不定积分的概念与质.PPT
第一讲 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结 思考题无锡职业技术学院数学教研室例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念无锡职业技术学院数学教研室原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（为任意常数）为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？无锡职业技术学院数学教研室关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，（2）若）若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（为任意常数）为任意常数）证证（为任意常数）为任意常数）无锡职业技术学院数学教研室任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量无锡职业技术学院数学教研室例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求无锡职业技术学院数学教研室例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为无锡职业技术学院数学教研室显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.无锡职业技术学院数学教研室实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表无锡职业技术学院数学教研室基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）无锡职业技术学院数学教研室证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质无锡职业技术学院数学教研室例例5 5 求积分求积分解解无锡职业技术学院数学教研室例例6 6 求积分求积分解解无锡职业技术学院数学教研室例例7 7 求积分求积分解解无锡职业技术学院数学教研室例例8 8 求积分求积分解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.无锡职业技术学院数学教研室解解所求曲线方程为所求曲线方程为无锡职业技术学院数学教研室基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结无锡职业技术学院数学教研室思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么内是否存在原函数？为什么？无锡职业技术学院数学教研室思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.无锡职业技术学院数学教研室练习题练习题无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室练习题答案练习题答案无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室第二讲 换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法三、小结 思考题无锡职业技术学院数学教研室问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令一、第一类换元法无锡职业技术学院数学教研室在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理无锡职业技术学院数学教研室第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.定理定理1 1无锡职业技术学院数学教研室例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）无锡职业技术学院数学教研室例例2 2 求求解解一般地一般地无锡职业技术学院数学教研室例例3 3 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例4 4 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例5 5 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例6 6 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例7 7 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例8 8 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例9 9 求求原式原式无锡职业技术学院数学教研室例例1010 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例1111 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.无锡职业技术学院数学教研室例例1212 求求解解无锡职业技术学院数学教研室例例1313 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）无锡职业技术学院数学教研室解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出无锡职业技术学院数学教研室解解例例1414 设设 求求 .令令无锡职业技术学院数学教研室例例1515 求求解解无锡职业技术学院数学教研室问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法无锡职业技术学院数学教研室证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2无锡职业技术学院数学教研室第二类积分换元公式第二类积分换元公式无锡职业技术学院数学教研室例例1616 求求解解 令令无锡职业技术学院数学教研室例例1717 求求解解 令令无锡职业技术学院数学教研室例例1818 求求解解 令令无锡职业技术学院数学教研室说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令无锡职业技术学院数学教研室说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中,令令无锡职业技术学院数学教研室 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解无锡职业技术学院数学教研室例例2020 求求解解 令令无锡职业技术学院数学教研室说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例2121 求求令令解解无锡职业技术学院数学教研室例例2222 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2323 求求解解令令无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室基基本本积积分分表表无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)无锡职业技术学院数学教研室思考题思考题求积分求积分无锡职业技术学院数学教研室思考题解答思考题解答无锡职业技术学院数学教研室练练 习习 题题无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室练习题答案练习题答案无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室第三讲 分部积分法一、基本内容二、小结 思考题无锡职业技术学院数学教研室问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式一、基本内容无锡职业技术学院数学教研室例例1 1 求积分求积分解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.解（二）解（二）令令无锡职业技术学院数学教研室例例2 2 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函弦函数或幂函数和指数函数的乘积数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设就考虑设幂函数为幂函数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正假定幂指数是正整数整数)无锡职业技术学院数学教研室例例3 3 求积分求积分解解令令无锡职业技术学院数学教研室例例4 4 求积分求积分解解总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .无锡职业技术学院数学教研室例例5 5 求积分求积分解解无锡职业技术学院数学教研室例例6 6 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式无锡职业技术学院数学教研室例例7 7 求积分求积分解解无锡职业技术学院数学教研室令令无锡职业技术学院数学教研室解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得无锡职业技术学院数学教研室合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式二、小结无锡职业技术学院数学教研室思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？应注意什么？无锡职业技术学院数学教研室思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.例例第一次时若选第一次时若选第二次时仍应选第二次时仍应选无锡职业技术学院数学教研室练练 习习 题题无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室练习题答案练习题答案无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室第四讲 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分四、小结 思考题无锡职业技术学院数学教研室有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分无锡职业技术学院数学教研室假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.无锡职业技术学院数学教研室（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为无锡职业技术学院数学教研室（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为无锡职业技术学院数学教研室真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1无锡职业技术学院数学教研室代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2无锡职业技术学院数学教研室例例3 3整理得整理得无锡职业技术学院数学教研室例例4 4 求积分求积分 解解无锡职业技术学院数学教研室例例5 5 求积分求积分 解解无锡职业技术学院数学教研室例例6 6 求积分求积分解解令令无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：多项式；多项式；讨论积分讨论积分令令无锡职业技术学院数学教研室则则记记无锡职业技术学院数学教研室这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.无锡职业技术学院数学教研室三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分无锡职业技术学院数学教研室令令（万能置换公式）（万能置换公式）无锡职业技术学院数学教研室例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）无锡职业技术学院数学教研室解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令无锡职业技术学院数学教研室解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一便知万能置换不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的计算中故三角有理式的计算中先考虑其它手段先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.无锡职业技术学院数学教研室例例9 9 求积分求积分解解无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.无锡职业技术学院数学教研室例例1212 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式无锡职业技术学院数学教研室简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能置换公式）（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）（注意：万能公式并不万能）四、小结无锡职业技术学院数学教研室思考题思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？将分式分解成部分分式之和时应注意什么？无锡职业技术学院数学教研室思考题解答思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式分解后的部分分式必须是最简分式.无锡职业技术学院数学教研室练习题练习题无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室练习题答案练习题答案无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室第五讲 积分表的使用一、关于积分表的说明二、例题无锡职业技术学院数学教研室（1）常用积分公式汇集成的表称为）常用积分公式汇集成的表称为积分表积分表.（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的.（4）积分表见高等数学（四版）上册）积分表见高等数学（四版）上册（同济大学数学教研室主编）第（同济大学数学教研室主编）第452页页（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果.一、关于积分表的说明无锡职业技术学院数学教研室例例1 1 求求被积函数中含有被积函数中含有在积分表（一）中查得公式（在积分表（一）中查得公式（7）现在现在于是于是二、例题无锡职业技术学院数学教研室例例2 2 求求被积函数中含有三角函数被积函数中含有三角函数在积分表（十一）中查得此类公式有两个在积分表（十一）中查得此类公式有两个选公式（选公式（105）将将 代入得代入得无锡职业技术学院数学教研室例例3 3 求求表中不能直接查出表中不能直接查出,需先进行需先进行变量代换变量代换.令令被积函数中含有被积函数中含有无锡职业技术学院数学教研室在积分表（六）中查得公式（在积分表（六）中查得公式（37）将将 代入得代入得无锡职业技术学院数学教研室例例4 4 求求在积分表（十一）中查得公式（在积分表（十一）中查得公式（95）利用此公式可使正弦的幂次减少两次利用此公式可使正弦的幂次减少两次,重复使重复使用可使正弦的幂次继续减少用可使正弦的幂次继续减少,直到求出结果直到求出结果.这个公式叫这个公式叫递推公式递推公式.现在现在于是于是无锡职业技术学院数学教研室对积分对积分 使用公式（使用公式（93）无锡职业技术学院数学教研室说明说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数但原函数不一定都是初等函数.例例无锡职业技术学院数学教研室练练 习习 题题无锡职业技术学院数学教研室练习题答案练习题答案无锡职业技术学院数学教研室第四章习题课一、主要内容二、典型例题无锡职业技术学院数学教研室积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容无锡职业技术学院数学教研室1 1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：即：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数无锡职业技术学院数学教研室2 2、不定积分、不定积分(1)定定义义无锡职业技术学院数学教研室(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.(3)不定积分的性质不定积分的性质无锡职业技术学院数学教研室3 3、基本积分表、基本积分表是常数是常数)无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.无锡职业技术学院数学教研室常见类型常见类型:无锡职业技术学院数学教研室6 6、第二类换元法、第二类换元法第二类换元公式第二类换元公式无锡职业技术学院数学教研室常用代换常用代换:无锡职业技术学院数学教研室7 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式8.8.选择选择u u的有效方法的有效方法:LIATELIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.无锡职业技术学院数学教研室9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法无锡职业技术学院数学教研室四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式无锡职业技术学院数学教研室令令（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为无锡职业技术学院数学教研室（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号无锡职业技术学院数学教研室二、典型例题二、典型例题例例1 1解解无锡职业技术学院数学教研室例例2 2解解无锡职业技术学院数学教研室例例3 3解解无锡职业技术学院数学教研室例例4 4解解(倒代换倒代换)无锡职业技术学院数学教研室例例5 5解解无锡职业技术学院数学教研室解得解得无锡职业技术学院数学教研室例例6 6解解无锡职业技术学院数学教研室例例7 7解解无锡职业技术学院数学教研室例例8 8解解无锡职业技术学院数学教研室例例9 9解解无锡职业技术学院数学教研室例例1010解解无锡职业技术学院数学教研室例例1111解解无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室测测 验验 题题无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室测验题答案测验题答案无锡职业技术学院数学教研室无锡职业技术学院数学教研室
