不等式 不等关系与不等式.docx
第七章不等式7.1 不等关系与不等式考纲要求1 . 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2 .掌握不等式的性质，会用不等式的性质进行不等式的运算、证明和比较数或式的大 小.梳理自测。构定饯英用知识梳理.iZHISHISHULI1.实数大小顺序与运算性质之间的关系a。>0=； a b=0=； aZ?<0<=>.2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质性质性质内容注意对称性a>Zx=><=>传递性a> b, b> c=>=>可加性a>g=>可乘性a>b =0()。的符号a>b => c<0同向可加性1ra>b c>d=>同向同正 可乘性a>b>0c>d >0=>可乘方性心。>0=(£N, 22)同正可开方性a>b>0=(£N, 22)(1)倒数性质a>b, aZ?>0=>- a- aVOVZ/=>，7；abOVa<xV力或 bxa(2)有关分数的性质若 a>8>0, />(),则入 一 b6+加 bbm.真分数的性质：> -(6一加>0).aa-v maa- mm 八迎j 工aa+maa-m.,八假分数的性质：T7T-> TT-(/?7>0).bD-rmbbm4. (1)若 c?>0,则 | x <<K=>.(2)若刀>0,贝ij | >ao.EJ基 础自测,ichuz【ce1.若a, b, cWR, a>，则下列不等式成立的是（）.1 1A. -<- a b o ）B. a>b'- a bc- 7+T>7TTD. a c >b csi>b= cic>bca b2.下面的推理过程八，一ac>bc->-,其中错误之处的个数是（）.c>d=>bc>bd/。A. 0B.1C. 2 D. 33.设苏>0,力>0,若1g和1g力的等差中项是0,则+的最小值是（）.A. 1B.2C. 4D.2位4.若 x>y, a>b,则在ax>/?匕：a+x>b+y：©% b>y a； o A->一这五个式子中，恒成立的不等式的序号是.y x探究突破更ODIANTANIIUTUPO-一、用不等式（组）表示不等关系【例I】某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和 农用车分别为10辆和20辆，若每辆大卡车载重8 t,运费960元，每辆农用车载重2.5 t, 运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出 来.方法提炼1.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字 语言大于，高于， 超过小于，低于， 少于大于等于，至 少，不低于小于等于，至 多，不超过符号 语言><22.注意变量的实际意义体积、面积、长度、重量、时间等均为非负实数.请做演练巩固提升4二、比较实数（或代数式）的大小Q, C【例2 1】已知在等比数列&中，a>0, «>0,前项和为S“试比较一与二的大小.& 8【例 2 2】已知 a>8>0, cd<0, e<0,求证：一->丁一a-c b- d方法提炼比较大小的方法1 .作差法其一般步'是：（1）作差；（2）变形：（3）定号；（4）结论.其中关键是变形，常采用配方、 因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式.当两个式子都为正数时，有时 也可以先平方再作差.2 .作商法其一般步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）结论.3 .特例法若是选择质还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.4 .注意：且>1)成立的条件.a 0请做演练巩固提升2, 5S3考题研析11KAOTIYANXI错用不.等式性质求范围致误【典例】设F(x)=af+",若1WF(l)W2,2Wf(l)W4,则F( 2)的取值范围是1W&一虑2,错解：由得, 2Wa+bW4.3士得;二得3W攵WL.由此得 4WF(2)=4a26W1L/(2)的取值范围是4,11.正解：法一：设F(2)=F(D+F(1)(勿、为待定系数),贝U 4a26=加(ab) +(a+b),即 4a2b= (/+) a+ (-m) b.于是，加+=4,nm=2,解得m=3, n=l.f(-2)=3f(-D+f(l).又1WF(1)W2,2WF(1)W4, 5W3f(l)+F(l)W10.即 5Wf(2)W10.1 =a- b,1 =a+4&=/" 1 +f 1， 加T”./*(-2)=4d-26=3A-1)+A1).又TWF(-1)W2,2WF(1)W4,5W3F(-1)+F(1) W10,即 5WF(-2)W10.答案：5, 10答题指导:利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严 格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取信范围，要 特别注意.错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致F( 2)的取值 范围扩大.另外，本题也可用线性规划求解，题中a、力不是相互独立的，而是相互制约的, 故不可分割开来.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次 性"不堡C关系的运算求得待求整体的范围是避免错误的-条途径.巩固提升、.1.若a, b为实数,则“0V者VI"是“L，的().aA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2 .比较大小：at）'a»'（a>0,力>0 且 aNb）.3 .已知12VV60, 15V6V36,则a-b,弓的取值范围分别是,.4 .已知一个三边分别为15, 19, 23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x个单 位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出才满足的不等关系.5 .已知a、b、c是实数，试比较a'+Zz+d与a6+6c+ca的大小.参考答案基础梳理自测知识梳理1. a>b a=b a<b2. b<a a> cc> b- d ac> be ac<bc a+c>力+d ac> bd>0%>新3. VVV VV >V4. (1) a<x<a (2)x< a 或基础自测1. C解析：解法一：(特殊值法)令a=l, b=-2, c=0,代入A, B, C, Q中，可知A, B, 1)均错.故选C. 解法二：(直接法)a b:a>b, <?24-1>0,工；TTjTyApTjTy.故选 C.2. D 解析：®a>ac>be,c>bc>bd, ac>B 解析：1g a+lg Z>=lg ab=Q, ab=l,，+)22、/；=2. at) y Qu当.且仅.当a=。时"=”成立.3. 解析：若 x>y, a>b,则一xVy,，一y>Z?x.若 x>y, a>b,则一>a,:.x. b>y a,若x> y, ci> b,则推不出ax> by.7 h若x>y, a>b,推不出?>一.y x综上，错误，正确.考点探究突破【例1】 解：设租用大卡车X辆，农用车y辆，8x+2. 5/100, 24x+9025, 则OWxWlO,0WQ0, y£N.【例21 解：当Q=1时，=3, =5, 国 国所以三v*. a.i as当Q>0且0工1时，S S a】(l )打(1 一汰条 aq( q) a/(l -力» (1 -°)q (1 6Q 1 八=(<0,qS $所以有一.a3 雷【例2一2】证明：cVdVO, - c> d>0.*.*a>b>0,:a- c>b d>0.a- c b d又xo,，言后演练巩固提升1. D,解析：TOVabVl,:a, 6 同号.当a,。同正时，由OVaAVl易.得Z?V2 a当a,。同负时，由OVaAVl易得 a因此 OVaZ?Vl a反过来，由得，力因此 bVAoVabVl. a综上知“OVabVl”是“bL的既不充分也不必要条件.a2. > 解析：根据同底数辕的运算法则，采用作商法.尊=尸产/T当a>">0时，即>1, a b>0,当>a>0 时，O<-1<1, a- bO,>1,于是次综上，a>b'.3. (-24,45)4)解析：欲求a力的取值范围，应先求一人的取值范围；欲求的取值范围，应先求力勺取值范围.V15<Z?<36, A-36<-Z?<-15.又 12VaV60,A12-36<c7-/7<60-15.A-24<a-<45.A. 111. 12 a 6036 3 15' 136 b 1515 x>0,4. “ 15x+19 x>23 x,.(23 A)*(15x)'+ (19a)25. 解：方法一：(作差法)一+ 毋 + / -(劭+ bc+ ca)= (aZ?)2+ (/?(?)'+ (c a)' 20, 乙当且仅当a=b=c时取等号， :.才十 斤+0, 2 ab+ 力 c+ ca.方法二：(函数法)i 己 1=4+1)+ c (ab+ bc+ ca) =a - (6+ c) a+1)+be,V A =(6+c)2-4(炉+。2历) =一3戌-3d+6 历=一3(方一0)2W0, l20对a£R恒成立， 即 a2 + Z>" 4- c2 ab- bc+ ca.
