级高数(下)试题及答案.pdf
1/8 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.设aby1,3,2,2,4rr，则当y 时,rrab;当y 时,/rrab.2.函数(,)u x y zzxy221 的间断点是.3.设函数zx yy22,则 dz.4.设 G 是一个单连通域,(,)P x y与(,)Q x y在 G 内即有一阶连续偏导数,则曲线积分LPdxQdy 在 G 内与路径无关的充要条件是.二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.设直线方程为 L:xxyyzzmnp000,平面方程为:AxByCzD 0,若直线与平面平行,则().(A)充要条件是:0AmBnCp.(B)充要条件是:ABCmnp.(C)充分但不必要条件是:0AmBnCp(D)充分但不必要条件是:ABCmnp.2设(,)zz x y是由方程 zxyze 所确定的隐函数,则zx().(A)ze11.(B)ze21.(C)ze 11.(D)ze1.3函数 33(,)3f x yxyxy 的极小值为().2/8(A)1.(B)1.(C)0.(D)3.4下列说法正确的是().(A)若 lim0nnu,则级数 1nnu 必收敛.(B)若级数 1nnu 发散,则必有 lim0nnu.(C)若级数 1nnu 发散,则 limnns.(D)若 lim0nnu,则 级数 1nnu 必发散.5微分方程 0ydxxdy 的通解是().(A)0 xy.(B)yx.(C)yC.(D)xyC.三、求解下列各题(共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分)1设一平面经过原点及点(,),63 2M且与平 面 xyz428 垂直,求此平面方程.2设(,),zf u v而,uy vxy,且f具有二阶连续 偏导数,求zx y 2.四、求下列积分(共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分):1、计算二重积分xyDed22,其中D是由圆周224xy 所围成的闭区域.2、计算曲线积分 2(22)(4)Lxyy dxxx dy,其中 L 是取圆周229xy 的正向闭曲线.五、计算题(共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分):1、利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy,3/8 其中是长方体：(,)|,x y zxaybzc 000 整个表面的外侧.2、判别正项级数 122nnn 的敛散性.六、解下列各题（共 2 小题.每小题 8 分,共 16 分）:1、设幂级数 11nnnx.(1).求收敛半径及收敛区间.(2).求和函数.2、求微分方程 xyyye222 的通解.七、(6 分)求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在 点(,)x y处的切线斜率等于xy2.南昌大学 20062007 学年第二学期期末考试试卷及答案 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.设aby1,3,2,2,4rr，则当y 103时,rrab;当y 6时,/rrab.2.函数(,)u x y zzxy221 的间断点 是(,)|x y zzxy22.3.设函数zx yy22,则 dz()xydxxy dy222.4.设 G 是一个单连通域,(,)P x y与(,)Q x y在 G 内即有一阶连续偏导数,则曲线积分LPdxQdy 在 G 内与路径无关的充要条件是PQyx.二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.设直线方程为 L:xxyyzzmnp000,平面方程为 4/8:AxByCzD 0,若直线与平面平行,则(A).(A)充要条件是:0AmBnCp.(B)充要条件是:ABCmnp.(C)充分但不必要条件是:0AmBnCp(D)充分但不必要条件是:ABCmnp.2设(,)zz x y是由方程 zxyze 所确定的隐函数,则zx(C ).(A)ze11.(B)ze21.(C)ze 11.(D)ze1.3函数 33(,)3f x yxyxy 的极小值为(B ).(A)1.(B)1.(C)0.(D)3.4下列说法正确的是(D ).(A)若 lim0nnu,则级数 1nnu 必收敛.(B)若级数 1nnu 发散,则必有 lim0nnu.(C)若级数 1nnu 发散,则 limnns.(D)若 lim0nnu,则 级数 1nnu 必发散.5微分方程 0ydxxdy 的通解是(D ).(A)0 xy.(B)yx.(C)yC.(D)xyC.5/8 三、求解下列各题(共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分)1设一平面经过原点及点(,),63 2M且与平 面 xyz428 垂直,求此平面方程.解法一:所求平面的法向量(,),(,)nnOM41 263 2uuuu rrr.则 (,)(,)(,)41 263 24 46.取 (,)n 2 23r.故所求平面方程为:xyz2230.解法二:设所求平面法向量(,),nA B Cr 则,(,)nOMn41 2uuuu rrr.于是有 ,.ABCABC6320420 解得:,AB CB 32.由平面的点法式方程可知,所求平面方程为 AxByCz 0.将,AB CB 32代入上式,并约去()B B 0,便得：xyz2230.即为所求平面方程.2设(,),zf u v而,uy vxy,且f具有二阶连续 偏导数,求zx y 2.解:.zy fx2 6/8 zfy ffxx y 222122.fyfxyf22122 四、求下列积分(共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分):1、计算二重积分xyDed22,其中D是由圆周224xy 所围成的闭区域.解:xyDedded 2222200 .edee222224001212 2、计算曲线积分 2(22)(4)Lxyy dxxx dy,其中 L 是取圆周229xy 的正向闭曲线.解:,QPxxxy2422.QPxy 2 由格林公式,有 原式().Dd 222 318 五、计算题(共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分):1、利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy,其中是长方体：(,)|,x y zxaybzc 000 整个表面的外侧.解:,.Px QyRz 7/8 ,PQRxyz111 则由高斯公式有 原式().dvabc 1113 2、判别正项级数 122nnn 的敛散性.解:limlimnnnnnnunun113222Q lim.()nnn311222 所以原级数收敛.六、解下列各题（共 2 小题.每小题 8 分,共 16 分）:1、设幂级数 11nnnx.(1).求收敛半径及收敛区间.(2).求和函数.解:(1).limlim.nnnnanan111 所以收敛半径.R 1 当x 1时,nn1 发散;当x 1时,()nnn111 发散.所以收敛区间为:(,)1 1.8/8(2).设和函数为:()nnS xnx11.()xxxnnnnS x dxnxdxnxdx1100011.xnnnnxxxx1101 故().().()xS xxxx 211111 2、求微分方程 xyyye222 的通解.解:.rrrr 2122101 xYCC x e12.2Q不是特征根,所以设特解为:*xyAe2.则(*),(*)xxyAeyAe2224,代入原方程得A 29.*xye229.故通解为:.xxyCC x ee21229 七、(6 分)求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在 点(,)x y处的切线斜率等于xy2.解:依题意:,().yxyy200 则：xyxCe 22.把()y00 代入上式,得C 2.故 ().xyex21
