为 E，连接 DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。C A B D E C A B D E C A B D 文档 例 2、如图 4，在ABC 中，A=2B 求证：BC2=AC2+ACAB 分析：由 BC2=AC2+ACAB=AC（AC+AB），启发我们构建两个相似 的三角形，且含有边 BC、AC、AC+AB.又由已知A=2B 知，构建以 AB 为腰的等腰三角形。证明：延长 CA 到 D,使 AD=AB,则D=DBA BAC 是ABD 的一个外角 BAC=DBA+D=2D BAC=2ABC D=ABC 又C=C ABCBDC ACBCBCCD BC2=ACCD AD=AB BC2=AC（AC+AB）=AC2+ACAB 二、中点问题 例 3已知：如图，ABC 中，AB=AC,在 AB 上取一点 D，在AC的延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证：BD=CE 分析：由于 BD、CE 的形成与 D、E 两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以 关系不明显，由于条件 F 是 DE 的中点，如何利用这个 中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。由已知 AB=AC,联系到当过 D 点或 E 点作平行线，就可以形成新 的图形关系构成等腰三角形，也就是相当于先把 BD 或 CE 移动一下位置，从而使问题得解。证明：证法一：过点 D 作 DGAC,交 BC 于点 G（如上图）DGB=ACB,DGF=FCE AB=AC B=ACB B=DGB BD=DG F 是 DE 的中点 DF=EF 在DFG 和DEFC 中，DFG=EFC DGF=FCEDF=EF DFGEFC DG=CE BD=CE A BCE G D F C A B 文档 证法二：如图，在 AC 上取一点 H,使 CH=CE,连接 DH F 是 DE 的中点 CF 是EDH 的中位线 DHBC ADH=B,AHD=BCA AB=AC B=BCA ADH=AHD AD=AH AB-AD=AC-AH BD=HC BD=CE 说明：本题信息特征是“线段中点”。也可以过 E 作 EMBC,交 AB 延长线于点 G，仿照证法二求解。例 4如图，已知 ABCD，AE 平分BAD，且 E 是 BC 的中点 求证：AD=AB+CD 证法一：延长 AE 交 DC 延长线于 F ABCD BAE=F,B=ECF E 是 BC 的中点 BE=CE 在ABE 和CEF 中 BAE=F B=ECFBE=CE ABECEF AB=CF AE 平分ABD BAE=DAE DAE=F AD=DF DF=DC+CF CF=AB AD=AB+DC 证法二：取 AD 中点 F，连接 EF ABCD，E 是 BC 的中点 EF 是梯形 ABCD 的中位线 EFAB ,EF=12（AB+CD）BAE=AEF AE 平分BAD BAE=FAE AEF=FAE AF=EF AF=DF EF=AF=FD=12AD 12(AB+CD)=12AD AD=AB+CD A B C D H E F A B C E F D A B C E F 文档 三角平分线问题 例 5如图（1），OP 是MON 的平分线，请你利用图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。（1）如图（2），在ABC 中，ACB 是直角，B=60,AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F,请你判断并写出 EF 与 FD 之间的数量关系。（2）如图（3），在ABC 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。分析：本题属于学习性题型。这类题型的特点是描述一种方法，要求学生按照指定的方法解题。指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形。解：（1）EF=FD（2）答：（1）结论 EF=FD 仍然成立 理由：如图（3），在 AC 上截取 AG=AE,连接 FG 在AEF 和AGF 中，AE=AG EAF=FAG AF=AF AEFAGF EF=GF,EFA=GFA 由B=60，AD、CE 分别是BACBCA 的平分线 NFPAMEO(1)DEFBCA(2)FEDBCA(3)文档 可得FAG+FCA=60 EFA=GFA=DFC=60 GFC=60 在CFG 和CFD 中 GFC=DFC CF=CF DCE=ACE CFGCFD FG=FD 又因为 EF=GF EF=FD 说明：学习性问题是新课程下的新型题，意在考查学生现场学习能力和自学能力。抛开本题要求从角平分线的角度想，本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的。解法二：（2）答（1）中的结论 EF=FD 仍然成立。理由：作 FGAB 于 G,FHAC 于 H,FMBC 于 M EAD=DAC FG=FH ACE=BCE FH=FG B=60 DAC+ACE=60 EFD=AFC=180-60=120 在四边形 BEFD 中 BEF+BDF=180 BDF+FDC=180 FDC=BEF 在EFG 和DFM 中 0 FDC=BEF EGF=DMF=90FG=FM EFGDFM EF=DF 四、线段的和差问题 例 6 如图，在ABC 中，AB=AC,点 P 是边 BC 上一点，PDAB 于 D,PEAC 于 E,CMAB 于 M,试探究线段 PD、PE、CM 的数量关系，并说明理由。分析：判断三条线断的关系，一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系，通过测量猜想PD+PE=CM.分析：在 CM 上截取 MQ=PD，得PQMD,再证明 CQ=PE 答：PD+PE=CM 证法一：在 CM 上截取 MQ=PD，连接 PQ.CMAB 于 M,PDAB 于 D CMB=PDB=90 CMDP 四边形 PQMD 为平行四边形 PQAB HGMFEDBCA(3)QMEDPCBA 文档 CQP=CMB=90QPC=B AB=AC B=ECP QPC=ECP PEAC 于 E PEC=90 在PQC 和PEC 中 PQC=PEC QPC=ECP PC=PC PQCPEC QC=PE MQ=PD MQ+QC=PD+PE PD+PE=CM 分析 2：延长 DF 到 N 使 DN=CM,连接 CN,得平行四边形 DNCM,再证明 PN=PE 证法 2：延长 DF 到 N，使 DN=CM，连接 CN 同证法一得平行四边形 DNCM，及PNCPEC PN=PE PD+PE=CM 分析 3：本题中含有 AB=AC 及三条垂线段 PD、DE、CM，且PABPACABCSSS，所以可以用面积法求解。证法三：连接 AP,PDAB 于 D,PEAC 于 E,CMAB 于 M PQC=PEC QPC=ECP PC=PC 121212ABPACPABCSABPDSACPESAB CM AB=AC 且PABPACABCSSS 1112220ABPDABPEAB CMABPDPECM 说明：当题目中含有两条以上垂线段时，可以考虑面积法求解。NMEDPCBA MEDPCBA 文档 FEDCBA五、垂线段问题 例 7 在平行四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上一点，且,PEAB PFBC垂足分别是 E、F 求证：ABPFBCPE 分析：将比例式ABPFBCPE转化为等积式ABPEBCPF，联想到ABPEBCPF1122，即PAB 与PBC 的面积相等，从而用面积法达到证明的目的。证明：连接 AC 与 BD 交于点 O,连接 PA、PC 在平行四边形 ABCD 中，AO=CO AOBBOCSS 同理，AOPCOPAOBAOPBOCCOPPABPBCSSSSSSSS ,PEAB PFBC ,11221122PABPBCSABPE SBCPFABPEBCPFABPEBCPFABPFBCPE 例 8 求证：三角形三条边上的中线相交于一点。分析：这是一个文字叙述的命题。要证明文字命题，需要根据题意画出图形，再根据题意、结合图形写出已知、求证。已知：ABC 中，AF、BD、CE 是其中线。求证：AF、BD、CG 相交于一点。分析：要证三线交于一点，只要证明第三条线经过另两条线的交点即可。证明：设 BD、CE 相交于点 G，连接 AG，并延长交 BC 于点 F,.FEDCBA P文档 ,ABDCBDAGDCGDAGBCGBCGBAGCAGBAGCADDCSSSSSSSSSS同理，作 BMAF,于 M,CNAF,于 N 则,11221122AGBAGCSAGBM SAG CNAGBMAG CNBMCN 在BMF,和CNF,中 BF MCF NBMFCNFBMCN BMFCNF BFCF AF,是 BC 边上的中线 又AF 时 BC 边上的中线 AF 与 AF,重合 即 AF 经过点 D AF、BD、CE 三线相交于点 G 因此三角形三边上的中线相交于一点。六、梯形问题 例 9以线段 a=16,b=13 为梯形的两底，以 c=10 为一腰，则另一腰长 d 的取值范围是 分析：如图，梯形 ABCD 中，上底 b=13，下底 a=16，腰 AD=c=10，过 B 作 BEAD,得到平行四边形 ABED，从而得 AD=BE=10,AB=DE=13 所以 EC=DC-DE=16-13=3.所以另一腰 d 的取值范围是 10-3d10+3 答案：7d13 例 10如图，已知梯形 ABCD 中，ABDC,高 AE=12,BD=15,AC=20,求梯形 ABCD 的面积。分析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线位置交错，条件一时用不上。另外，求梯形面积只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的长，所以考虑平移腰。解：解法一：如图，过 A 作 AFBD,交 CD 延长线于 F DCEBA 文档 /,AB FCFD AB AFBDFCAB DCAEFCAEFAECABDF1590。四形是平行四形 在直角三角形 AEF 中，AE=12,AF=15 222215129EFAFAE 在直角三角形 AEC 中，AE=12,AF=15 ()2222201216916251125 1215022ABCDECACAEABDCFCEFECSABDCAE梯形 解法二：如图，过 B 作 BFDC 于 F BFC=90AEDC 于 E /,AEBFABDCABFEBFACABEFAED=AEC=90AEC=BFC=9012。是平行四形 在直角三角形 ABC 中，,22122016AEACECACAE 在直角三角形 BDF 中，,()22121599162511251215022ABCDBFBDDFBDBFABDCDFCESABDCAE梯形 FDCEBA FDCEBA 文档 例 11.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,B+C=90,M、N 分别是 AD、BC 的中点，试说明：()12MNBCAD 分析 1：B+C=90，考虑延长两腰，使它们相交于一点，构成直角三角形。解法 1：延长 BA、CD 交于点 G,连接 GM、GN 9090BCBGCAMMDGMAMGAMAGMBNCNGNBNBBGNADBCGAMBAGMBGN 。又 B、A、G 共线 G、M、N 共线 ,()112212GMAD GNBCMNGNGMBCAD 分析 2：考虑 M、N 分别为 AD、BC 中点，可以过 M 分别作 AB、DC 的平行线，梯形 ABCD 内部构成直角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形。解法 2：作 MEAB 交 BC 于 E,作 MFDC 交 BC 于 F ADBC 四边形 ABEM、DCFM 都是平行四边形 BE=AM,FC=DM ,AMMDBEFCBNCNENFNAB MFDCMEFBMFECBCMEFMFE ME9090。由 EMF=90,又EN=FN 11()22MNEFBCAD A B C D M N G A B C D M N E F 文档 模式归纳 通过上面各例的分析、解证，发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通，解答过程简捷。但辅助线的添加灵活多变，好像比较难以把握。其实添什么样的辅助线？怎么添辅助线？与已知条件的特征和所求问题的形成关系密切。下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法。一、倍角问题 研究2或=12问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形：1.与在两个三角形中，常作的平分线，得1=12，然后证明1=；或把翻折，得2=2，然后证明2=（如图一）2.与在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二）二 中点问题 已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线（1）延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。（2）构造中位线，如图三（3）构造直角三角形斜边上的中线，如图四。图一 图二 图三 图四 21 图一 图二 文档 三、角平分线问题 已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种：1.以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。2.由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。图一 图二 图三 四、线段的和差问题 已知条件或所求问题中含有 a+b=c 或 a=c-b，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种：1.短延长：若 AB=a,则延长 AB 到 M,使 BM=b,然后证明 AM=c；2.长截短：若 AB=c,则在线段 AB 上截取 AM=a,然后证明 MB=b。五、垂线段问题 已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有：1.同（等）底的两个三角形的面积与其高的关系；2.同（等）高的两个三角形的面积与其底的关系。六、梯形问题 梯形可以看作是一个组合图形，组成它的基本图形是三角形、平行四边形、矩形等。因此，可以通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等问题求解，其基本思想为：梯形问题 三角形或者平行四边形问题 在转化、分割、拼接时常用的辅助线：1.平移一腰。即从梯形一个顶点作另一个腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如图一）。研究有关腰的问题时常用平移一腰。2.过顶点作高。即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形（如图二）。研究有关底或高的问题时常过顶点作高。3.平移一条对角线。即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形（如图三）。研究有关对角线问题时常用平移对角线。这种添加辅助线的方法，可以将梯形两条对角线及两底的和集中在一个三角形内，使梯形的问题转化为三角形的问题。此三角形的面积等于梯形的面积。4.延长两腰交于一点。把梯形问题转化为两个相似的三角形问题（图四）；5.过底的中点作两腰的平行线。当已知中有底的中点时，常过中点做两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形（图五）；6.过一腰中点作直线与两底相交。当已知中有一腰的中点时，常连接梯形一顶点和此中点，并延长交另一底于一点，将梯形问题转化为一对全等三角形和一个含有梯形两底之和的三转化 分割、拼接 文档 角形。此三角形的面积等于梯形的面积（图六）；7.作梯形中位线。当已知中有一腰的中点时，常取另一腰的中点，作梯形的中位线，（图七），利用梯形中位线性质解题。图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 拓展延伸 1.已知：如图，ABC 中，D 是 BC 的中点，F 是 CA 延长线上一点，连接 FD 交 AB 于 E，若 AE=AF 求证：BE=CF 证法一：延长 ED 到 G 使 DG=DE,连接 CG.在BDE 和CDG 中，,BDCDBDECDGDEDGBDECDGBEDG BECGAEAFFFEAFEABEDBEDGFGCGCFBECF A B C D E G F 文档 证法二：延长 FD 到 G,使 DG=DF,连接 BG。DCF 和BDG 中 ,DCBDFDCBDG FDDGFDCBDGFG CFBGAEAFFFEAFEABEDBEDGBEBGBECF 又 2、如图，ABC 中，BC=2AB,D 是 BC 中点，E 是 BD 中点 求证：AD 平分EAC。证明一：延长 AE 到 F,使 EF=AE 在三角形 ADE 和 BEF 中,DEBEAEDBEFAEEFAEDBEFADEEBFEADF ADBFADEBADBCAB BDCDABBDDCADCADBADCABDBADADCABF 2是的外角 在三角形 ADC 和 ABF 中 A B C D E G F A B C D E F 文档 DCABADCABFADBFADCABFDACFFEADEADDACADEAC 又平分 证明 2：取 AC 中点 F,连接 DF D 是 BC 的中点DF 是ABC 的中位线 ,12212DFAB DFABADFBADBCAB BEDEABBDDCDEABBADADB DEDFADFADB 且 在三角形 ADE 和 ADF 中 DEDFADFADBADADADEADFEADCADADEAF 平分 3.已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,ABC=90,C=45,BECD 于 E，AD=1,2 2CD,求 BE 的值。解：过 D 作 DFAB,交 BC 于点 F A B C D E F 文档 coscossinsinABFD190?DFC C=45?,CD=2 22390?3 22ADBCBFADDFABDFCABCCFCCDCFCDCBCBFFCBECBECBECBCBEBCC 四形是在直角中，在直角中，说明2：延长两腰交于一点，也可求解。同学们不妨一试。A B C D E F
