2023年专题基本不等式常见题型归纳学生版.docx
专题：基本不等式基本不等式求最值运用基本不等式求最值：一正、二定、三等号.三个不等式关系：(1) a, bR, a?+b22ab,当且仅当a=b时取等号.(2)e,b£R a+b22错误!未定义书签。，当且仅当a4时取等号.(3)。力£氏错误!(错误!未定义书签。)2,当且仅当a4时取等号.上述三个不等关系揭示了 a 2十, a方，a+b三者间的不等关系.其中，基本不等式及其变形:a, b£/Ca+b22错误!(或a 6 W(错误甲)，当且仅当a= 6时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值;当积为定值是，可求和的最值.【题型一】运用拼凑法构造不等关系【典例1己知且210g b + 31o。，a = 7,则 1的最小值为-b2-X2 + V2练习：1.若实数x, >满足x > y > 0 ,且log, K + log, y = 1，则:-的最小值为.1312.若实数x, y满足3x = 3(0 < x < 一),则一 +的最小值为.2xy-3cicccJ53.已知4>0,0>0,c>2,且。+ = 2,则竺+上一上+二的最小值为.bab2c-2【典例2】已知x, y为正实数，则错误!+错误!的最大值为.【典例3】若正数。、6满足出? = " + + 3,则4 +8的最小值为.变式：1.若4,£/?+，且满足。2+/?2=。+。,则4 + 的最大值为.2 .设x > 0, y > 0, x+ 2y + 2冲=8，则x + 2y的最小值为.设羽y e H,4x2 +/+xy = i,P!iJ 2x + y 的最大值为3 .已知正数a , 满足L + 2 = 而一 5，则ah的最小值为a b【题型二】含条件的最值求法41典例4已知正数x,y满足x + y = 1，则+ 的最小值为I I9v练习1.已知正数满足上+上=1,则一二+ Z_的最小值为（第 12H）（第 12H）x y x- y-2 .已知正数满足x + 2y = 2 ,则土包的最小值为.xy3 .已知函数），=a' +帅 0）的图像通过点P（l,3），如下图所示，则4 1二一 十上的最小值为.67-1 h4.己知a,b为正数，且直线av + y-6 = 0与直线2工+ （力-3），+ 5 = 0互相平行，则2a+3 b的最小值为.5.常数。力和正变量x, y满足油=6,错误!未定义书签。+错误！=错误!.若x+2y的最小 值为64,则.6 .已知正实数b满足（2a + b）b （2。+ ）【题型三】代入消元法 【典例5】(苏州市2023届高三调研测试 1 4)已知ab = -, a,/?e(0,1),则一!一 +二二的最4-a -b小值为-练习1.设实数x, y满足x2+2xy-l=0,则x?+y2的最小值是.2 .已知正实数x, y满足口 + 21+了 =4,则x + 丫的最小值为.3 .已知正实数X, y满足(x - l)(y +1) = 16,则x+ y的最小值为.4 I.若且 + = 3,则使得-+ 取得最小值的实数a =。a b-2.设实数x、y满足x2 +2xy- 1 = 0 ,则x+y的取值范围是4 .已知 x,y,z e/?,且x+y + z = 1,/+ y2 + z? = 3 ,求町，z 的最大值为【题型四】换元法【典例6】已知函数I（x）=axQx-6（a, b均为正数），不等式f（x）>0的解集记为P,集合Q = x I -2-t<x<-2+t.若对于任意正数t,PA Qh0,则F （1,。）一错误!的最大值 是.2 .已知正数a, b , c满足b+cza,则幺告的最小值为.c a+b练习1.若实数xn满足2 /+xy- y 2 = 1ZM;，丁二，的最大值为.5厂 - 2xy + 2yX2 y22 .设%），是正实数，且x+y = l,则一+ 的最小值是. x + 2 y + .若实数x, y满足2/+盯与=1 ,则错误!的最大值为.错误！3 .若实数基满足一 ，当取得最大值时，它的值 为【题型五】判别式法24【典例7】已知正实数x, y满足x + ± + 3y + 2 = 10,则xy的取值范围为xy练习1.若正实数 满足，则的最大值为2 .设工,)，£ A, 3x2 + y2 +AJ = 1,则 2x + y 的最大值为变式1.在平面直角坐标系X。)，中，设点41,0)，3(0,1), C(a,d),若不等式IUU2UL1U UUD UUM Um UUD ULTCD，(l2)OC OQ + ?(OC OB) (O/CM)对任意实数a, b, c, d 都成立，则实数 小的最大值是.【方法技巧】不等式恒成。.常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法.判别式法:将所 求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。般地,对于二次函数f(x) = ax2 +bx + c(a w 0, x £ R),有1)/(x)>0 对 xeR 恒成立2)/*)。对 xeR 恒成立=.A<0A<0分离变量法:若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转 化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1)fM < g(a)(。为参数)恒成立 o g(a)> /(x)max2)/(x)> g(a)(。为参数)恒成立=g(a) < /(x)max拟定主元法:假如把已知取值范围的变量作为主元，把规定取值范围的变量看作参数，则可简 化解题过程。2 .设二次函数/(x) = ad+bx + c ( 4,Z?,c为常数)的导函数为/ (x).对任意xwR,2不等式恒成立，则一二二的最大值为.a +c【题型六】分离参数法典例8 已知x >0,y>0,若不等式x! +y3> k xy (x+ y )恒成立，则实数k的最大值为练习1.已知对满足x+y + 4 = 2xy的任意正实数x, y,都有V + 2xy + y* 2 -cix-ay + >0,则实数。的取值范围为.2 .若不等式/+2xyW a J? +，)对于一切正数x, y恒成立，则实数q的最小值为,
