组合与组合数组合数的性质学案.docx

组合与组合数第1课时 组合与组合数、组合数的性质必备知识自主学习导思什么是组合？与排列有什么区别？.组合的定义从n个不同对象中取出m(n2m)个对象合成一组，叫做从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.组合对对象有何要求？提示：组合要求n个对象是不同的，被取出的m个对象也是不同的.组合是有放回抽取还是无放回抽取？提示：无放回抽取，即从n个不同的对象中进行m次不放回地取出.1 .组合数的概念、公式、性质2 . a , b , c , d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合.组合 数 定义从n个不同对象中取出m(msn)个对象的所有丕回组合的个数, 叫做从n个不同对象中取出m个对象的组合数表不 法组合乘积式m A,n(nl)(n2)(n m + 1)n AM -m!【解析】可按a玲-d顺序写出,即所以所有组合为ab , ac , ad , be , bd , cd.类型三组合数公式及其简单应用（逻辑推理、数学运算）角度与组合数有关计算【典例】1.计算G第=.【思路导引】根据组合数公式进行计算.10乂9 x8x7【解析】原式二 Ch -再二 4x3x2xl -7x6x5 = 210-210 = 0.答案：02 .计算十d"的结果为.【思路导引】求出n的值，再由组合数公式进行计算.5 - n<n ,5 - n>0 ,【解析】1解得4W.又因为nGN* ,9 - n<n + 1 z、9 -n>0 ,所以n = 4或n = 5.当 n = 4 时，原式= C； +Ci =5.当n = 5时,原式=Cg +=16.答案：5或16角度2组合数性质的应用【典例】L计算或+ Ci +C，。的值为0A . C2020 B . C2020 C . C2021 - ID . C1 020 - 1【思路导引】先增加一项心，根据组合数的性质逐步运算，最后再 减去C；即可.【解析】选彳+C1 +Ci +- + CI020=己+宫02。=Cs +C5 + - + C2020=C2 020 + 2 020 - 1 = C2 021 - 1-2 ,假设X-】=0+3 ,那么X的值为 .【思路导引】根据组合数的性质找到关于X的整式方程求解.【解析】由c步】=0+3得2x- l = x + 3或2xl + x + 3 = 8 ,解得x =4 或 x = 2.答案：2或4.求证：禺+ 2二案+2CM1+C.【思路导引】将等式的右侧进行整合后根据组合数的性质化简.【解析】由组合数的性质CM =C +C尸 可知,右边=6 +ch）+ （%】+C）= Cm + 1 + Cm"+1l = Cm + 2 =左边，右边二左边，所以原式成立.1.巧用组合数公式解题Am涉及具体数字的可以直接用cr二瑞Amn (n - 1) (n - 2). (n - m + 1) ：进行计算.（2）涉及字母的可以用阶乘式cr二二7计算 m ! Ln - mJ !计算时应注意利用组合数的性质CT二加5简化运算.2 .性质CT二Cm 的意义及作用1 . WdG-3 =G产(n£N + ),那么 n = ()A . 5B . 7 (：.5或7口.5或6【解析】选C.由题意,2n- 3=n + 2或2n- 3 + n + 2 = 20,即n = 5或7.10x9x8x.x4 _ .2, Ix2x3x.x7 可表本为()A Aio B . Aio C . Cfo D . Cio，时、加 10x9x8x.x4 Aw Cw A7【解析】选D1x2x3x.x7二豆二丁 二以。3 .假设 3A -6A： =4CS；1，那么 n = ()A . 8 B . 7 C . 6 D . 5(n +1 n【解析】选D.由题意知,3n(n - l)(n - 2) - 6n(n - 1) = 4x 解得n = 5 n=籍去 4 .计算崎+唱=【解析】C99 + C北=Cioo = Cioo = 161 700.答案：161 700教师专用教师专用【补偿训练】1方程为二C皆4的解集为()A . 4B . 14C . 4 , 6D . 14 , 2【解析】选C.因为C£=C率4 ,所以x = 2x-4或x + 2x4=14 ,所 以x=4或x=6.经检验知x=4或x = 6符合题意故方程C"二或-4 的解集为4 , 6.2.Cg +己+髭+ B的值为.【解析】原式可变为cS +ci +髭+ 1、由 c +c= a+i得c +C1 =d , cl +C1 =d 二 5 985.二 5 985.7 112课堂检测素养达标1 . A： -C?=()A . 9B . 12C . 15D . 3【解析】选A.由题意得储-Ci =4x3- =12-3 = 9.2 .假设= 6C* ,那么m等于()A . 9 B . 8 C . 7 D . 6所以 m(m - 1) (m - 2)= 6xm(m - l)(m - 2)(m -4x3x2xl【解析】选C.因为“ =6C* , /m - 3即 1 二 ,解得 m = 7.3 .不等式C?o 3 <C?o2的解为.【解析】由题意知3<n<12，且n£N* , 曰10 !10 !由题忌得3！13 - n！ < (n-2)! (12 - n) !，解得，所以 n = 3 , 4 , 5 , 6 , 7.答案：n = 3,4,5,6,7.计算焦+cl? + n的值为. 38 - n<3n ,【解析】因为彳所以，因为n£N+ ,所以n = 10,所以I3n<21 + n ,n +n 1 3 2 c +8 o2 3 -ci?302*n 98231 !+ ；7 =466.30 ! 1 !答案：466.判断以下问题是排列问题还是组合问题：把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必 须分完，有多少种分配方法？从2 , 3 , 5 , 7 , 11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和 分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 【解析】是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关.(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的.是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序.关闭Word文档返回原板块组合数的两个性质在计算组合数时有何作用?数公式阶乘式C, =m!(n m)!性质备注n,m£N*且m",规定:提示：第一个性质中，假设m号，通常不直接计算C：，而改为计算* - m ,这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合 数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要 注意灵活运用.1 .辨析记忆(对的打V ,错的打)从3 , 5 , 7 , 11中任取两个数相除属于组合问题.(X)提示：由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题.由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数. (x)提示：CT是从n个对象中取m个对象的情况的种数，故C： 一定是 正整数.区别组合与排列的关键是看问题对象是否与顺序有关.(V)提示：组合与排列不同之处是组合选出的对象没有顺序而排列有顺 序.2,下面几个问题中属于组合问题的是()由1 , 2 , 3 , 4构成的双元素集合；5个队进行单循环足球比赛的分组情况；由1 , 2 , 3构成两位数的方法；由1 , 2 , 3组成无 重复数字的两位数的方法.A . B .C.D .【解析】选C.取出元素与顺序无关，取出元素与顺序有关.3 .假设,=28 ,那么n =()A . 9 B . 8 C . 7 D . 6nx (n - 1【解析】选土 =2=28 ,解得n = 8.4 C看=i Cig =【解析】僦二等=15, C =C8 =18.答案：1518关键能力合作学习类型一组合的有关概念(数学抽象)【典例】1.给出以下问题：从a , b , c , d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a , b , c , d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a , b , c , d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场?(4)a , b , c , d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中 是组合问题 是排列问题.【思路导引】根据组合的定义判断.【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合 问题.冠亚军是有顺序的，是排列问题.答案：(2)2 .判断以下各事件是排列问题还是组合问题.(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？从1 , 2 , 3 ,，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数,这样的三位数共有多少个？从1 , 2 , 3 ,，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样 的集合有多少个？【思路导引】 结合给出的事件以及排列与组合的定义判断.【解析】每两人握手一次,无JII页序之分,是组合问题.每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序 区别的.是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序, 便会得到不同的三位数.是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺 序，其构成的集合都不变.排列、组合问题的判断方法区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有 无顺序.区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换 这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，假设有新 变化，即说明有顺序，是排列问题；假设无新变化，即说明无顺序， 是组合问题.判断以下各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组 合数.10人规定相互通一次 ，共通多少次 ？10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次?10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【解析】是组合问题，因为甲与乙通了一次，也就是乙与甲通了一次，没有“时事的区别，组合数为% = 45.(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没 有顺序的区别,组合数为低。=45.是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得 冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A?o = 90.是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为品= 120.是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的, 排列数为内。=720.教师专用判断以下问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来.假设集合口，2, 3, 4, 5, 6, 7,那么集合的子集中有3个对象的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少 种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?【解析】集合的对象具有无序性，因此含3个对象的子集个数与对 象的顺序无关，是组合问题，共有G个.(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共发了储个电子邮件.飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有 Ai种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题, 有ci种票价.类型二列举法解决组合问题(逻辑推理)【典例】A , B , C , D , E五个元素,写出每次取出3个元素的所有组 合.四步内容理解题意条件：A , B , C , D , E五个兀素；每次取出3个兀素；结论：所有组合.思路探求列举法解答，注意按顺序列举.书写表达方法一：可按AB玲AC玲AD玲BC玲BDfCD顺序与出，即反思ABC DE ACD EADEV_/BCDEBDECDE所以所有ABC , ABD , ABE , ACD , ACE , ADE , BCD ,BCE , BDE , CDE.方法：回出树形图，如卜图.AAABB C/Tx111B B BCCDCCDnIII11111fCDEDEEDEEE由此可以写出所有的组合：ABC , ABD , ABE , ACD , ACE ,ADE , BCD , BCE , BDE , CDE.注意书写的标准性：注意是否与顺序有关；注意按顺序列举，不重不漏.题后列举法适合总数比拟少的情形.1 .此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本 例所示的顺序后移法（如法一）或''树形图法"（如法二），直观地写出 组合做到不重复不遗漏.2 .由于组合与顺序无关.故利用？页序后移法时箭头向后逐步推进， 且写出的一个组合不可交换位置.如写出ab后，不必再交换位置为 ba ,因为它们是同一组合.画树形图时，应注意顶层及下枝的排 列思路，防止重复或遗漏.1 .回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读， 也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一 家饭馆叫天然居，曾有一副有名的回文联：客上天然居，居然天 上客；人过大佛寺,寺佛大过人.在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为回文数,如44,585 , 2662等； 那么用数字1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6可以组成4位回文数的个数为0A . 30B . 36 C . 360D . 1 296【解析】选B.分2种情况讨论：4位回文数“中数字全部相同，有1 111 , 2 222 , 3 333 , 4 444,5 555 ,6 666 ,共6种情况，即此时有6个4位回文数；(2)4位回文数"中有2个不同的数字，有1 221 ,1 331 ,1 441 ,1 551 , 1661 ；2 112 , 2 332 , 2 442 , 2 552 , 2 662 ,；6 116 z ，6 556 ,共30种情况，即此时有30个4位回文数； 那么一共有6 + 30=36个4位回文数