《高等数学》北大第二版4-3泰勒公式.ppt

上页下页铃结束返回首页x 的一次多项式需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?4-3 泰勒公式泰勒公式以直代曲以直代曲上页下页铃结束返回首页若上式成立，则有上页下页铃结束返回首页 要证明上述公式成立，实际上就是要证明证证上页下页铃结束返回首页即证明了：上页下页铃结束返回首页即证明了：其中(n阶泰勒多项式)展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式泰勒公式 定理 1(泰勒公式)设 y=f(x)在 点的某个邻域内有定义，并在 点具有 n 阶导数 则在 点附近有下列展开式：证证连续地使用(n-1)次洛必达法则,则有(*)上页下页铃结束返回首页证毕.(*)称为n阶泰勒公式泰勒公式 称为皮亚诺型余项.在泰勒公式中若取则有称为马克劳林（马克劳林（Maclaurin）公式）公式.上页下页铃结束返回首页 几个初等函数的马克劳林公式几个初等函数的马克劳林公式例例1解解例例2解解上页下页铃结束返回首页类似可得例例3解解或者认为展开式结束于偶数项：上页下页铃结束返回首页例例4上页下页铃结束返回首页已知例例5定理定理设在设在 点附近有定义点附近有定义,且在且在 点点阶导数存在，假如有个常数阶导数存在，假如有个常数使得下式成立：使得下式成立：则有则有其中其中泰勒公式的唯一性.上页下页铃结束返回首页证证由连续性上页下页铃结束返回首页例例 6 求求解解则依次类推，最后可以通过(n-1)次洛必达法则证明定理得证.上页下页铃结束返回首页例例 7 求求解解上页下页铃结束返回首页例例 8 设m1,求极限解解上页下页铃结束返回首页类似地，有上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习 例3计算解解:原式上页下页铃结束返回首页例例4 求解解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,上页下页铃结束返回首页泰勒公式的应用（1）利用泰勒公式确定无穷小的阶及求未定式的极限.上页下页铃结束返回首页(2)利用泰勒公式求函数的近似计算公式.上页下页铃结束返回首页 无论是求 型未定式的极限或估计一个穷小量的阶 都需要熟练记住下列一些公式：