【小升初衔接典型题训练讲义】第6讲有理数的乘除法乘方运算科学计数法教师版.docx

演练方阵一 第6讲有理数的乘法、除法、乘方、科学计数法 : /千，!；有理数的乘法类型一：有理数的乘法由考点说明：乘法运算法那么：1 .两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。2 .任何数.字同0相乘，都得Oo.几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为 负；当负因数有偶数个数时，积为正。3 .几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.【易】1.两个有理数a, b,如果ab<0且a+b>0,那么()a>0, b>0A. a<0, b>0a、b同号B. a、b异号，且正数的绝对值较大【答案】解：Vab<0,/.a, b异号，Va+b>0,正数的绝对值较大，应选：D.【解析】先由有理数的乘法法那么，判断出a, b异号，再用有理数加法法那么即可得出结论.【易】2.计算：(-3) X(-5)=()A. -8 B. 8 C. - 15 D. 15A. （ - x） 3=x3 B. （ - x） 4= - x1 C. x - - x1 D. - x3= （ - x） 3【答案】解：A、（-x） 3=-x3,故此选项错误；B、（ -x）",故此选项错误；C、x4= - x1 ,此选项错误；D、- x:- （ - x）,正确.应选：D.【解析】分别利用有理数的乘方运算法那么分析得出答案.【中】5.计算（- 1 ） 2003 4-（-1） *- 1 .【答案】解：（-1） 2。3+（-1） 2%（7）4-1=- 1；故答案为：-1.【解析】根据- 1的奇数次方为- 1,-1的偶数次方为1得结果.【中】6.设n是自然数，那么±11nILL 巴的值为（）2A. 1 或-1 B. 0 C. - 1 D. 0 或 1【答案】解：假设n为奇数，那么n+2也是奇数，此时（-1）*-1产33=-1；22假设n为偶数，那么n+2也为偶数,此时0IW二口一=1t1= 1;应选：A.22【解析】分n为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法那么计算可得.£ 类型三：与有理数乘方有关的运算的考点说明：嘉的乘方法那么：幕的乘方，底数不变，指数相乘； 积的乘方：先把积中 的每一个因数分别乘方，再把所得的哥相乘；同底数累相乘，指数不变，底数相乘； 【易】1.计算（-0. 125） 27 ><8.6结果正确的选项是（）A. - B. C. 8 D. - 888【答案】解:（- 0. 125） 2017 X 82016=（4）2°17 x 82017 x1-,应选：A.8【解析】根据幕的乘方与积的乘方可以解答此题.【易】2.假设（-a）久12b刈3<（）,那么以下各式正确的选项是（）A. a>0, b>0 B. a<0, b>0 C. a<0, b<0 D. aWO, b<0第10页【答案】解：V ( - a) 20,2b2013<0,(-a) 2042 0, b2O13<0,AaO, b<0,应选：D.【解析】根据(-a) .2b2。13<0,即可得到(-a).2/0, b2013<0,进而得出aWO, b<0.【易】3.：2+2=22x2, 3+-=32 X9 4+-=42 X-9 假设 14+Q14? X3 (a、b 均 33881515 b b为正整数)，那么a+b=209.【答案】解：由得出：14+鲁142义品b=142 - 1, a=14,.a+b=14+142 - 1=209.故答案为：209.【解析】根据条件得出数字之间的规律，从而表示出a, b,进而求出a+b的值.【易】4.(2) 2g X(1. 5) 2003 (- 1) 2% 1.5 .3【答案】解：原式二(2002 X ( W) 2。3彳1二W.故答案为1.5.322【解析】根据实数的运算法那么进行计算即可，(- 1) 2。43.【中】5.先阅读以下材料，然后解答问题.探究：用的幕的形式表示的结果(0)、为正整数).驰个n个(»+n)个分析：根据乘方的意.义，am电,工二7二二二二7二二二二77二a叫 a. q q a a a a. a a(1)请根据以上结论填空：36 X 38- 314, 52 X 53 X 57- 512 , (a+b) 3* (a+b) '=(a+b)8* 9"(2)仿照以上的分析过程，用的幕的形式表示(1) ”的结果(提示：将看成一个整体).【，答案】解：(1) 36 X 38=36+8=314；52 X 53 X 57=52+3+7=512；(a+b) 3 (a+b) 5=(a+b) 3+5=(a+b) 8；故答案为：314 ； 52 (a+b) :n个(2) (am)三:mL7g)a a a【解析】(1)根据结论，同底数幕相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解；(2)将求看成一个整体，根据乘方的意义解答.【中】6.阅读以下各式：(a-b) 2=a2b2, (a-b) 3=a3b3, (a-b) 4=a4b4 -第11页回答以下三个问题：(1)验证，：(2x1) 100= 1, 2100 X ( 1) 100= 1 ；22(2)通过上述验证，归纳得出：(ab).aE ； (abc) n=abV(3)请应用上述性质计算：(-0.125).7><2刈6x42叫【答案】解：(1) (2X 1) ,00=1., 2100 X ( 1) 100=1 ； 22(ab) n=anbn, (abc) n=anbncn,原式二(-0. 125) 2°" x22°" x42°i5 x (-0. 125) x ( - 0. 12.5) X2=(-0. 125X2X4) 2°/ x3232二一 JL32,故答案为：1, 1； anbn , anb"cn.【解析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；根据有理数乘方的定义求出即可；根据同底数累的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案.9科学计数法'、乙类型一:科学计数法一表示较大的数所考点说明：这是一种记数的方法。把一个数表示成a（la<10, n为整数）与10的幕相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法，便于我们表示较大的和较小的数。【易】1.我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为（）A. 6.5X10 -4B. 6. 5X101 C. -6. 5X104 D. 65X104【答案】解：65000=6. 5X104 ,应选：B.【解析】科学记数法的表示形式为aXl（T的形式，其中lW|a|V10, n为整数.确定n的 值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当第12页 原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负数.【易】2.四川省公布了 2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075 亿元.将2075亿用科学记数法表示为（ ）A. 0. 2075X 1012 B. 2. 07.5X1011 C. 20. 75X 1O10 D. 2. 075X 1012【答案】解：将2075亿用科学记数法表示为：2.075X 1011 .应选：B.【解析】科学记数法的表示形式为aX 10。的形式，其中lW|a|V10, n为整数.确定n的 值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数.【易】3. “可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃 烧放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为4. 2X10、【答案】解:4.20 0 0 0 0 00=4. 2X 108 .故答案为：4. 2X108【解析】科学记数法的表示形式为aXlCT的形式，其中iw|a|10, n为整数.确定n的 值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.【易】4.全国总人口约1.41义1。9人，假设平均每人每天需要粮食0. 5kg,那么全国每天大 约需要多少kg粮食？（结果用科学记数法表示）【答案】解：1.41X109 X0. 5=0. 705 X 109=7. 05X.108 （kg）.答：全国每天大约需要7. 05X 108kg粮食.【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXIO 与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的0的个数所决定.类型二:科学计数法一表示较小的数所考点说明：这是一种记数的方法。把一个数表示成a（la10, n为整数）与10的幕相 乘的形式，这种记数法叫做科学记数法，便于我们表示较大的和较小的数。【易】1.用科学记数法表示以下数：(1) 0.00001第13页(2) 0. 000020.000000567(3) 0.000000301.【答案】解:(1) 0. 00001=1X 10 I0.00002=2X 10 F；(2) 0. 000000567=5. 67X 10 10.000000301=3.01X 10 1【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXIO -n,与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的0的个数所决定.【易】2.计算(结果仍用科学记数法表示)：(-3.5X10 7) x(-4X10 -7)版权所有【答案】解：原式二14X10 -20=1.4X10.【解析】根据整式的乘法，可得答案.【易】3.纳米是一个长度单位,纳米单位的符号是nm(lnm=10 %)(1)水分子的直径约为4X10 -10m,合多少纳米？ (2)我国科学家制造的纳米碳纤维管的直径是33nm,这相当于多少个水分子一个一个地排列起来的长度？版权所有【答案】解:(1) VI纳米=0.000 000 001米，A 4X10 一 4=0. 4X0.000 000 001 米=0. 4 纳米;(2)纳米是长度的一种单位，lnm=10 -9m,分子直径的数量为10田，我国科学家制造的纳米碳纤维管的直衽二33nlp4X10-1°二82. 583即有83个分子一个个排列起来.【解析】(1)首先根据1纳米=0.000 000 001米,再利用4X10 -,V0. 4X0. 000 000 001米，即进行单位换算即可；(2)根据分子直径和纳米碳纤维管的直径的长度关系进行计算.【易】4. 一个铁原子的质量是0. 000000000000000000000000093kg,将这个数据用科学记数法表示为9.3X10 / kg.第14页【答案】解：o. 000000000000000000000000093=9. 3 X 10 -26 ,故答案为：9.3X10 -26.【解析】科学记数法的表示形式为aX 10"的形式，其中lW|a|V10, n为整数.确定n的 值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值VI时，n是负数；n的绝对值等于第一个非零数前零的个数.'Z类型三：近似数的考点说明：清楚数位的概念，熟悉用四舍五入法取数的近似值。【易】1.据统计，2017年我市实现地区生产总值2279. 55亿元，用四舍五入法将2279. 55 精确到0.1的近似值为()A. 2280.0 B. 2279.6 C, 2279.5 D. 2279【答案】解：2279. 55Q2279. 6(精确到0. 1),应选：B.【解析】根据近似数的定义可以解答此题.【易】2.近似数3.20X106精确到 万 万位.【答案】解：3.20X 106精确到万位.故答案为万.【解析】根据近似数的精确度求解.【中】3,用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654. 32米，请按要求分别取得这 个数的近似值，并分别写出相应的有效数字.(1)精确到千位；(2)精确到千万位；(3)精确到亿位.所有【答案】解:(1)精确到千位；377985654. 32米分377986000米，即3.77986X 10®米(2)精确到千万位；377985654. 32米处380000000米，即3. 8X10'米(3)精确到亿位；377985654. 32 米Q400000000 米，即 4X10'米.【解析】(1)首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；(2)首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入；(3)首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入；，【中】4.车工小王加工生产了两根轴，当它把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格， 作废！ "小王不服气地说： “图纸要求精确到2. 60m, 一根为2. 56m,另一根为2. 62m,怎 么不合格？ ”(1).图纸要求精确到2. 60m,原轴的范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？第15页【答案】解：(1)车间工人把2. 60m看成了 2.6m,近似数2.6m的要求是精确到0.1m；而近似数2.60m的要求是精确到0.01m,所以轴长为2.60m的车间工人加工完原轴的范围是2. 595mWx<2. 605m, (2)由(1)知原轴的范围是2. 595mx<2.605m,故轴长为2.56m与2.62m的产品不合格.【解析】(1)根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪位;(2)根据原轴的范围是2. 595mx<2. 605m,于是得到轴长为2. 56m与2.62m的产品不合格.拓展训练备注：小学数学要求必加；初高中不做限制，可根据讲义内容安排第16页【答案】解：(-3) X ( - 5) =+(3X5) =15,应选：D.【解析】根据有理数的乘法法那么计算可得.【易】3. (-3)X (士)的结果是()6A. B. 2 C. -A D. - 222【答案】解：(_3)X (工尸+(3 x2) =1,应选：A.662【解析】根据有理数的乘法法那么计算可得.【中】4.假设 |a|二3,|b|=5, ab<0,那么 a+b= 2 或-2 【答案】解：Vab<0,；a、b异号，又二 |a|=3, |b|=5,Aa=±3, b=±5,有两种情况：当a=3时，b=-5,那么a+b=-2；当 a= - 3 时，b=5,那么 a+b=2；a+b=2或-2,故答案为2或- 2.时,m+n【解析】根据ab<0,得出a、b异号，然后由|a|二3,|b|二5分两种情况讨论：当a=3b= - 5,贝Ia+b= - 2；当 a= - 3 时，b=5,贝lj a+b=2；【中】5.假设 mVnVO,那么(m+n) (m - n) >0.(填 “V”、 "> ”或“二”)【答案】解：Vm<n<0,/.m+ji<0, m - n<0,A (m+n) (m - n) >0.故答案是>.【解析】根据m<n<0,易知m、n是负数，且m的绝对值大于n的绝对值，于是可得<0, m - n<0,根据同号得正，易知(m+n) (m - n) >0.I类型二：有理数乘法的运算律国考点说明：乘法的交换律：aXb=bXa；乘法的结合律：(aXb) Xc=aX (bXc)； 乘法的分配律：(a+b) X c=aX c+bX c.【易】L (-3) X 4XC- -1)X(- i)654【答案】解：(-3)3 X ( - 2) X ( - 二)x654二(一马 X (-马)X ( - g254=4><(-)249二-18【解析】有理数乘法法那么：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此求解即 可.【易】2.计算:9- 0. 75X ( - 0. 4 ) X 1工； 3(1) 0. 6X (-务 X ( - $) X ( - .2 ). 463【答案】解： 原式二-0.75><(-0.4) X 1-3_ 3 乂 2 x 54 5 32，(2)原式= 0.6X( - 4)><(- 2)乂(-2 马 463_ 3*3*5乂85 4 6 3=-1.【解析】(1)直接利用有理数的乘法运算法那么计算得出答案;(2)直接利用有理数的乘法运算法那么计算得出答案.【易】3.绝对值不大于5的所有整数的积是0.【答案】解：由题意得，(-5) X ( - 4) X ( - 3) X ( - 2) X ( - 1) X0X 1 X2X3X4X5 = 0.故答案为：0.【解析】根据绝对值的性质列出算式，再根据任何数同0相乘都等于0解答.【中】4.小亮有6张卡片，上面分别写有-5,- 3,- 1, 0, +2, +4, +6,他想从这6张卡片中取出3张，使这3张卡片上的数字的积最小，最小积为- 120.【答案】解：从6张卡片中取出3张，使这3张卡片上的数字的积最小，最小积为-5X4义6二-120.故答案为:-120.【解析】根据同号得正，异号得负，正数大于一切负数列式计算即可得解.【难】5.学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49空X(-5),看谁 25算的又快又对，有两位同学的解法如下: 小明：原式二- 四丝X5=- 1249 2499;2555+X ( - 5)=- 249；255+X ( - 5)=- 249；255小军：原式二(49 +幺)X ( - 5) =49X(- 5)25(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好?(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来;(3)用你认为最合适的方法计算：19 丝X(-8)16【答案】解：(1)小军解法较好;(2)还有更好的解法, 49 -X ( - 5)25X ( - 5)X ( - 5)=(50- ±)25= 50X ( - 5)J-X ( - 5)25-250+54-249；5-250+54-249；5(3). 19 X16=(20-卷(-8)X ( - 8)=20X ( - 8)=20X ( - 8)导(一8)二-160+工2=-159-1-.2【解析】(1)根据计算判断小军的解法好;(2)把49粤写成(50 - 上)，然后利用乘法分配律进行计算即可得解; 2525(3)把19；卷写成(20-表)，然后利用乘法分配律进行计算即可得解.有理数的除法'、二类型一:倒数由考点说明：如果两个有理数的乘积为“1”，那么我们称这两个数互为倒数；如果两个有理数的乘积为“-1”，那么我们称这两个数互为负倒数；【易】1.8的倒数是()A. -8 B. 8 C. - X D. 1-88【答案】解：8的倒数是1,应选：D.8【解析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1,即可解答.【易】2. 2的倒数是()A. 2 B. -1 C. - X D. -222【答案】解：2的倒数是1,应选：B.2【解析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案.【易】3.-工的倒数是()11A.工 B. _L C. 11 D.工111177【答案】解：-工的倒数是-应选：d. 117【解析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1,即可解答.【中】4.假设，a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.(1)直接写出a+b, cd, m的值；(2)求m+cd+迹的值.m【答案】解：(1)a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2,/.a+b=0, cd= 1, m二土2.(2)当 m=2 时，m+cd+生旦2+1+0=3；ID当 m= - 2 时，m+cd+ /=-2+1+0=-1. m【解析】(1)根据互为相反数的和为0,互为倒数的积为1,绝对值的意义，即可解答;(2)分两种情况讨论，即可解答.7类型二:有理数的除法"考点说明：除法运算法那么：1 .除以一个数等于乘以这个数的倒数。(注意：0没有倒数).两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。2 .0除以任何一个不等于0的数，都等于0o.0在任何条件下都不能做除数。【易】L (-6) +5的结果等于()6A. 1 B. - 1 C. 36 D. - 36【答案】解：原式二-6X6=-36应选：D.【解析】根据有理数的运算法那么即可求出答案.【易】2.计算15+(-3)的结果等于()A. -5 B. 5 C. - - D. 55【答案】解：154-( - 3) = - (153) = - 5,应选：A.【解析】根据有理数的除法法那么计算可得.【易】3. -248二()A. B. - C. 3 D. - 333【答案】解：-24 + 8二-3.应选：D.【解析】直接利用有理数的除法运算法那么计算得出答案.【易】4.假设aWb,且a、b互为相反数，那么占二一 1. b【答案】解：:a、b互为相反数，；a= - b.a -b故答案为：-1.【解析】由a、b互为相反数可知a=-b,然后代入计算即可.【中】5.|x|=5, y2=l,且工>0,那么x - y=±4.y【答案】解：V |x|=5, y2=l,； x= ± 5, y= ± 1,V>0, y/. x=5 时，y=l,x= - 5 时，y= - 1,贝ij x - y=±4.故答案为：±4.【解析】直接利用绝对值以及平方根的定义得出符合题意的x, y的值，进而得出答案.【中】6.假设22,且6,那么工12 .b c c【答案】解:V =2,旦6, b cAa=2b, c=, 6普bT故答案为12.【解析】由二=2,里6得a=2b, c=上，代入亘即可求得结果. b c6 c有理数的乘方'2类型一:有理数乘方的认识中考点说明：有理数乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方。在a”中，a叫做底 数，n叫做指数.读作a的n次方。【易】1. ICT表示（）A. 10个9连乘B. 10乘9 C. 9个.10连乘D. 9个10连加【答案】解：IO。表示9个10相乘.应选：C.【解析】此题考查了有理数的乘方：理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.【易】2.-5口的底数是5 ,指数是3 ,读作 5的3次方的相反数,计算结果是 "125【答案】解：-5'的底数是5,指数是3,读作5的3次方的相反数，计算结果是.-125.故答案是：5, 3, 5的3次方的相反数，-125.【解析】此题主要考查了乘方的意义，是需要熟记的内容.【易】3.5,中，3是指数 ,5是底数 ,4是125.【答案】解：根据有理数乘方的定义，3是指数，5是底数，幕是125.故填 3, 5, 125.【解析】此题考查了乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方.乘方的结果叫做累，在a。中，a叫做底数，n叫做指数.读作a的n次方.(将看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幕.)指数底数【易】4. (-2) 3的底数是- 2,结果是 -8 .【答案】解：(-2) 3 的底数是-2, (-2) J(-2) X(-2) X(-2)= - 8.故答案为：- 2,-8.【解析】此题考查的是有理数乘方的定义，同学们一定要理解.注意区分：(-2)三一8与 -2-8的区别.【易】5.求n个 相同 因数a的积的运算叫做有理数的乘方，乘方的结果叫做 哥.记 作“a” ” '，读作a的n次 舞,其中底数是,指数是 n.【答案】解：求n个相同因数a的积的运算叫做有理数的乘方，乘方的结果叫做幕.记作“球”'， 读作a的n次幕，其中底数是a,指数是n.故答案为：相同；幕；W; a； n.【解析】此题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.易6.-中的底数4,指数3,读作4的三次方的相反数【答案】解：- 4?的底数是4,指数是3,读作4的三次方的相反数.【解析】要注意-4?的底数是4,而不是-4.类型二：有理数的乘方 的考点说明：1.有理数乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方。2.有理数乘方的符号法那么：n个相同的正有理数相乘，结果都为正数；n个相同的负有理数 相乘，结果的符号取决于因数n的个数，假设n为奇数，那么乘方的结果为负；假设n为偶数， 那么乘方的结果为正；n个零相乘的结果仍为0；【易】1 ,计算（-3） 2的结果等于（）A. 5 B. - 5 C. 9 D. - 9【答案】解：（-3） 2=9,应选：C.【解析】根据有理数的乘方法那么求出即可.【易】2.以下算式中，运算结果为负数的是（）A. | -1| B. （-2） 3 C. （ - 1） X （ - 2） r D. （ - 3） 2【答案】解:A、| -1|=1,错误；B、（-2）二-8,正确；C、（ - 1） X （ - 2） =2,错误；D、（-3） 2=9,错误；应选：B.【解析】此题涉及乘法、绝对值、乘方等知识点.在计算时，需要针对每个知识点分别进行 计算.【易】3.以下各组的两个数中，运算后结果相等的是（A. 2、和 32 B. -3?和（一3） 3 C. -2?和（一2） 2【答案】解：A、2邑8, 3-9,故本选项错误；B、-3J- 27, （ - 3） 3=- 27,故本选项正确；C、-2-4, （-2） 2=4,故本选项错误；D、（金）3=- 之， 上=-刍，故本选项错误.应选：B.32733【解析】此题须根据有理数的乘方法那么，分别计算出每一项的结果，即可求出答案.【易】4.假设x、y为有理数，以下各式成立的是（）