【教案】导数的概念及其意义（第1课时）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

第五章一元函数的导数及其应用5.1.1变化率问题教学设计第1课时 教学目标通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法. 教学重难点教学重点：理解平均速度、瞬时速度的概念及算法教学难点：平均速度与瞬时速度 课前准备PPT课件 教学过程【导入新课】问题1：阅读课本第5861页，回答下列问题：（1）本章将要探究哪类问题？（2）本章要探究的对象在高中的地位是怎样的？（3）贯穿本章的一条主线是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容预设的答案：章引言包括三方面的内容：一是简明地指出了函数与微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分；二是概述了微积分的创立史，以及它在数学和科学发展中的地位；三是概述了本章的内容和重要思想方法导数是瞬时变化率的数学表达章头图展示了生活中最常见的一种变化率运动速度速度是学生非常熟悉的物理知识，因此，教科书以高台跳水运动模型（近似看成竖直上抛运动）作为贯穿全章的主线问题，导数概念的引入，函数的单调性、极值与导数之间的关系等都以此为背景，这有利于学生借助同一个典型的运动模型理解导数的概念，并利用导数研究函数的性质设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养回顾：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多问题2：进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢？设计意图：通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题，同时引入新课发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养 【探究新知】问题情景在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.思考1：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v近似的描述它的运动状态例如，在这段时间里，；在这段时间里，.知识点1：平均速度一般地，在这段时间里，.问题3：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？师生活动：学生思考，举手回答，教师讲解教师总结：我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 设计意图：通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、平均速度的概念发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养知识点2：瞬时速度为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.问题4：瞬时速度与平均速度有什么关系？师生活动：学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解教师总结：设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.设计意图：通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养问题5：你能利用平均速度与瞬时速度的关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？师生活动：学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解教师讲解：为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当时，在1之后；当时，在1之前.当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.当时，在时间段内当时，在时间段内问题6：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？师生活动：学生一起观察、归纳，教师完善预设的答案：当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.教师讲解：由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致.数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度.设计意图：通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出瞬时速度的求解，在此过程中，使学生理解解决瞬时速度问题的方法，感受其中蕴含的极限思想【巩固练习】例1 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.（1）求运动员在t=2s时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在t0某一时刻的瞬时速度？师生活动：学生分小组讨论，每组选出一位代表板演，教师完善预设的答案：（1）由，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于-14.8，所以运动员在t=2s时的瞬时速度为-14.8 m/s.（2）由，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，所以运动员在t= t0s时的瞬时速度为()m/s.设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握平均速度与瞬时速度的算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养方法总结:求运动物体瞬时速度的三个步骤:设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为ss(t)，则求物体在tt0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量t，位移改变量s,ss(t0t)s(t0);(2)求平均速度：;(3) 求瞬时速度v：当t0时，v是常数.)例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度师生活动：学生单独完成，教师巡视并完善.预设的答案：，物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.)变式1:在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度师生活动：学生讨论后完成，教师巡视并完善.预设的答案:求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度，物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.变式2:在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.师生活动：学生分组讨论，一代表板演，教师完善.预设的答案:设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又，则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.设计意图：通过该典型例题的分析和解决，进一步让学生掌握平均速度与瞬时速度的算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养方法总结:当已知运动物体在t0时刻的瞬时速度求t0时，先利用求瞬时速度的方法和步骤求出瞬时速度，列出方程求t0练习：教科书P61页练习1、2、3设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养【课堂总结】1板书设计：5.1.1变化率问题二、新知探究三、巩固练习1平均速度的概念例1知识点1：例22瞬时速度的概念知识2：2总结概括：平均速度、瞬时速度的概念及求法.3课堂作业：教科书P70习题5.1 1、3【目标检测设计】1物体自由落体的运动方程为，g9.8 m/s2，若 m/s，那么下列说法中正确的是()A9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度B9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速度C9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速度D9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速度设计意图：让学生进一步理解平均速度与瞬时速度的概念.2.若质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为( )A.6B.18C.54D.81设计意图：让学生进一步巩固瞬时速度的求法.3.某物体沿水平方向运动，其前进距离(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为( )A.18米/秒B.13米/秒C.9米/秒D.米/秒设计意图：让学生进一步巩固平均速度的求法.参考答案：1C2. B 由题可得.故选B.3. C 该物体在运动前2秒的平均速度为(米/秒).故选C.学科网（北京）股份有限公司