《高等数学》(北大第二版)第01章习题.ppt

第一章第一章 求（证）极限的主要方法求（证）极限的主要方法 极限知识是微积分学和其它高等数学内容和学科的基础，是 研究导数、各种积分、级数、复变函数、积分变换，等的基 本工具，既是学习的重点、又是难点，应充分重视.一、内容小结一、内容小结 本章内容统称为极限论（或分析引论），应包括四个部分：映 射、函数、极限与连续.同学们在初等数学里已学过映射和函数知 识，在高等数学里仅作复习和补充；而连续可作为一种特殊的极 限 ,它的内容又容易一些；所以复习本章应以极限内容 作为核心部分来展开.二、求极限的方法二、求极限的方法 2.利用极限的运算法则求极限；利用极限的运算法则求极限；1.用定义证明极限式；用定义证明极限式；3.利用极限存在准则证明极限的存在性；利用极限存在准则证明极限的存在性；4.用夹逼定理求用夹逼定理求极限极限；5.利用利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量无穷小量”；6.利用两个重要的极限；利用两个重要的极限；7.利用利用“洛必达法则洛必达法则”，导数定义，定积分定义，导数定义，定积分定义等等求极限求极限.当无穷小量无穷小量定义定义 若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小量;函数 时为无穷小量;函数 当为时的无穷小量无穷小量.时为无穷小量量.例例1.求函数求函数 的定义域的定义域.(0,2 )例例2.已知解解 关键在于求出关键在于求出f(u)的表达式的表达式.令三、综合例题三、综合例题 例例3 设求解解:例例4 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数?为什么?不是不是是是不是不是提示提示:(2)例例5.求极限：解解例例6 求极限求极限解解则有若例例7因为例例8.求极限求极限解解本题可分子，分母同除以相同的因式后，再求极限本题可分子，分母同除以相同的因式后，再求极限.例例9.9.求极限求极限 解解 采用与通分相反的变形法采用与通分相反的变形法 -分解为简单分式（或部分解为简单分式（或部分分式），再用正、负相抵消变简单分分式），再用正、负相抵消变简单.思考题 求下列极限：(1)（2）例例11.求极限求极限解解例例12 求求 解解 先有理化，后求极限先有理化，后求极限例例13 已知已知解解这类逆向思维的问题，需用分析法解之这类逆向思维的问题，需用分析法解之思考题思考题 设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故例例14 求求解解找出两边夹的式子，用夹逼准则求之找出两边夹的式子，用夹逼准则求之则有即例例15 求解解:令则利用夹逼准则可知思考题 解解 这类由递推式表示数列通项的极限，须先用单调有界法则证明极限存在；这类由递推式表示数列通项的极限，须先用单调有界法则证明极限存在；然后才能对等式两边取极限，并用解方程的办然后才能对等式两边取极限，并用解方程的办 法去求极限法去求极限证证并求出该数列的极限.对等式两边取极限，得解方程，得a=2 或 a=-1(舍去）例例16例例17 又 f(0)=a,要使f(x)在x=0处连续，由函数在一点连续的定义，有即就是 a=b.解解 求分段函数分段点处的连续性，要考察左、右极限及分求分段函数分段点处的连续性，要考察左、右极限及分 段点的函数值段点的函数值.例例18证证 由零点定理，即方程f(x)=0至少有一个实根，f(x)=0的两个根，故任何奇次方程 至少有一个实根.例例19证证两两式式相相加加由闭区间上中间值存在一点例例20 解解 当x=1时,f(x)无定义,且习题解答习题解答 习题习题 1-31-3 证证根据数列极限定义，虽有反例反例：要证明：证证总有习题习题 1-4解解(1)(2)并求出该数列的极限.证证对等式两边取极限，得解方程，得a=2 或 a=-1(舍去）习题习题 解答：习题解答：习题1-39.证明证明证证在前面讨论 的有界性时已经证明于是下面证明（其中k为为任意固定的自然数）若k为任意固定正数，则当nk时，有取极限，得将k换成n,得于是结合（结合（*）得所证明）得所证明.