《数字信号处理导论-第7章》.ppt

第7章 FIR 数字滤波器设计7.1 FIR DF 设计的窗函数法7.2 窗函数7.3 FIR DF 设计的频率抽样法附：IIR与FIR数字滤波器的比较 IIR数字滤波器：有极点，也有零点，因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法，且取得非常好的效果，如好的衰减特性，准确的边缘频率。由于FIR数字滤波器只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。其思路是：直接从频域出发，即以某种准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。7.1 Fourier 级数法（窗函数法）1.由理想的频率响应 得到理想的 ；2.由 得到因果、有限长的单位抽样响应 ;3.对 加窗得到较好的频率响应。理想频率响应一、思路与方法：一、思路与方法：设理想低通滤波器的幅频为1，相频为零：则：特点：无限长 非因果 偶对称解决方法：截短，移位 保留即：隐含着使用了窗函数于是：注意：是因果的，且是线性相位的，即即事先给一线性相位为了省去每次的移位，可以令：在通带内这样：于是：使用了矩形窗上式的的表达式及设计 的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个 ，只要能积分得到 ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的FIR滤波器 。加窗处理后对频率响应的影响：加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积而矩形窗的频率响应：幅度函数：幅度函数：加窗函数的影响：加窗函数的影响：l不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应例1.设计低通 FIR DF,令归一化截止频率 0.125,N10，20，40，用矩形窗截短。结果如右图接上例：N10分别用矩形窗和Hamming 窗使用Hamming 窗后，阻带衰减变好，但过渡带变宽。高通：令：相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率在 处的低通滤波器。令：相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器减去一个截止频率在 处的低通滤波器。带通：令：窗函数，自然截短即是矩形窗。当然也可以用其它形式的窗函数。相当于带阻：例：理想差分器及其设计令：理想差分器的频率特性：理想微分器的频率特性：奇对称，纯虚函数理想相频特性第2类FIR滤波器实际相频特性幅频：1 矩形窗2 哈明窗例：设计 Hilbert 变换器 第2类FIR滤波器优点：1.无稳定性问题；2.容易做到线性相位；3.可以设计各种特殊类型的滤波器；4.方法特别简单。缺点：1.不易控制边缘频率；2.幅频性能不理想；3.较长；二、FIR DF 设计的窗函数法的特点：改进：1.使用其它类型的窗函数；2.改进设计方法。7.2 窗函数 窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的。数据、频谱、自相关函数等都需要截短。对窗函数提出那几方面的要求？关键是要搞清楚使用窗函数后所产生的影响：一个域相乘，在另一个域是卷积。矩形窗对窗函数的技术要求：1.3 dB 带宽 ：主瓣归一化幅度降到 3 dB 时的带宽；或直接用 。令 则 的单位为 ；2.边瓣最大峰值 （dB）3.边瓣谱峰衰减速度 （dB/oct）越小越好！越小越好！越大越好！常用窗函数：1.矩形窗2.三角窗Bartlett窗3.汉宁窗Hanning4.汉明窗Hamming矩形窗主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大l三角形（Bartlett）窗主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小l汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度小l海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）主瓣宽度宽：旁瓣幅度更小l布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小汉宁窗-布拉克曼窗比较矩形窗-汉宁窗-布拉克曼窗比较矩形窗-三角形窗比较矩形窗-海明窗-凯泽窗比较窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关六种窗函数基本参数比较窗函数法的设计步骤给定理想的频率响应函数及技术指标求出理想的单位抽样响应根据阻带衰减选择窗函数计算频率响应 ，验算指标是否满足要求根据过渡带宽度确定N值求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应公式法：IFFT法：计算其IFFT，得：对 M点等间隔抽样：解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为 ，通带截止频率为 ，阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2）求hd(n)4）确定N 值3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）5）确定FIR滤波器的h(n)6）求 ，验证若不满足，则改变N或窗形状重新设计7.3 FIR DF设计的频率抽样法 窗函数法：给定连续的理想的 ，用得到因果的、具有线性相位的 FIR DF逼近离散化直接赋值计算更容易思考：相等？滤波器已设计出可指定：如何指定转移函数、频率响应和给定的 的关系：用DFT系数作为权函数来表示设计出的有何特点原抽样再抽样有何关系？用插值的方法得到所要的滤波器：插值函数权重线性相位应为实数所以：如何指定 为偶数：为奇数：其它赋值方法见书。当然，阻带内应指定为零。另外，为了得到好的幅频响应，在1和0之间加过渡点，如0.5。窗函数法和频率抽样法 设计的 FIR DF 的频率响应都不理想，即通带不够平，阻带衰减不够大，过渡带过宽，频率边缘不能精确指定。因此我们要寻找新的设计方法。此方法即是Chebyshev 最佳一致逼近 法。该方法在数字信号处理中占有重要的定位，是设计 FIR DF 最理想的方法。由于课时限制，此方法不在课堂上讲解，有兴趣的同学可查阅参考书自行学习。附：IIR和FIR数字滤波器的比较IIR滤波器FIR滤波器lh(n)无限长lh(n)有限长l极点位于z平面任意位置l滤波器阶次低l非线性相位l递归结构 l不能用FFT计算l可用模拟滤波器设计l用于设计规格化的选频滤波器l极点固定在原点l滤波器阶次高得多l可严格的线性相位l一般采用非递归结构l可用FFT计算l设计借助于计算机l可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器与本章内容有关的MATLAB文件：产生窗函数的文件有八个：1.bartlett（三角窗）;2.blackman（布莱克曼窗）;3.boxcar（矩形窗）;4.hamming（哈明窗）;5.hanning（汉宁窗）;6.triang（三角窗）;7.chebwin（切比雪夫窗）;8.kaiser（凯赛窗）;两端为零两端不为零调用方式都非常简单请见help文件稍为复杂9fir1.m 用“窗函数法”设计FIR DF。调用格式：（1）b=fir1(N,Wn);(2)b=fir1(N,Wn,high);(3)b=fir1(N,Wn,stop);N：阶次，滤波器长度为N1；Wn：通带截止频率，其值在01之间，1对应 Fs/2 b:滤波器系数。对格式（1），若Wn为标量，则设计低通滤波器，若Wn是12的向量，则用来设计带通滤波器，若Wn是1L的向量，则可用来设计L带滤波器。这时，格式（1）要改为:b=fir1(N,Wn,DC-1),或 b=fir1(N,Wn,DC-0)前者保证第一个带为通带，后者保证第一个带为阻带。格式（2）用来设计高通滤波器，格式（3）用来设计带阻滤波器。在上述所有格式中，若不指定窗函数的类型，fir1自动选择Hamming窗。10fir2.m 本文件采用“窗函数法”设计具有任意幅 频相应的FIR 数字滤波器。其调用格式是：b=fir1(N,F,M);F是频率向量，其值在01之间，M是和F相对应 的所希望的幅频相应。如同fir1,缺省时自动选用 Hamming窗。例：设计一多带滤波器，要求频率在0.20.3,0.60.8 之间为1，其余处为零。设计结果如下：N=30,90 时幅频响应响应及理想幅频响应；N=30N=9011.remez.m 设计Chebyshev最佳一致逼近FIR滤波器、Hilbert变换器和差分器。调用格式是：(1)b=remez(N,F,A);(2)b=remez(N,F,A,W);（3）b=remez(N,F,A,W,Hilbert);(4)b=remez(N,F,A,W,differentiator)N是给定的滤波器的阶次，b是设计的滤波器的系数，其长度为N1；F是频率向量，A是对应F的各频段上的理想幅频响应，W是各频段上的加权向量。F、A及W的指定方式和例7.4.1和7.4.2所讨论过的一样，唯一的差别是F的范围为01，而非00.5,1对应抽样频率的一半。需要指出的是，若b的长度为偶数，设计高通和带阻滤波器时有可能出现错误，因此，最好保证b的长度为奇数，也即N应为偶数。例1：设计低通 FIR DF:b=remez(N,F,A,W)F=(0,0.6,0.7,1)A=(1,0)W=(1,10)12remezord.m 本文件用来确定在用Chebyshev最佳一致逼近设计FIR滤波器时所需要的滤波器阶次。其调用格式是：N,Fo,Ao,W=remezord(F,A,DEV,Fs)。F、A的含意同文件remez，DEV是通带和阻带上的偏差；输出的是适合要求的滤波器阶次N、频率向量Fo、幅度向量Ao和加权向量W。若设计者事先不能确定要设计的滤波器的阶次，那么，调用remezord后，就可利用这一族参数调用remez,即 b=remez(N,Fo,Ao,W)，从而设计出所需要滤波器。因此，remez和remezord常结合起来使用。需要说明的是，remezord给出的阶次N有可能偏低，这时适当增加N即可；另外，最好判断一下，若N为奇数，就令其加一，使其变为偶数，这样b的长度为奇数。13 firls.m 用最小平方法设计线性相位FIR滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应；14 fircls.m用带约束的最小平方法设计线性相位FIR滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应；15 fircls1.m 用带约束的最小平方方法设计线性相位FIR低通和高通滤波器。16 sgolay.m 用来设计 Savitzky-Golay FIR 平滑滤波器，其原理见9.1.1节 17 firrcos.m 用来设计低通线性相位FIR滤波器，其过渡带为余弦函数形状。