复数的概念 教学设计.docx

复数的概念【教材分析】本章数系的扩充与复数的概念是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引 入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习 数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数 代数形式的四则运算，最后介绍复数的儿何意义。本节是该章的基础课、起始课, 具有承上启下的作用。【学情分析】在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的 包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整 体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为 在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。【三维目标】知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复 数相等的条件过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的 过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。情感、态度与价值观：(1)培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法；(2)培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点；(3)感受人类理性思维的作用。【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件【教学难点】数集扩充的必要性和过程【教学设计】整体思路设计思想知识来源于实际生活。教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数 学教学的实践性。本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采 用“合作一探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、 自主、个性化发展。媒体设计本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富, 因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的 学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。设计特色（1）重视数学的人文价值。（2）知识建构采用合作探究模式。【教学过程】一、课前投影，揭示课题名家名言虚数是奇妙的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物一一 莱布尼茨。（设计意图：通过对莱布尼茨的“名言”的介绍，初步接触“虚数”一词，同 时也本节课的结束语作铺垫）今天我们来与大家一起学习“复数的概念二（板书）（设计意图：开门见山，揭示课题，明确学习内容。）二、创设情境，提出问题问题1：数，是数学中的基本概念。到目前为止，我们学习了哪些数集？用符 号表如何表示？它们之间有怎样的包含关系？（板书）用图示法可以如何表示（投 影）（设计意图：数集及之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示，旨在帮 助学生对“数系的扩充”有个初步感受）我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。（投影）如：自然数系、 整数系、有理数系、实数系。所谓“运算及结构”主要是指加法与乘法的运算律。无论在哪个数集内，都满 足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。（设计意图：教材中“数系”的概念这一内容放在本节课的结尾旁的注解中并 未作过多说明，笔者将其提前至开头，主要是解决课题中“数系”两个字的疑问， 而“扩充”则成为下面研究的重点。）问题2：今天的课题是什么？从刚才这张“图示法”表示数集之间的包含关系 的图也可以看出数逐步发展壮大的过程。数的概念是如何不断的发展和扩充的 呢？下面跟大家一起作简单回顾.三、学生活动，意义建构最基本的数是自然数，它是全部数学的发源地，自然数的产生当初完全是古人 为了计数的需要.之后，在土地测量，水利工程中发现仅有自然数显然是不够的, 经常发生度量不尽的情况，于是产生了正分数，数的概念扩充到正有理数.为了 刻画具有相反意义的量产生了负数，我国是认识负数最早的国家.数的概念再次 扩充到有理数；古希腊人在研究正方形的边长与对角线长之间关系时发现，产生 了无理数，数的概念扩充到实数。正是因为计数、度量、测量等这些原因使得数 的概念经历从无到有，从有到壮大的过程。问题3：由此看来，什么原因导致数的概念逐步扩充的？（实际需求）（设计意图：一方面让学生感受数与现实世界的联系，感悟数的概念产生于实 际需求，另一方面培养学生总结、归纳概括的能力）问题4：方程x + 4 = 0的解是什么？方程/ +1 = o的解呢？学生必答“一4”和“无解”，下面可以如此设计：对于方程（1）,在自然数集 中，解的情况如何？原因是什么？为此引入负数，数集扩充到整数集。在整数集 中，方程3%-2 = 0无解，怎么办？引入分数，数集扩充到有理数集。在有理数集 中，方程/-2 = 0无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集。从使得方程有解 的角度来看，每一次数的概念的扩充有什么特征？（新的数集都是在原来数集的 基础上“添加” 了一种新的数得来的。）如何使方程-+1 = 0有解呢？（设计意图：通过一个简单方程解的情况的“陷阱”，培养学生严谨的科学态 度，同时通过如何使一系列方程解问题的“诱导”，使学生不断受到数的概念的扩 充的“基本特征”的冲击，形成思维定势，从而使引入一个新数，使方程/+1 = 0 有解的方法水到渠成，自然给出“虚数单位”的第一个“规定”。）解方程离不开数与数之间的运算，没有运算的话，数不过是一些符号而已，毫 无意义。下面我们再从运算的角度我们再来看一下每一次数的概念的扩充又有什 么特征。所谓运算主要指加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算。在自然数集中，加 法和乘法总可以实施，乘方是乘法特殊情况也是可行的。但是，由于小数不能减 大数。在整数集中，自然数集原有的三种运算固然可以进行，同时乂解决了在自 然数集减法不是总可以实施的问题。在有理数集中，整数集中原有运算仍然适用， 同时又解决了除法只能整除问题，使得除法总可以实施了，当然除数不为0。在实 数集中，有理数集的运算也都可以实施，还解决了开方的结果可能不是有理数的 问题，当然只能是正数的开方问题。问题5：从运算角度来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。请问是何种 规律？（在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来 数集中不是总可以实施的矛盾。）四、数学理论，建立数学因此，我们规定：（1） i2=-l （2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。将满足上述两个条件的新数i,叫做虚数 单位。依照这种规定，i可以与实数力相乘，得历（bi = ib,特别地，0i = 0）；尻还 可以和实数。相加得初（ +加=从+。）。于是出现了形如 +瓦的数，（其中a,bwR ）我们把它们叫做复数。全体复数所组成的集合叫做复数集，记作Co复数通常用字母z表示，即z = a +其中分别叫做复数z的实部与虚部。这一表示形式叫做复数的代数形式。（设计意图：通过对数与数之间的运算特征的研究与归纳，建立复数的基本概 念）五、应用数学I 4例1、写出复数4, 2-3i, 0, - + -i, 5 + V2i, 6i的实部与虚部？ (口 2 3答)(设计意图：巩固复数的实部与虚部的概念。)问题6：实数是复数吗？何时为实数？根据复数中的取值不同，复数可以有以下的分类：有加_ , J实数s = °)复薮一"+ t虚数。/0)(当。=0时为纯虚数：例2、实数m取什么值时，复数z = m(/n-1) + (，- 1"是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(设计意图：旨在明确复数的分类这一内容，特别要强调纯虚数的条件)复数。+友可以看成是关于i的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，我 们规定：两个复数瓦与c + di相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，记 作。+ 尻=c + di例 3、已知(x+y) + (x-2y)i = (2x-5) + (3x+y)i,求实数的值(设计意图：对复数相等问题的研究，可让学生体会、总结复数问题的一般的 处理方法一一实数化)例4、求适合下列方程的x和y (x, y£R)的值：(1) (x+2y) -i=6x+ (x-y) i(2) (x+y+1) - (x-y+2) i=0六、课堂练习基础训练(教材课后练习)拓展延伸1、以复数的虚部为实部，2i+Vi/的实部为虚部的新复数是2、集合用=1,2,(023。-1) + (。2-5-6*, N = -1,3，且 McN = 3, 则 a =七、课堂小结今天我们与大家一起学习复数的有关内容。复数的引入实现了中学阶段数系的 最后一次扩充。大家一定体会到了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中 的作用，但在数学史上复数系的建立，却是经历了一段曲折而漫长的过程。很多 人认为虚数是没有意义的、是虚构的、想象的。数学家莱布尼茨说“虚数是奇妙 的人类精神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物”。直到18世纪末 至19世纪初才确立了虚数在数学中的地位。陈省身说：“没有复数，便没有量子 力学，便没有近代文明”。数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化，就像 人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数认识的一次飞跃。（设计意图：通过两位名家对“复数”的不同表述，让学生体会数学发展史是 一个艰难曲折而又不断进步的过程，渗透要树立坚韧不拔意志品质的教育。同时 “莱布尼茨”名言的再次出现，达到前呼后应的效果。）