在三角形与四边形中“求两线段长度之和的最小值”问题全解析.pdf
1/7 有关三角形、四边形中“求两线段长度值和最小”问题全解析 在近几年的中考中,经常遇到求 PA+P最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析,希望对同学们有所帮助.一、在三角形背景下探求线段和的最小值 1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值 例 如图，在锐角三角形 AC 中，AB=4,BAC5,的平分线交C 于点,M，N分别是 A和 AB 上的动点，则 BM的最小值为 分析:在这里，有两个动点,所以在解答时,就不能用我们常用对称点法我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决 解：如图 1,在 AC 上截取 AEAN，连接 BE因为BC 的平分线交C 于点 D，所以E=NM，又因为 AM=A，所以 EAN，所以 ME=M所以 B+MBM+MEBE。因为M有最小值当 BE 是点 B 到直线C 的距离时,B取最小值为,以 BM+N的最小值是 4故填 4。12 在等边三角形中探求线段和的最小值 例 2（01 山东滨州)如图 4所示，等边 ABC的边长为 6，D 是 BC边上的中线,是上的动点,E是 AC边上一点.若 A=2，+M的最小值为 。2/7 分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可。解:因为等边 A的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线,所以点与点 B 关于 AD 对称,连接 BE 交D 于点 M,这就是 EMC最小时的位置，如图 5 所示，因为=M，所以M+M=BE,过点 E 作FBC，垂足为，因为 AE,AC=6,所以C=4,在直角三 角 形E C中,因 为E 4,E F=60，FEC=30,所 以FC=2,EF=2 因为 BC=6,F=2，所以 BF=4在直角三角形 BEF中，BE=。二、在四边形背景下探求线段和的最小值 2.1 在直角梯形中探求线段和的最小值 例 3 如图 3,在直角梯形 ABCD 中,A=，DBC，AD4,AB5,BC6,点 P 是 AB 上一个动点，当 PC+PD 的和最小时，的长为_。分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法 3/7 解：如图 3 所示,作点 D关于直线 AB 的对称点 E，连接 CE,交 AB于点 P,此时 PC+P和最小，为线段 CE因为 AD4，所以 AE=4.因为AB9,ADBC，所以AP0 因为EBPC,所以 P，所以.因为 AE=4，B，所以，所以，所以，因为 AB=5,所以P3 2.2 在等腰梯形中探求线段和的最小值 例 4 如图 4，等腰梯形BCD 中，A=AD=D=1,BC=60，P 是上底，下底中点 E直线上的一点，则A+P的最小值为 。分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点 D,这是解题的一个关键点.其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键 解：如图 4 所示，因为点关于直线F的对称点为,连接 BD,交 EF于点 P，此时 PPB 和最小，为线段 BD。过点 D 作 DGB，垂足为 G，因为四边形 ABCD 是等腰梯形,且 AB=ADCD=,A=60，所以C60，GDC30，所以 GC，DG=因为C=60，ADC，所以BAD10因为 AB=AD，所以ABDADB30，所以ADC30，所以 BD=D=所以 PA+B 的最小值为 2.3 在菱形中探求线段和的最小值 4/7 例 5 如图 5 菱形 ABD 中，A=2，BAD=6，E 是的中点，P 是对角线AC 上的一个动点,则 PE+PB 的最小值为 分析：根据菱形的性质知道，点 B 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点 解：如图 5 所示，因为点 B关于直线 AC的对称点为 D，连接 DE，交 AC于点 P，此时 PE+B 和最小，为线段 ED.因为四边形 ABC是菱形，且BAD=6，所以三角形ABD 是等边三角形.因为是 AB 的中点,A=2，所以 A=1,DEAB，所以D=。所以+PB 的最小值为。2。4 在正方形中探求线段和的最小值 例 如图 6 所示，已知正方形BD 的边长为 8，点 M 在 DC 上，且 DM=2,N 是上的一个动点，则 DN+N 的最小值为 分析:根据正方形的性质知道，点 B 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点.解:如图 6 所示,因为点关于直线的对称点为 B,连接，交 AC 于点 N，此时DNMN 和最小，为线段 B。因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BC=CD因为 D，所以 M=6，所以 BM=10.所以 DN+MN 的最小值为 10.5/7 例 7 如图 7,在边长为 2m的正方形 A中，点 Q 为 BC边的中点，点 P 为对角线 AC上一动点,连接 PB、PQ,则 周长的最小值为 cm(结果不取近似值）。分析:在这里 PB周长等于 PB+PQ+BQ,而Q 是正方形边长的一半,是一个定值 1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得 PB+PQ 的和最小问题因为题目中有一个动点，两个定点 B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法。解:如图 7所示，根据正方形的性质知道点 B 与点 D关于 AC对称，连接 DQ,交C于点,连接B所以=DP,所以 BPQ=DPPQ=DQ在 Rt CDQ 中，=，所以 PBQ 的周长的最小值为:BP+P+BQDQ+BQ=+1故答案为+1 例 8 如图 11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 O在坐标原点，顶点 A、B分别在 x 轴、y轴的正半轴上，OA=3,OB=，D 为边B的中点。（1）若 E 为边 OA 上的一个动点,当 DE 的周长最小时，求点 E的坐标；（）若、F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时,求点E、的坐标。6/7 分析:本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起,并很好的运用到平面直角坐标系中。解：（1)如图 12,作点 D 关于 x 轴的对称点，连接 C与 x 轴交于点，连接DE 若在边 OA上任取点(与点 E不重合），连接 C、D、。由 D C=+CC DE=DE+CE，所以的周长最小 因为 在矩形 OAB 中，OA3,B4,D为 OB的中点,所以 C=3,DO=O=2。所以点 C 的坐标为（3，4），点的坐标为（,-2），设直线 C的解析式为=x+b,则，解得 k=2,b=-，所以函数的解析式为 y=2x2，令 y=,则=，所以点 E 的坐标为（1，0）；（2）如图 1，作点 D关于轴的对称点,在B边上截取 C=2，连接G与 x轴交于点，在 EA 上截 E=2.因为 CEF，GC=EF，所以 四边形EFC 为平行四边形，有ECF.又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点 E、F使四边形 CDE的周长最小.因为 在矩形 OAB 中,OA=3,OB4，D 为的中点,CG=2，所以 BC=3,D=O=,BG=1 7/7 所以点 G 的坐标为(1，4）,点的坐标为（0,），设直线 G的解析式为 y=x+，则,解得 k6，b=,所以函数的解析式为 y=6-2，令 y=0,则 x=,所以点 E的坐标为（，0），所以点 F的坐标为(+，)即 F的坐标为（，0）
