不定积分的基本积分法.ppt
第六章第六章 积积 分分 法法6.1 不定不定积积分的基本分的基本积积分法分法定积分定积分 计算计算归结为归结为原函数计算原函数计算归结为归结为不定积分不定积分 的计算的计算问题问题:不定积分如何计算不定积分如何计算?10 不定积分的运算性质不定积分的运算性质性质性质(线性运算性质线性运算性质)不定积分运算是线性运算不定积分运算是线性运算,即有即有利用基本不定积分公式计算不定积分利用基本不定积分公式计算不定积分基本思想基本思想:利用不定积分的运算性质利用不定积分的运算性质,将问题分解将问题分解为一些可利用基本积分公式计算的问题为一些可利用基本积分公式计算的问题例例求求解解由于由于原积分原积分例例计算计算解解 原积分原积分20 凑微分法凑微分法复合函数微分法复合函数微分法:如果如果将此微分式两边进行不定积分得将此微分式两边进行不定积分得则有则有所以有以下不定积分的凑微分公式所以有以下不定积分的凑微分公式:(1)说明说明:(1)公式公式(1)的意义在于通过凑微分把计算的意义在于通过凑微分把计算的问题转化为积分的问题转化为积分的计算的计算(2)公式公式(1)也称为也称为不定积分的第一换元法不定积分的第一换元法例例计算计算解解例例计算计算解解例例计算计算解解例例计算计算解解原积分原积分例例计算计算解解例例计算计算解解例例计算计算解解原积分原积分例例计算计算解解原积分原积分例例计算计算解解 原积分原积分简单三角函数的积分法简单三角函数的积分法例例计算计算解解例例计算计算解解原积分原积分一般地可计算一般地可计算:同理可计算积分同理可计算积分:解解例例计算计算一般地一般地,反复利用半角公式可计算反复利用半角公式可计算:例例计算计算解解原积分原积分解解例例计算计算原积分原积分同样方法可计算积分同样方法可计算积分:型积分的计算方法型积分的计算方法:(1)判别式判别式 的情形的情形此时此时(2)判别式判别式 的情形的情形(3)判别式判别式 的情形的情形此时此时综上所述可知综上所述可知:形如形如 的积分总的积分总可按上述方法计算可按上述方法计算 例例计算计算解解因为因为设设例例计算计算解解此时判别式此时判别式 030 不定积分的换元法不定积分的换元法凑微分法凑微分法(第一换元法第一换元法)(3)将上式反过来写将上式反过来写(4)这就是这就是不定积分的换元法不定积分的换元法(第二换元法第二换元法)定理定理(不定积分的第二换元法不定积分的第二换元法)说说明明:设设 f(x),均均连连续续 例例计算计算解解例例计算计算解解令令 则则由由于于所所以以有有例例计算计算解解原原积积分分令令 原原积积分分由由于于例例计算计算解解注注意意到到又又所所以以例例计算计算解解令令 (倒倒数数变变换换),例例计算计算解解令令 ,40 分部积分法分部积分法在在微微分分公公式式两两边边积积分分有有即即(2)式式(2)称称为为不不定定积积分分的的分分部部积积分分公公式式 说说明明:分分部部积积分分公公式式 的的意意义义在在于于把把积积分分的的计计算算问问题题转转化化为为积积分分 的的计计算算问问题题 例例计算计算解解例例计算计算解解解解例例计算计算例例计算计算解解原原积积分分所所以以有有例例计算计算解解原原积积分分例例计算计算解解原原积积分分例例计算计算解解说说明明:此此例例表表明明:通通过过分分部部积积分分有有时时可可获获得得所所求求积积分分满满足足的的方方程程,解解此此方方程程求求得得积积分分 例例计算计算解解所所以以有有即即例例计算计算解解所所以以有有又又故故可可根根据据上上式式推推得得说说明明:此此例例表表明明:通通过过分分部部积积分分有有时时可可获获得得递递推推式式,通通过过递递推推式式获获得得解解 50 有理函数积分法有理函数积分法如如果果 m n,则则(r(x)为为多多项项式式)其其中中 分分别别为为 m,n 次次实实系系数数多多项项式式有有理理函函数数:当当 m n 时时,称称为为有有理理真真分分式式 于于是是讨讨论论有有理理函函数数的的积积分分 ,只只需需讨讨论论有有理理真真分分式式的的积积分分 关关于于有有理理真真分分式式 有有以以下下部部分分分分式式分分解解定定理理 定定理理设设 ,如如果果其其中中 是是正正整整数数,各各二二项项式式无无实实根根,则则 R(x)有有以以下下唯唯一一的的部部分分分分式式分分解解:其其中中都都为为实实的的常常数数 从从定定理理可可知知:计计算算 将将面面临临以以下下四四种种类类型型的的积积分分:(1)(2)(3)(4)由由于于凑凑微微分分求求解解递递推推公公式式求求解解例例计算计算解解先先进进行行部部分分分分式式分分解解,设设比比较较等等式式两两边边有有解解得得:所所以以有有例例计算计算解解由由于于所所以以60 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分(1)三三角角有有理理函函数数的的积积分分对对于于三三角角有有理理式式因因为为即即令令(万万能能变变换换)之之后后,总总可可将将积积分分 化化为为有有理理函函数数的的积积分分例例计算计算解解令令 ，则则有有 例例计算计算解解(2)形形如如 积积分分的的计计算算令令 ,则则这这是是一一有有理理函函数数的的积积分分问问题题例例计算计算解解令令 ,原原积积分分(3)其其它它的的例例子子例例计算计算解解令令 原原积积分分例例计算计算解解原原积积分分例例计算计算解解原原积积分分令令
