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初三第一册 相似三角形 1、相似形（1）形状相同的两个图形叫做相似形。（2）相似的图形，他们的大小不一定相同。大小相同的两个相似形是全等形。（3）如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形对应角相等，对应边的长度成比例。（4）图形的大小或放缩，称为图形的放缩运动。通过放缩运动，两个相似的图形可以互相重合（即称为全等形）。注意：在解决相似形的问题中，要注意点与点、边与边、角与角之间的“对应”关系。2、比例线段（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比。（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（3）比例线段的性质：基本性质：如果acbd，那么adbc（或,bd ab cdac cd ab）。合比性质：如果acbd，那么abcdbd。等比性质：如果ackbd，那么acackbdbd。（4）黄金分割 如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB（APPB）,其中，AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点 P 称为 AB 的黄金分割点，AP 与 AB 的比值512称为黄金分割数，它的近似值为 0.618。注意：求两条线段的比，与长度单位的选择无关，但单位必须统一；两线段的比是一个没有单位的正数。四线段成比例具有顺序性。3、三角形一边的平行线（1）定理 1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。推论 1 平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。（2）三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。（3）定理 2 如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。推论 2 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。（4）两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。两条直线被被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。注意：在使用三角形一边平行线的性质定理时，关键是看清平行线，找准对应线段，构成比例。4、相似三角形的判定（1）相似三角形：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例。对应边的比叫做相似比。当相似比等于 1 时，这两个相似三角形是全等三角形。（2）相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（3）相似三角形的判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。（4）相似三角形判定定理 2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。（5）相似三角形判定定理 3 如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。（6）直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（7）两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。5、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比。（3）相似三角形周长的比等于相似比。（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。6、实数与向量相乘（1）实数与向量相乘的运算 若00k a且，那么ka的长度kkaa。ka的方向：当0k 时，ka与a同方向；当0k 时，ka与a反方向；若00k a或，那么0k a。（2）实数与向量相乘的运算律 设 m,n 为实数，则()()m nmnaa；()mnmnaaa；()mmmabab。向量加法、减法、实数与向量相乘等运算，与多项式的运算类似，但向量运算的结果仍是向量，是一个有长度和方向的量。（3）平行向量定理 如果向量b与非零向量a平行（包括,b a在同一直线上），那么存在唯一确定的实数 k，使得kba。注意：给出图形计算向量的和与差主要依据向量求和的平行四边形法则；给出向量和或差的式子，进行化简或运算，方法类似“合并同类项”的法则。7、平面向量的分解（1）向量的加法、减法、实数与向量相乘，以及他们的混合运算，叫做向量的线性运算。如果,a b是两个不平行的向量，x,y 是实数，那么向量xyab叫做向量,a b的线性组合。（2）给定两个不平行向量,a b，对于任一个向量c，都可以确定它关于,a b的分解式，也可用作图法作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。注意：向量的合成与分解在物理学中有着广泛的应用。如“力”是有大小和方向的物理量，是一个向量。作用在同一个物体上的两个或两个以上的力，可以用向量加法合成一个力对物体起作用；同样，作用在一个物体上的力，可以分解成不同方向上两个或两个以上的分力。ABCcba 锐角的三角比 1.三角函数的定义：在RtABC 中,如C=90，那么 sinA=ca斜对；cosA=cb斜对；tanA=ba邻对；cotA=ab对邻.2余角三角函数关系 -“正余互化公式”如A+B=90,那么：sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB；cotA=tanB.3.同角三角函数关系：sin2A+cos2A=1；tanAcotA=1.tanA=AcosAsin cotA=AsinAcos 4.函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设 k,它可以推出特殊角的直角三角函数 值，要熟练记忆它们.A 0 30 45 60 90 sinA 0 21 22 23 1 cosA 1 23 22 21 0 tanA 0 33 1 3 不 存在 cotA 不 存在 3 1 33 0 K3 K K KK2 K230 45 60 ABCABC 6.函数值的取值范围：在 0 90时.正弦函数值范围：0 1；余弦函数值范围:1 0；正切函数值范围：0 无穷大；余切函数值范围：无穷大 0.注：三角函数值是一个比值若A为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0sinA1,0cosA0,cotA0。7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.解直角三角形（1）在直角三角形中，除直角外，还有 5 个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。（2）解直角三角形常用到的关系：锐角关系：090AB，三边关系：勾股定理：222abc 边角关系：sinA=,cos,tan,cotsinB=,cos,tan,cotababAAAccbababaBBBccab 直角三角形的面积：111sin222SchababC 8.关于直角三角形的两个公式：RtABC 中:若C=90,.:m:R:r.m2cR2cbarcc斜边上中线外接圆半径，内切圆半径，；9坡度：i=1:m=h/l=tan；坡角:.lha 10.方位角：11仰角与俯角：12解斜三角形：已知“SAS”“SSS”“ASA”“AAS”条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边和角.13解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：（1）A90，图形唯一可解；（2）A90，A 的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）A90，A 的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.14解三角形的基本思路：（1）“斜化直，一般化特殊”-加辅助线的依据；（2）合理设“辅助元 k”，并利用 k 进一步转化是分析三角形问题的常用方法-转化思想；（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法-方程思想.北东北偏西南偏东仰角俯角水平线铅垂线 二次函数 一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是 全体实数 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 2.2yaxc的性质：上加下减。3.2ya xh的性质：左加右减。a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下 0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0 4.2ya xhk的性质：三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成 mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较 从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x，20 x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质 1.当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值244acba 2.当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y有最大值244acba 七、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2.一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a 的前提下，当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次 函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来 说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2.关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；3.关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5.关于点mn，对称 2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便 运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物 线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac 时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是 一 元 二 次 方 程200axbxca的 两 根 这 两 点 间 的 距 离2214bacABxxa.当0 时，图象与x轴只有一个交点；当0 时，图象与x轴没有交点.1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2 当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点 式；根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点 坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所 含字母x的二次函数；下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与x轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.初三第二册 圆与多边形 1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义 2 垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧；平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。3 弧、弦、圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。4 圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 度的圆周角所对的弦是直径。5 点和圆的位置关系 点在圆外 rd 点在圆上 d=r 点在圆内 dr 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，外接圆的圆心是三角形的三 条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。6 直线和圆的位置关系 相交 dr 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线的判定定理：经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角。三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆为它的内切圆，圆心是三角形的 三条角平分线的交点，为三角形的内心。7 圆和圆的位置关系 外离 dR+r 外切 d=R+r 相交 R-rdR+r 内切 d=R-r 内含 dR-r 8 正多边形和圆 正多边形的中心：外接圆的圆心 正多边形的半径：外接圆的半径 正多边形的中心角：没边所对的圆心角 正多边形的边心距：中心到一边的距离 9 弧长和扇形面积 弧长 180rnl 扇形面积：3602rnS 10 圆锥的侧面积和全面积 侧面积：全面积 11（附加）相交弦定理、切割线定理 统计初步 1.学习直方图和扇形统计图并能依数据画出。2.掌握初步概率应用计算。