不定积分习题课.ppt
第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1 1页页第五章第五章 不定积分不定积分习题课习题课第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2 2页页积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3 3页页1 1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：即：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第4 4页页2 2、不定积分、不定积分(1)定定义义第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第5 5页页(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.(3)不定积分的性质不定积分的性质第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第6 6页页3 3、基本积分表、基本积分表是常数是常数)第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第7 7页页第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第8 8页页5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第9 9页页常见类型常见类型:第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1010页页6 6、第二类换元法、第二类换元法第二类换元公式第二类换元公式第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1111页页常用代换常用代换:第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1212页页7 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式8.8.选择选择u u的有效方法的有效方法:LIATELIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1313页页9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1414页页四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1515页页令令（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1616页页（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1717页页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1818页页例例2 2解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第1919页页例例3 3解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2020页页例例4 4解解(倒代换倒代换)第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2121页页例例5 5解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2222页页解得解得第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2323页页例例6 6解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2424页页例例7 7解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2525页页例例8 8解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2626页页例例9 9解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2727页页例例1010解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2828页页例例1111解解第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第2929页页第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3030页页第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3131页页第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3232页页第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3333页页例例4.设解解:令求积分即而第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3434页页例例8.求解解:设则因连续,得记作利用 得第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3535页页例例9.设 解解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3636页页2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如例如,第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3737页页例例10.求解解:令则原式原式第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3838页页例例11.求解解:令比较同类项系数,故 原式说明说明:此技巧适用于形为的积分.第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第3939页页例例12.解解：因为及第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第4040页页例例13.求不定积分解解:原式 第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第4141页页例例14.解解:I=第五章第五章 不定积分不定积分 嘉兴学院嘉兴学院2/26/20232/26/2023第第4242页页例例15.求解解:(n 为自然数)令则
