柯西不等式与排序不等式 教学设计.docx

课 题柯西不等式与排序不等式授课日期及时段教学目的1、会证明二维柯西不等式及三角不等式；2、会利用二维柯西不等式解决问题；3、会证明一般形式的柯西不等式，并能应用；4、了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体 会运用经典不等式的一般方法。教学内容一、【课前检测】1、a,b,c,deR,不等式(疽+02)(c2+h2)2Sc + M)2取等号的条件是()A ab + dc = O B ad+/?c = 0 C ad-bc = O D ac-hd = 02、设<a2 <a3,b <h2<b3,下列最小的是()A axb3 + a2h2 + afy B+ a2b2 +C aAb2 + a2bt + a3b3 D afy + a2b3 + ajb23、若四个实数a,a2,a3,a4 满足(+(% -%)? +(% -)?=,则(+%)_(+角)的最大值为()A 1B x/6 C 2 D >/34、。，力是非零实数，。+。= 1, xpAG7?+,M=(arl4-/?x2)(/u-1+av,), = x1x2, 5!'J MN的大小关系为()A M>N B M aNC M<ND M N5、若实数at,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2 + /的最小值是()A 2B 1C y/3 D V26 x,y g(0,1),则 Jx(l-y)+Jy(l-x)的最大值是7、设x,y,eR那么(x+y)f-+-l的最小值是U y)» 44444>48、设GbqRL利用排序不等式证明：。3+/?+<3<2工 + £乎 +仁工2a2b2c故命题成立。7、证明：由柯西不等式得( +1) + ( + 2)+ . . + ( +(!F !+ !1- 1 A nLV 7 v 7 v+ l n + 22n- 2n)11112 、4/.H H+AN + 1 +22n- 2n 3 + 1 71 1 1 14+ + +1 + 22/7-1 2n-<(12 + 12+一!一 +!一 + + !一 +一L又：*)( + 1)2 ( + 2)2(2-1)(2)2r r i ?( + 1) (77 + 1)(/?+ 2)(2 一 1)(2) 2五、【课堂小结】1、本节是选学选考内容，.教材分别介绍了四个经典不等式不等式：平均值不等式、三角不等式、柯 西不等式、排序不等式，其中重点介绍柯西不等式和排序不等式.介绍两种经典不等式及其证明，通过 分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即 在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利 用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题.考虑到本节是高考的选考 内容，因此在教学中需要注意把握问题的难度，重点放在对经典不等式的基本的、简单的运用尤其是 放在柯西不等式的简单运用上，强调解决问题的通性通法，而不必过分追求个别变形技巧.2、对柯西不等式理解和认识我们可以从以下几个方面可以对柯西不等式形成一个较全面的认识.在研究方法上：遵循从特殊到一般的认识方式，首先讨论最简单的柯西不等式一一二维形式的柯 西不等式，继续讨论三维形式的柯西不等式，进而讨论一般形式的柯西不等式.从研究内容来看：包括柯西不等式的数学含义（即所表示的不等关系）、表示方式（代数形式和向 量形式）、几何意义（对二维和三维形式而言）、证明方法（不同形式选用不同的证法（略）、应用举 例.所蕴含的数学思想：柯西不等式的研究过程中包含了转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、从特殊到一般的归纳思想，通过这些思想的渗透，可以提高分析问题、解决问题的能力 六、【课后作业】1. 设“，beR , q+/?+c = 1,那么- + - + -的最小值是()a b c(A)9(B)3(C)1(D)-92. 己知不等式(x+y)(- + -)>9对任意正实数x, y恒成立，则正实数。的最小值为(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8己知:a2 +b2 = i,x2 + y2 = 1,则or +好的取值范围是：()A. 0, 2 B. -1, 1 C. -2, 2 D. 0, 1若 a>0, Z?>0,则L + -Y2Z? + "l 的最小值是()l力人 2.)339A. -V2 B. - C. - D. 42223. 已知正数，Z?满足o + = 则J3a +l-3b的最大值是()3(A) V2(B) 2(O 2V2则F + )，2的最小值为().则x + 2y + 3z的最大值是已知 a.h.x.y e. R , /+屏=4, ax+by = 61A3 B 81C.9 D.-94. 已知x,y,z为正数，且满足x2+2y2+3z2=4,(07深圳市模拟)已知实数x、y、z满足x + 2y + 3z = l,则x2 + y2 +z2的最小值为；5. 若x2+2/<3,则2x+y最大值是己知2x+y + 3z = 6,则x2 + y2+z2的最小值为.6. 设白,为正数,且«+z?=i,求-!-+!的最小值。2a b(选做题)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第泡= 1,2, -,10)个人的水桶需要4分钟,假定这些匕各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这 个最少的总时间等于多少？答案：1、A2、 B 3、 B 4、 C 5、 A6、。7、2遥敏 19、Z（2x+）2nk+2）怔华,10、10、18Tii、解法一:为正数'且"+* 土+卜（土+!）小仞 i+K+K-r+ 1）2 = - + V2,2+ 1）2 = - + V2,2解法二：利用柯西不等式:卜；的最小值形也12、解：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题.若第一个接水的人需要匕分,接这桶水时10人所需等候的总时间是10匕分；第二个接水的人需上分，接这桶水时9人所需等候的总 时间是9右分；如此继续下去，到第10人接水时，只有他一人在等，需要匕。分.所以，按这个顺序，10 人都接满水所需的等到总时间（分）是1。4+9弓+ 2勺+4（）这个和数就是问题的数学模型，现在考虑中馈，4。满足什么条件时这个和数最小.因为等待总时间（分）是 屿+必+心+临.根据排序不等式，当4，2。4。时，总时间取最小值.也就是说，按水桶的大小由小到大依次接 水，10人等候的总时间最少，这个最少的总时间是104+9&+ 2七+40，其中匕上上4o答案：l.C 2. A 3. B 4. A 5. D 6. 17. 98. 证明：不妨设0 -贝ij疽K/Z,c b a-4 h4a3-vb3+c3= + + （逆序和） + + a b cc a b= + + （逆序和）- + + - a b cb c a:.cz?+Z?3 + c3 2ac4+a4 a4+b412b 2c二、【知识梳理】（一）柯西不等式1、定理1：（柯西不等式的代数形式）设u,b,c,d均为实数，贝U（a2 +/?2）（c2 +d2）> （ac + bd）,其中等号当且仅当口4 =阮时成立。儿何意义：设a , P为平面上以原点0为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ a,b ）, B（）,那么它们的数量积'为a D = ac + bd , 而|a|=, p=>jc2+d2 ,所以柯西不等式的几何意义就是：其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设a, “为平面上的两个向量，贝U|q|“|2|q0|,其中 等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设知月，叼见，沔况为任意实数，则:成一位尸+（）' 力尸+ J（、2 -易）+（力- 丫3） - J（M 沔尸+31 丹尸思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，3 = 1, 2,，）为任意n nnK KA实数，则：£2£¥2（£响）2,其中等号当且仅当色=业=.=国时成立（当=0时,约定但=0, f=l j=1/=!“2，=1, 2, , ）o柯西不等式有两个很好的变式：变式1设% cR,切>0(，= 1,2,)，等号成立当且仅当 tr abi = Aat (l < i < n)变式2设af,坛同号且不为0 (i=l, 2,，n),贝h等号成立当且仅当/=i bi Xaibib =b2 = = /(二)排序不等式1、基本概念：一般地，设有两组数：件如曷3,我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：对应关系和备注(，a2, %)(/?!, h2, by )S| = OZ? + a2h2 + ciyby顺序和(。,ci?, %)(b, b3, b2 )S2 = /? +a2b3 +a?tb2乱序和(% , a2, %)(b2, /?, by )Sx = ab2 + a2h + a3b乱序和(，a2, q )(b2, by, Z?!)=。|如 +%如乱序和(I, a2, % )(如，如,b2)S5=a+a2b +a.b2乱序和(，a2, ay )$6 =6如+aA+%4反序和(b3, b2, b、)根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论：顺序和。也+ a2b2 + a3b3最大，反序和atb3 + a2b2 + a3bx最小。2、对引例的验证:对应关系和备注(1, 2, 3)(25, 30, 45)S = afy + a2b2 + 为么=220同序和(1, 2, 3)(25, 45, 30)S2 = ab + 白 2/入 + % 知=205乱序和(1, 2, 3)(30, 25, 45)S3 = ab2 + q 少i + a3b3 = 215乱序和(1, 2, 3)(30, 45, 25)S4 = ab2 + a2b3 + a3bx = 195乱序和(1, 2, 3)(45, 25, 30)Ss = ab3 4- a2bx + a3b2 = 185乱序和(1, 2, 3)(45, 30, 25)S6 = c/03 + a2b2 +。3机=180反序和3、类似的问题：5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8 分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？4、排序不等式的一般情形：一般地，设有两组实数： , a2, a3,，。与仇，b2, by,，bn,且它们满足：% WW “3K奶W力3 WW如，若q, c2, c3,，c”是b, b2,，久的任意一个排列，则和数+外2+ + *在角，向，。3，与K，b2, by, , bn同序时最大，反序时最小，即：。也 + a2b2 + + anbn > a,cx + a2c2 + + ancn > a.bn + a2bn_. + + anb,等号当且仅当 =白2 = = %或4 =奶=如时成立。三、【重难点突破】考点一利用柯西不等式求最值例1已知x+4)，+ 3z = 2,求x2 + y2 + z2的最小值.【思路分析】由x + 4)，+ 3z = 2以及x2 + y2 + z2的形式，联系柯西不等式，可以构造(12 +42 +32)作为一 个因式而解决问题.【解】根据柯西不等式，有(x2 + y2 + z2)(12 + 42 + 32)> (x4-4y + 3z)2 =4 ,所以x2 + y2 + z2 > ,即 x2 + y2 + z2 > 2613当且仅当即x = -,y = -,z = -时，j + V + z?取最小值1 4 313131313【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，正确理解柯西 不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.对于特定的不等式问题，用柯西不等式求解往往显 得简单明了.例2.求函数y = 3yx+yj2-3x的最大值.思路分析：利用不等式求极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的 条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为心bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解：函数的定义域为1,4,且y>0.贝！Iy = 3 x y/x- +V3 xx<x+(J4_x)=J12x3 = 6 ,当且仅当的=时，等号成立，即X =时函数取最大值6.4例3求函数y = 2sinx + 3Jl + cos2x的最大值.【思路分析】因为1+cos2x = 2cos2x,自然会联系到三角恒等式sin2x + cos2x = l,联想到柯西不等式 的结构特征，而这个式子恰好具有柯西不等式的结构特征，所以可以利用柯西不等式来解决.【解析】y = 2sin x + 3jl +cos2x= 2sinx+3v2cos2 x</(sin2 x+cos2 x)22+(3V2)2=V22.当且仅当书冬即tanx = ±,函数有最大值妊.Vcos2 x 3V23【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，需要不断的学 习与体会.【举一反三】1. (07东莞模拟)已知a,b,c都是正数，且 + 2Mc=l,则_L + _L + _L的最小值 a b c是.答案：6 + 4扼2.己知白,be R,且 a2 +br = 4 ,求证：| ocos9 + Z?sin8|< 2.解：已知的恒等式与近乎显然的三角恒等式sin2 + cos2 = l正好具备柯西不等式的结构特征，于是可 利用柯西不等式解答.因为/ + 歹=4 ,所以|。cos。+ Dsin。|£y(a2 +Z?2)(cos2 <9+sin2 0) = J4xl = 2.即 |acos0+7sin 非 2.考点二利用柯西不等式进行证明例4已知，角，都是实数，求证(+代+)2匕2 +妒+ + %；).【思路分析】与柯西不等式的结构想比较，发现它符合柯西不等式的结构，因此可用柯西不等式来证 明。【证明】根据柯西不等式，有(I2 +12 +F)(q +角+ +)2(1xq +lx%+lxq,)2,所以+%2 +.+ %2)> (q +角+ + q)2。【锦囊妙计】准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯西数组是运用柯西不等式 的关键所在.【举一反三】己知，b, c是不全相等的正数,证明：a2 +b2 + c2 > ab + be + cd.解：欲证的不等式两边都是由仞c这三个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序，启 发我们可以用柯西不等式进行证明；如果同时考虑式子两边的结构，把“2看成。，则不等式左右两 边的结构一致，都是两个正数之积的和，可以用排序不等式证明.【证法一】根据柯西不等式，有(er +Z?2 +c2 )(b2 + c2 +“2)2 (ab + be + ca)2.因为a, b, c是不全相等的正数，所以等式-不成立，b c a所以(a2 +b2 +c2)2 > (ab + bc + ca)2,a2 +b2 +c2 >ab + bc + ca.【证法二】因为口 b, c是不全相等的正数，不失一般性，设a>b>c,则由排序不等式知，顺序和不 小于乱序和，即。+b,b+cc > ab+bc+ca.由于o, b, c不全相等，所以等号不成立.所以 a2 +/J +c2 > cib + bc + ca.考点三均值不等式的运用例5求函数y = 4x + -(x>0)的最小值.Q解：工>0". 2工>0,7>0 ,于是X-y = 4x + 兰=2x + 2x + 兰 2 3/2x*2x»- = 6 街.jrx- V当且仅当2x = 2x = 4，即"啊时，函数的最小值是6沂.锦囊妙计： 在运用a + b + cZ3底求最值时，要注意满足“一正、二定、三相等”的条件，具体地 说，要注意c是正变数，三个正变数之积是常数，那么当且仅当这三个正变数相等时，它们的和 取得最小值，同时注意相等时的自变量的取值属于给定的范围内。本题常见的错误是：由均值不等式得，y = 3x + 4 = 2x + X + 4 33 2X.X-4 = 6 ,故最小值为6.事实上这种变形使方程2x = x = 无解, XX V XJT即等号不能成立，所以最小值不是6,为了保证等号成立，一般需要平均拆项.考点四排序不等式的运用（选做）例6设叩代，。是n个互不相同的正整数，求证:4、 1 111 22 32iv2 3n【思路分析】,角，为是n个互不相同的正整数，因此它们可以从小到大地排序，观察问题4,由此可以联想到用排序不 n4,由此可以联想到用排序不 n中的式子，可以猜想到与印，对应的另一列数是】，2 3等式证明的思路.【解答】设缶打，如是,，。“的一个排列，且满足b<b2< </?.因为缶打，如是 互不相同的正整数,故21, b2 > 2,，bn > n.又因故由排序不等式，得6+巽+宾+.+典泌+%+4+.+与2- 32 n2 22 32 n2C 1 C 11,111> lxl + 2x + 3x+ + 一 = 1+ + - + + .2232 n2 2 3 n【锦囊妙计】在证明不等式的过程中，往往将“n个互不相同的正整数”进行排序，这种排序并不失 一般性，是证明中常常使用的一个技巧.本题较难之处是如何想到构造新的排列加 如 ，这需要 考生从正确的方向进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的条件，挖掘条件背后更深的 内容，为使用已有经典不等式创造条件.举一反三：4.设印6Z2,，为实数，Z?2,，勿是印,，q的任一排列，则乘积的值afy + a2b2 + anbn不会超过.解：本题主要检测排序不等式，只要领会式子响+。也+ %如是乱序和，那么由排序不等式可知, 它不会超过顺序和妒+妒+妒，即填妒+。；+ %2.四、【课堂练习】1、己知且满足 i + /? + c+d = 625,那么 4ci + 4b + 4c + 4d 的最大值是（）A 25B 5025D 62542、已知()a,b,c、I ,且 a+b + c = 2 f 则 a2 +/?2 +c2 的取值范围是()A 捉B I，2C 倬2)D 停2)3、设玉,毛,工3，匕 2 0,%,。2，3， NO,而 +易 +*3 +- + x = 1，= ax +a2x +ayx + + anx 的最小值是.2 3Q4、设 2x+3)，+ 4z = 22,(x,y,z AO),则一 + + -的最小值是,此时 x=, y=, z=.x y z5、设e.是不同的自然数,求$ =千+号+芸的最小值。6、己知a,b,ceR*,利用柯西不等式证明： 一-<2( + + 。+ b + ca + b b + c c + a)7、设eN,22,利用柯西不等式证明：-< + 4-7 + 1 + 22/?-1 2n 2答案：1、B2、C 3、11 i i F11F H% 电 %4、捉 2,3.5、解：不妨设1<x.-(2<x23,由排序不等式,149 14 9 66、证明：由柯西不等式得2(。+ /? +。)1 1 +-1= (a + b) + (b + c) + (c + a) II+L' 1 v 7 va + b b + c c + a)>9