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第二学期期末高数（下）考试试卷及答案 1 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.设 220txF xe dt，则 Fx22xxe.2.曲面sincoszxy在点,14 4 2 处 的切平面方程是210 xyz.3.交换累次积分的次序：,12330010 xdyf x y dxdyf x y dx,2302xxdxf x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式：DLQPdxdyPdxQdyxy 成立的充分条件是：,和在D上具有一阶连续偏导数P x yQ x y.其中L 是 D 的取正向曲线;5.级数1113nnnn的收敛域是,3 3.二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.当 0 x，0y时,函数2423x yxy的极限是 D A.等于0;B.等于13;C.等于14;D.不存在.2.函数,zf x y在点,00 xy处具有偏导数,00 xfxy，,00yfxy是函数在该点可微分的 C A.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D.既非充分又非必要条件.3.设cossinxzeyxy，则10 xydz B A.e;B.e dxdy;C.1edxdy;D.xedxdy.4.若级数11nnnax在 1x处收敛,则此级数在 2x处 A A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.5.微分方程3691xyyyxe的特解y应设为 D A.3xae;B.3xaxb e;C.3xx axb e;D.23xxaxb e.三.（8 分）设一平面通过点,3 12,而且通过 直线43521xyz,求该平面方程.解：,3 1243 0AB ,14 2AB平行该平面 该平面的法向量 ,5 2 114 28922n 所求的平面方程为：83912220 xyz 即：8922590 xyz 四.（8 分）设,yzfxy e,其中,f u v具有二阶连续偏导数,试求zx和 2zx y.解：令uxy，yve uzyfx 2yuuuuuvzyffy xfe fx yy 五.（8 分）计算对弧长的曲线积分22xyLeds 其中L是圆周222xyR与直线,00 xy 在第一象限所围区域的边界.解：123LLLL 其中：1L：,22200 xyRxy 2L：0 0 xyR 3L：0 0yxR 22222222123xyxyxyxyLLLLedsedsedseds 而Re221202xyRRLedse Rdt 22201RxyyRLedse dye 22301RxyxRLedse dxe 故：Re22212xyRRLedse 六、（8 分）计算对面积的曲面积分423zxy dS,其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分.解：xyD：023032xyx 226113xyzz 4612433xyDzxy dSdxdy 3232004614 613xdxdy,七.（8 分）将函数 2143fxxx,展开成x的幂级数.解：11111112 132 1613f xxxxx,而 011112 12nnnxx,1 1 01116313nnnnxx,3 3 10111123nnnnf xx,1 1 八.（8 分）求微分方程：42322253330 xxyydxx yxyydy的通解.解：263PQxyyyx,原方程为：()4223225333x dxy dyxyydxx yxydy 532231332dxdydx yy x 5322313032d xyx yy x 通解为：532231332xyx yy xC 九.幂级数：!246212462nxxxxy xn ,x 1.试写出 y xyx的和函数;（4 分）2.利用第1 问的结果求幂级数!202nnxn的和函数.（8 分）解：1、!35213521nxxxyxxn ,于是 !23123xxxy xyxxe ,2、令：!202nnxS xn 由 1 知：xSxS xe 且满足：01S 通解：12xxxxxS xeCe e dxCee 由 01S，得：12C；故：12xxS xee 十.设函数 f t在,0上连续,且满足条件 222111tf tfxydvtt 其中t是由曲线 20ztyx,绕z轴旋转一周而成的曲面 与平面zt(参数 0t)所围成的空间区域。1、将三重积分22tfxy dv写成累次积分的形式;（3 分）2、试求函数 f t的表达式.（7 分）解：1、旋转曲面方程为：22zt xy 由22zt xyzt，得：221xy 故t在xoy面的投影区域为：xyD：221xy 2212200tttfxydvddfdz 2、由 1 得：120211211f ttfdtt 12021211tfdtt 记：1201Afd 则：2121f ttAtt 两边乘以：21tt，再在,0 1 上积分得：11222004121415At dtAttdtA 解得：1544A 故：2115221f tttt 第二学期期末高数（下）考试试卷及答案 2 三、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.曲线 20zyx，绕z轴旋转一周所得到的 旋转曲面的方程是 221zxy.2.曲线2111xyzy在点,12 12处 的法平面方程是281610 xyz.3.设22zfxy,其中 f u具有二阶连续导数,且 13f，12f,则2210 xyzx14.4.级数121nnnn，当满足不等式12时收敛.5.级数112nnnxn的收敛域是,1 3.四、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.设a与b为非零向量,则0ab是 A A./ab的充要条件;B.ab的充要条件;C.ab的充要条件;D./ab的必要但非充分条件.2.平面3360 xy的位置是 B A.垂直于z轴;B.平行于z轴;C.平行于xoy面;D.通过z轴.3.设函数,0010当时当时xyf x yxy，则下列说法正确的是 C A.lim,00 xyf x y存在且,f x y在点,0 0处的 两个偏导数也存在;B.lim,00 xyf x y存在但,f x y在点,0 0处的 两个偏导数不存在;C.lim,00 xyf x y不存在但,f x y在点,0 0处的 两个偏导数存在;D.lim,00 xyf x y不存在且,f x y在点,0 0处的 两个偏导数也不存在;4.曲线L为圆周cossin33xtyt 02t,则22nLxyds等于 A A.2123n;B.19n;C.63n;D.211321nn.5.设正项级数1nnu收敛，则必有 D A.lim11nnnuu;B.lim1nnnu;C.lim 0nnuc;D.lim 0nnu.三.（8 分）在平面1xyz上求一直线，使得它与直线 11yz 垂直相交。解：方法1：直线 11yz的方向向量为,1 0 0 它与平面1xyz的交点为,1 11 所求直线通过这一点，所求直线的方向向量为：,1 1 11 0 00 11S 故所求的直线方程为：111011xyz 方法2：直线 11yz的方向向量为,1 0 0 它与平面1xyz的交点为,1 11 所求直线通过这一点，过交点,1 11且与直线 11yz垂直的平面方程为：101010 xyz 即：1x 故所求的直线方程为：11xyzx 或：01yzx 四.（8 分）设(,)zz x y是由方程 330zxzy 所确定的隐函数,求:01xyzx，01xyzy和201xyzx y，解：设,32F x y zzxzy，则：2xFz，1yF，232zFzx，当 0 x，1y时 1z，()2001122332xxyyzzxzx，()2001111332xxyyzyzx，()()22230011642932xxyyzzxx yzx，五.（8 分）计算曲线积分2221yyLxedxx ey dy 其中L为从,0 0O经2224xy的上半圆到,2 2A的一弧段。解：由 22yPQxeyx 知与路经无关。取,2 0B，作新路经OBA折线，于是：2221yyLxedxx ey dy 2220014yOBBAx dxey dy 444242ee 六、（8 分）利用高斯公式计算曲面积分222xz dydzx ydzdxy zdxdy,其中为球面：2222xyza的上半部分的上侧.解：作 0：0z 取下侧.则222xz dydzx ydzdxy zdxdy00 而 0222zxydv sin2225200025addr rdra 00 故：222xz dydzx ydzdxy zdxdy00525a 七.（8 分）将函数 2143fxxx,展开成1x的幂级数.解：1112 13f xxx 11114 18 124xx 而：011111424 12nnnnxx 13x 011111848 14nnnnxx 35x 2230111122nnnnnf xx 13x 八.（8 分）求微分方程：4xyyxe的通解.解：21210.1,1.rrr 12.xxYC eC e 1是特征方程的单根,所以设*.xyx AxB e 代入原方程得:1,1.*1.xAByx xe 故原方程的通解为:212.xxxyC eC exx e 九.（12 分）求由曲面22zxy和226zxy 所围成立体的体积.解：222260202xyxyzxyD 222600323Vdvdddz 十.（10 分）设 yf x是第一象限内连接点,0 1A，,1 0B的一段连续曲线，,M x y为该曲线上任意 一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为 6163x。试建立 f x所满足的微分方程，并求 f x 的表达式。解：梯形OCMA的面积为：112xf x 曲边三角形CBM的面积为：1xft dt 根据题意得：31111263xxxf xf t dt 两边关于x求导得：21111222f xxfxf xx 即：211xfxf xxx 故：112211dxdxxxxf xeedxCxCxx 由：10f，得：2C，故：21f xx 第二学期高数（下）期末考试试卷及答案 3 一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1.已知向量1,1,4a,3,4,0b,则以a,b 为边的平行四边形的面积等于449.2.曲面sincoszxy在点1,4 4 2 处 的切平面方程是210 xyz.3.交换积分次序220,xdxfx y dy 200,ydyfx y dx.4.对于级数11nna（a 0），当a 满足条件1a 时收敛.5.函数12yx展开成x的幂级数 为10222nnnxx.二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.平面20 xz的位置是（A ）（A）通过y轴 （B）通过x轴 （C）垂直于y轴 （D）平行于xoz平面 2.函数,zfx y在点00,xy处具有偏导数 00,xfxy，00,yfxy,是函数在该点可微分的 （C ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件 3.设cossinxzeyxy，则10 xydz（B ）（A）e （B）()e dxdy（C）1()edxdy （D）()xedxdy 4.若级数11nnnax在1x 处收敛，则此级数在2x 处（D ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛 5.微分方程yxyx的通解是（D）（A）2121xye （B）2121xye（C）212xyCe （D）2121xyCe 三、(本题满分 8 分)设平面通过点3,1,2，而且通过直线 43521xyz，求该平面方程 解:由于平面通过点3,1,2A及直线上的点4,3,0B，因而向量1,4,2AB平行于该平面。该平面的法向量为:(5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).n 则平面方程为:8(4)9(3)22(0)0.xyz 或：8(3)9(1)22(2)0.xyz 即：8922590.xyz 四、(本题满分 8 分)设,zfxy xy，其中,fu v具有二阶连续偏导数，试求zx和2zx y 解:12zf yfx,212zf yfx yy 1 11 212 12 2fxfyffxf 1 11 212 2xyfxyfff 五、(本题满分 8 分)计算三重积分yzdxdydz，其中,01,11,12x y zxyz 解:2211201111 232zzdxdydzdxdyzdz 六、(本题满分 8 分)计算对弧长的曲线积分22xyLeds，其中L 是圆周222xyR在第一象限的部分 解法一:22xyLeds 2200Re arcsinRe2RRRRRRxedxRRx 解法二:22xyLeds RRLe dseL（L的弧长）Re2R 解法三:令cosxR，sinyR，02，22xyLeds 20Re2RRe Rd 七、(本题满分 9 分)计算曲面积分3xdydzzdzdxdxdy，其中是柱面 221xy与平面0z 和1z 所围成的边界曲面外侧 解:Px,Qz,3R,由高斯公式：3xdydzzdzdxdxdy PQRdvdvxyz 八、(本 题 满 分 9 分)求幂级数11nnnx的收敛域及和函数 解:收敛半径：1lim1nnnaRa 易判断当1x 时，原级数发散。于是收敛域为1,1 1211111nnnnxs xnxxxx 九、(本题满分 9 分)求微分方程4xyye的通解 解:特征方程为：240r 特征根为：2r,2r 40yy的通解为：2212xxYC eC e 设原方程的一个特解为：xyAe,4xxAA ee 31A 13A 原方程的一个特解为：13xye 故原方程的一个通解为：221213xxxyYyC eC ee 十、(本题满分 11 分)设L是上半平面0y 内的有向分段光滑曲线，其起点为1,2，终点为2,3，记2221LxIxydxx ydyyy 1证明曲线积分I与路径L无关；2求I的值 证明1:因为上半平面G是单连通域，在G内：21,P x yxyy，22,xQ x yx yy 有连续偏导数，且：212Pxyyy，212Qxyxy，PQyx。所以曲线积分I与路径L无关。解 2:设1,2A，2,3B，2,2C，由于曲线积分I与 路径L无关，故可取折线路径：ACB。2221LxIxydxx ydyyy 2221ACxxydxx ydyyy 2221CBxxydxx ydyyy 2321212974426xdxydyy 东北大学高等数学(下)期末考试试卷 2007.7.一选择题(4 分6=24 分)1、设cba,为非零向量，则cba)(=(A)(cba(B)cab)(C)(bac (D)(abc.2),(),(),(),(0000处在可微分的充分条件是在点函数yxyxfyxyxfz 两个偏导数连续)(A 两 个 偏 导 数 存 在)(B 数存在任何方向的方向导)(C 函数连续且存在偏导)D(3设xyxD2:22，),(yxf在D上连续 dyxfD),(=(A)rdrrrfdsin200)sin,cos(B)rdrrrfdcos2020)sin,cos(C)rdrrrfdcos2022)sin,cos(D)rdrrrfdsin2022)sin,cos(4 若级数1nnu与1nnv都发散，则必有 (A)(1nnnvu 发散 (B)(1nnnvu 发散 (C)(212nnnvu 收敛 (D)(1nnnvu 收敛 二、填空题(4 分6=24 分)1 直线31221zyx与平面062zyx的交点是_ 2用钢板做体积为38m的有盖长方体水箱最少用料S=_2m 3二次积分1102xydyedx的值是_ 4设为球面)0(2222aazyx，则dSyx2)(=_ 5小山高度为2225yxz在)43,1,23(处登山，最陡方向是_ 6 设)(xf为 周 期 为2的 周 期 函 数，它 在),的 表 达 式 为xxxxf0,0,1)(，若)(xf的傅立叶级数的和函数为)(xs，则)2()(ss=_ 三、（10 分）求 过 点)3,2,1(垂 直 于 直 线654zyx而 与 平 面010987zyx的平行的直线方程 四（10 分）将函数341)(2xxxf展开成(x1)的幂级数并给出收敛域。五（10 分）计算三重积分dvxyx)(22 其中是由抛物面x2y22z及平面z5 所围成的空间闭区域 六（10 分）设 L 是由直线22yx上从)0,2(A到)1,0(B一段及圆弧21yx上从)1,0(B再到)0,1(C的有向曲线，计算Lydyyexdxyx)3()2(2 七（10 分）计算曲面积分dxdyzdzdxydydzx333，其中为球面)0(2222aazzyx 八（10 分）设),(22zyxfu，f具有二阶连续偏导数，而),(yxzz 由方程zezyx确定，求yxu2。高等数学参考答案 2007.7 一选择题（本题共4 小题，每小题4 分，共计16 分）1、【解】应选择D。)(abc=)(bac=)()(cba=cba)(2【解】应选择A。),(),(yxfyxfyx),(000yxP在点连续)y,x(P)y,x(fz000在点处可微分 3。【解】应选择C。在极坐标下 cos20,22:rD dyxfD),(=rdrrrfdcos2022)sin,cos(4。【解】应选择B。二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，共计24 分）1【解】应填)3,1,1(直线化为参数式 tztytx3221 代入平面方程 06)3(2)2()21(ttt 得 1t 代入参数方程得 3,1,1zyx 故交点为 )3,1,1(2【解】应填242m 设水箱的长为xm 宽为ym 则其高应为xy8m 此水箱所用材料的面积为)0,0()88(2)88(2yxyxxyxyxxyyxyS 令0)8(22xySx 0)8(22yxSy 得 x2 y2 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为2228m 时 水箱所用的材料最省 最少用料为 24)222222(2)2,2(2mS 3【解】应填)11(21e 1102xydyedx=yydxdye0102=102dyyey=10221 ye=)11(21e 4【解】应填438a dSyx2)(=dSxyyx)2(22=dSx22=dSzyx)(32222=dSa232=438a 5【解】应填ji43 在)43,1,23(处登山，最陡方向是2225yxz在)1,23(的梯度方向)1,23()42()1,23(jyixgradz=ji43 6【解】应填21 由于x是)(xf间断点，故21)(s，而2x是)(xf连续点，2)2(s 于是)2()(ss=21 三【解】已 知 直 线 方 向 向 量)6,5,4(1s，已 知 平 面 法 向 量)9,8,7(n（4 分）设所求直线方向向量s，则 k3j6i 3987654kji1nss .（8 分）所求直线方程为 132211zyx（10 分）四【解】因为 )3(21)1(21)3)(1(1341)(2xxxxxxxf （2分）)411(81)211(41xx （4 分）004)1()1(812)1()1(41nnnnnnnnxx（6 分）0322)1)(2121()1(nnnnnx （8 分）收敛域满足1 41-1 21-xx且（9 分）解出收敛域为：），（31（10 分）五 【解】积分区域 关于yoz面对称，0 xdv 在柱面坐标下积分区域可表示为 20 100 r 522 zr（2 分）d vxyx)(22dzrdrdr2（4分）5211003202rdzdrrd（6 分）10053)215(2drrr（8 分）10064121452rr3250（10 分）六【解】补充CA为 x 轴上由)0,1(C到)0,2(A有向直线段则 L 和CA围成闭区域 D （2 分）yyexQyxP3,22。5)2(3yPxQ。（4 分）则由 Green 公式 原式CACAL CADdxdy5（6 分）212)21214(5dxx.（8 分）3)14(5245.（10 分）七【解】由 Gauss 公式 原式dvzyx)(3222 .（2 分）dd r drrs i n322 （4 分）2020c o s204s i n3adrrdd（6 分）2055sincos5)2(6da（8 分）615)2(65a5532a（10 分）八【解】由方程zezyx两边关于x求导得 xzexzz1 （2 分）zexz11 类似地，有zeyz11（4 分）xzfxfxu 212zefxf 11221（7 分）)112(1111)1(1)112(222212212112zzzzzzefyfefeeeefyfxyxu 232221211)1()1(11)(24feefefeyxfxyzzzz （10分）