等腰三角形三线合一典型题型[1].pdf

文档 等腰三角形三线合一 专题训练 姓名 例 1：如图，四边形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分别平分ABC、BCD，且点 E 在 AD 上。求证：BC=AB+DC。变 1：如图，ABCD，A90，AB2，BC3，CD1，E 是 AD 边中点。求证：CEBE。变 2：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 CD 上一点，且 AE、BE 分别平分BAD、ABC.（1）求证：AEBE；（2）求证：E 是 CD 的中点；（3）求证：AD+BC=AB.B C E A D 文档 变 3：ABC 是等腰直角三角形，BAC=90,AB=AC.若 D 为 BC 的中点，过 D 作 DMDN 分别交AB、AC 于 M、N，求证：（1）DMDN。若 DMDN 分别和 BA、AC 延长线交于 M、N。问 DM 和 DN 有何数量关系。(1)已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于点 D 求证：DE=DF DBCFAE MNDCBAMNDCBA文档(2)已知：如图，AB=AC，E 为 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，且，EF 交 BC 于点 D，且 D 为 EF的中点 求证：BE=CF DBCFAE 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在ABC 中，AB=AC，P 为底边 BC 上的一点，PDAB 于 D，PEAC 于 E，CFAB 于 F，那么 PD+PE 与 CF 相等吗？文档 变 1：若 P 点在直线 BC 上运动，其他条件不变，则 PD、PE 与 CF 的关系又怎样，请你作图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例 1在ABC 中，AB=AC，1=12ABC，2=12ACB，BD 与 CE 相交于点 O，如图，BOC 的大小与A 的大小有什么关系？若1=13ABC，2=13ACB，则BOC 与A 大小关系如何？若1=1nABC，2=1nACB，则BOC 与A 大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明 例 2如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这 个 文档 三角形的腰长及底边长 利用等腰三角形的性质证线段相等 例 3如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60，且 BQ=BP，连结 CQ （1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由 例 1、等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差是 3cm 的两部分，则腰长为（）A、2cm B、8cm C、2cm 或 8cm D、不能确定 例 2、已知 AD 为ABC 的高，AB=AC，ABC 周长为 20cm，ADC 的周长为 14cm，求 AD 的长。例 3、如图，已知 BC=3，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，OEAB，OFAC，求OEF 的周长。例 4、如图，已知等边ABC 中，D 为 AC 上中点，延长 BC 到 E，使 CE=CD，连接 DE，试说明 DB=DE。A B C A B C D E A B F C O E 文档 例 5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 450，则这个三角形是（）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形 例 6、（1）等腰三角形的腰长为 10，底边上的高为 6，则底边的长为 。（2）直角三角形的周长为 12cm，斜边的长为 5cm，则其面积为 ；（3）若直角三角形三边为 1，2，c，则 c=。例 7、下列说法：若在ABC 中 a2+b2c2，则ABC 不是直角三角形；若ABC 是直角三角形，C=900，则 a2+b2=c2；若在ABC 中，a2+b2=c2，则C=900；若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。例 8、正三角形 ABC 所在平面内有一点 P，使得PAB、PBC、PCA 都是等腰三角形，则这样的 P 点有（）（A）1 个（B）4 个（C）7 个（D）10 个 例 9.四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为 8，则BE=（）A2 B3 C2 2 D2 3 例 10.已知ABC 为正三角形，P 为其内一点，且 AP=4，BP=32，CP=2，则ABC 的边长为（）（A）52 （B）72 （C）4 （D）24 三巩固练习 1、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 9，求它的周长。2、在ABC 中，AB=AC，B=400，则A=。3、等腰三角形的一个内角是 700，则它的顶角为 。4、有一个内角为 40的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140呢 5、如图，在 RtABC中，C105o，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，D C B A 文档 PCBA如果ABD是等腰三角形，那么A 等于 （）(A)40o (B)30o (C)25o (D)15o 6、若ABC 三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则ABC 的形状为（）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（）。A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等 8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 9、在等腰三角形 ABC 中，A 与B 度数之比为 52，则A 的度数是（）A、100 B、75 C、150 D、75或 100 10、如图，P、Q 是ABC 边 BC 上的两点，且 QCAPAQBPPQ，则BAC（）A、1250 B、1300 C、900 D、1200 11、如图，ABC 中，ABAC，BD、CE 为中线，图中共有等腰三角形（）个。A、4 个 B、6 个 C、3 个 D、5 个 12、如图，ABAC，AEEC，ACE280，则B 的度数是（）A、600 B、700 C、760 D、450 13、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P 在边框 AC 上（端点 A、C 除外），设甲虫 P 到 另外两边距离之和为 d，等边三角形 ABC 的高为 h，则 d 与 h 的大小关系是（）【解题方法指导】例 1.已知，如图，ABACCD，求证：B2D A B C D ECBAE D C B A QPCBA10 题图 11 题图 12 题图 文档 例 2.已知，如图，ABC 是等边三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求 AD 的长。D A B C 【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含 30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例 1.（2005 年 苏州）如图，等腰三角形 ABC 的顶角为 120，腰长为 10，则底边上的高 AD_。A B C D 例 2.已知，如图，ABC 中，C90，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D，AD8，A30，求 CD 的长。C D A B E 例 3.已知，如图，ABC 是等边三角形，E 是 AB 上一点，D 是 AC 上一点，且 AECD，又 BD与 CE 交于点 F，试求BFE 的度数。A E D F B C 文档 【综合测试】1.已知，如图，ABAC，ABDACD，求证：DBDC A B C D 2.已知，如图，D、E 是 BC 上两点，ABAC，ADAE，求证：BDCE A B D E C 3.已知，如图，ABC 中，DE/BC，ABAC，求证：ADAE A D E B C 4.已知，如图，ABC 中，ABAC，D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，DE 交 BC 于 F，又 BDCE，求证：DFEF A D B C E F 5.已知，如图，D 是 BC 上一点，ABC、BDE 都是等边三角形，求证：ADCE 文档 A B D C E 6.已知，如图，ABC 中，B90，AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，又C15，EC10，求 AB 的长。A D B C E 例 6、如图 11，在ABC 中，A90，ABAC，D 为 BC 边中点，E、F 分别在 AB、AC 上，且 DEDF，求证：AEAF 是一个定值.证明：连接 AD，ABAC，D 为 BC 中点，ADBC，BAC90，ABAC，BC45，BAD45，CAD45，ADBDCD，EDF90，EDAADF90，又由 ADBC 得BDEADE90，BDEADF，在BDE 和ADF 中，BDAF，BDAD，BDEADF，BDEADF，BEAF，AEAFAEBEAB（定值）.思考：四边形 AEDF 的面积是否也是定值呢？为什么？例 4、如图 9，已知 AD 为ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且有 BFAC，FDCD，你认为 BE 与AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗？证明：线段 BEAC，理由如下：ADBC，ADBADC90，FBDBFD90，图11FADBCE图 5DBCAO文档 在 RtBDF 和 RtADC 中，BFAC，FDCD，RtBDFRtADC，BFDC，FBDC90，BEC180（FBDC）180 90 90，即 BEAC.例 5、如图 10，在ABC 中，ACB90，ACBC，M 是 AB 上一点，求证：2222AMBMCM.证明：过 C 作 CDAB 于点 D，ACB90，ACBC，CDAB，AB45，ACDBCD45，AACD，BBCD，ADBD，BDCD，即 ADBDCD，CDAB，222DMCDCM，2222222()()2()2AMBMADDMBDDMDMCDCM.思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题.例 1、如图 5，在ABC 中，ABAC，点 O 在ABC 内，OBOC，求证：AOBC.证明：延长 AO 交 BC 于点 D，ABAC，OBOC，OAOA，ABOACO，BAOCAO，即BADCAD，ADBC，即 AOBC.例 2、如图 6，在等边ABC 中，D、E 分别在边 BC、BA 的延长线上，且 AEBD，求证：CEDE.证明：过 E 作 EFCD 于点 F，ABC 是等边三角形，B60，BEF30，BE2BF，即 BAAEBCBD2BCCD2（BCCF），CD2CF，CFDF，在CEF 和DEF 中，CFDF，CFEDFE90，EFEF，CEFDEF，CEDE.图6EFABDC图9EAFBCD图10CDABM文档 例 3、如图 7，已知在ABC 中，ABAC，P 为底边 BC 上任意一点，PDAB 于点 D，PEAC 于点 E，求证：PDPE 是一个定值.解：连接 AP，过点 C 作 CFAB 于点 F，由12ABCSAB CF，12PABSAB PD，1122PACSAC PEAB PE，ABCPABPACSSS，得：111222AB CFAB PDAB PE，即，PDPECF（定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点 P 不是在边 BC 上，而是在 BC 的延长线上，其它条件保持不变，那么 PD 与 PE 之间又有怎样的关系呢？解：连接 AP，过点 C 作 CFAB 于点 F，（如图 8）由12ABCSAB CF，12PABSAB PD，1122PACSAC PEAB PE，ABCPABPACSSS，得：111222AB CFAB PDAB PE，即,PDPECF（定值）.即，当点 P 在 BC 延长线上时，PD 与 PE 之差为一定值.基础训练：1、填空题：（1）等腰三角形中，如果底边长为 6，一腰长为 8，那么周长是 。（2）如果等腰三角形有一边长是 6，另一边长是 8，那么它的周长是 ；如果等腰三角形的两边长分别是 4、8，那么它的周长是 。（3）等腰三角形的对称轴最多有 条。2、填空题：（1）如果ABC 是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）A、三条边长分别是 5，5，11 B、三条边长分别是 4，4，8 C、周长为 14，其中两边长分别是 4，5 D、周长为 24，其中两边长分别是 6，12（2）等腰三角形一边长为 2，周长为 5，那么它的腰长为（）A、3 B、2 C、1.5 D、2 或 1.5 3、已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍，周长为 35cm，求等腰三角形各边的长。4、已知：如图，AD 平分BAC，AB=AC，请你说明DBC 是等腰三角形。图7FEDBCAPP图8FEDBCAA B C D x+2y=4 3x+y=7 文档 5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解，求这个三角形的各边长。（1）等腰三角形的顶角平分线、互相重合。（2）等腰三角形有一个角是 120，那么其他两个角的度数是 和 。（3）ABC 中，A=B=2C，那么C=。（4）在等腰三角形中，设底角为 x，顶角为 y，则用含 x 的代数式表示 y，得 y=；用含 y 的代数式表示 x，得 x=。2、选择题：（1）等腰三角形的一个外角为 140，那么底角等于（）A、40 B、100 C、70 D、40或 70（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半（3）在等腰三角形 ABC 中，A 与B 度数之比为 52，则A 的度数是（）A、100 B、75 C、150 D、75或 100（4）等腰三角形 ABC 中，AB=AC，AD 是角平分线，则“ADBC，BD=DC，B=C，BAD=CAD”中，结论正确的个数是（）A、4 B、3 C、2 D、1 3、如图，已知ABC 中，D 在 BC 上，AB=AD=DC，C=20，求BAD。4、如图，已知ABC 中，点 D、E 在 BC 上，AB=AC，AD=AE。请说明 BD=CE 的理由。1、填空题：（1）在ABC 中，A 的相邻外角是 110，要使ABC 是等腰三角形，则B=。（2）在一个三角形中，等角对 ；等边对 。（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是 。（4）如图，AB=AC，BD 平分ABC，且C=2A，则图中等腰三角形共有 个。2、选择题：如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=108，ADB=72，DE 平分ADB，则图中等腰三角形的个数是（）A、3 B、4 C、5 D、6 A B C D E A B C D A B C D A B C D E 文档 3、如图，在ABC 中，B 和C 的平分线相交于点 O，且 OB=OC，请说明 AB=AC 的理由。4、如图，已知EAC 是ABC 的外角，1=2，ADBC，请说明 AB=AC 的理由。5、如图，AB=AC，ABD=ACD，请你说明 AD 是 BC 的中垂线。A B C D A B C O A B C D E 1 2