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逻辑学课件(完整)2023/2/251.1 逻辑是什么 逻辑简史与逻辑类型 逻辑的语源学逻各斯、Logic、名学、辩学等。“逻辑”的多义性 客观规律；思维规律、规则；看问题的视角、方法；逻辑学等 逻辑学简史 先秦名辩先秦名辩 名学和辩学合称。主要指先秦诸子关于名和辩的逻辑思想和理论，泛指中国古代逻辑思想。整个先秦逻辑思想就是一个以正名为重点，包括名、辞、说、辩在内古代逻辑学说。逻辑是探求区分好论证与坏论证方法和规则的科学。逻辑使人严谨。2023/2/25墨经墨经 之小取，是中国古典逻辑的一个名家代表人物纲要，比较集中完整地讨论了逻辑基本内容。墨经是墨家创始人墨翟思想的发展。后期墨家在逻辑理论方面作出了重要贡献。他们对“故”、“理”、“类”古代逻辑的三个基本范畴下了明确定义，并对“名”、“辞”、“说”作了深入研究。论述了“辟”（比喻）、“侔”（附比）、“援”（类比）、“推”（间接的归纳与演绎）四种形式的推理(见后期墨家逻辑)。这些思想，在中国古代逻辑史上占有重要地位。印度因明印度因明 从古代论辩术发展而来。先是五支论式，后发展为三支论式（宗、因、喻）。在分析正确论证和推理同时，十分注重论证的“过”和反驳的“过”。因明于唐代传入我国并得到发展。墨子2023/2/25 西西方方逻逻辑辑 西方逻辑学创始人。工具论6 篇奠定逻辑基础。主要贡献是对三段论的系统研究。斯多葛学派于三段论之外，研究了命题逻辑。提出理想语言和推理是计算的思想而成为现代逻辑的先驱。批判了形式逻辑，研究了辩证思维，构造辩证逻辑体系。新工具针对亚氏的演绎逻辑而提出归纳和诉诸自然和经验。三表法。揭示了思维的辩证矛盾。2023/2/25证明了狭谓词演算的有效公式皆可证；如果一个初等数论的形式系统一致，则它是不完全的；这种系统一致性在本系统中不能证明，更不能用有穷方法证明。他的这些工作正面或反面地，或是部分地解答了20世纪以来数学基础问题争论的最根本或最重要的问题现代归纳逻辑的发展有两个方向：“经典”数理统计方向和由J.M.凯因斯和F.P.拉姆齐开创，流行于5080年代初期的贝叶斯运动。20世纪中叶以来，美国的P.J.科恩用模态逻辑作为处理归纳推理的工具。科恩指出，支持度可列为不同的等级，不同等级的支持度，就是证据给予假设不同等级的必然性，一个被证明了的理论就是由较低级的必然性达到较高级的必然性。把概率作为一个逻辑概念来处理，区别于以相对频率为根据的统计概率。逻辑概率是一切不具有演绎必然性的归纳推理的基础，关于逻辑概率理论就是归纳逻辑。它可给出假说的相对于给定证据的确认度严格的因果陈述只是概率陈述的极限情况，科学中尤其是量子力学中的因果概念，并不一定要求概率接近于 1。一切科学陈述均是概率陈述，科学的逻辑是取值为区间01上的全部实数概率逻辑2023/2/25 逻辑的类型Susan Haack Philosophy of Logics 列出的逻辑范围Traditional Logic 三段论Classical Logic 二值命题、谓词演算（狭义数理逻辑）Extended Logics 模态、时态、规范、认知、择优、问句逻辑Deviate Logics 多值、直觉、量子、自由逻辑Inductive Logics 归纳逻辑 2023/2/25N.Rescher Topics in Philosophical Logic 逻辑分支一览表A.基础逻辑基础逻辑1传统逻辑2经典现代逻辑3非经典现代逻辑B.元逻辑元逻辑1逻辑语法学2逻辑语义学3逻辑语用学a逻辑语言论和 自然语言逻辑b修辞学分析c语境蕴涵d非形式谬误理论e逻辑的非古典应用4逻辑语言学a结构理论（形态学）b意义理论C有效性理论C.数学发展方面数学发展方面1算术2代数3函数论4证明论5递归论6集合论7模型论D.科学发展方面科学发展方面1物理应用a量子论逻辑b物理或因果模态理论2生物应用a伍杰方式发展b控制论逻辑3社会科学应用a规范逻辑b价值逻辑c法律应用E.哲学发展方面哲学发展方面1伦理应用a行为逻辑b义务逻辑c命令（祈使）逻辑d优先逻辑和选择逻辑（效益、价值、对策和决策的逻辑问题）2形而上学的逻辑应用a存在性逻辑b时序逻辑（时态、变化、过程逻辑）c部分与整体逻辑d本体学e构造性逻辑（逻辑还原主义等）f（唯名论与唯实论之争意义下）本体论逻辑3认识论应用a问（答）逻辑b认识论逻辑（相信、相干）c假设逻辑（反事实的假设推理）d信息和信息过程的逻辑e归纳逻辑4归纳逻辑a证实和确证的逻辑b概率逻辑2023/2/25逻辑形式逻辑形式：具有不同内容的思维（命题和推理）所共同具有的形式形式或结构结构 操作定义操作定义：用抽象字母代换命题或推理中的具体内容所得到的东西 思维的思维的逻辑形式研究思维的逻辑形式研究思维的逻辑形式?逻辑的研究对象研究思维研究思维?研究语言？研究语言？研究推理？研究推理？结论：结论：逻辑学逻辑学是研究思维形是研究思维形式结构及其规式结构及其规律科学，中心律科学，中心任务是研究推任务是研究推理及其有效性理及其有效性标准。或者最标准。或者最简单的：逻辑简单的：逻辑学是研究推理学是研究推理科学。科学。当当前前主主流流观观点点2023/2/25一切反动派都是纸老虎所有团员都是青年所有我班学生都是大学生所有商品都是劳动产品SP以上四个命题具有不同的内容，但用抽象字母替换其具体内容后，所得到的结构是：所有所有S S是是P P一切反动派都不是纸老虎所有团员都不是青年所有我班学生都不是大学生所有商品都不是劳动产品所有所有S S不是不是P P类似地，以下命题也具有不同的内容但它们有共同逻辑形式与这些逻辑形式属于同类还有命题逻辑形式2023/2/25有的有的S S是是P P有的有的S S不是不是P P如：有的人是团员有的人不是大学生如果一个物体摩擦，那么这个物体生热如果你能办成这件事，那么我从楼跳下去还有另外一类命题还有另外一类命题pq按照操作定义，得出它们逻辑形式是如果那么如果那么其中替换内容字母用了小写小写的p、q等只有才只有才只有耕耘，才有收获只有发烧，才会患肺炎要么武松死，要么老虎死生存，还是死亡？要么要么要么要么这商品品质好，而且价格低小张学习好，而且品德高尚P P 且且 q q2023/2/25或者或者或者或者或者老张是导演，或者老张是演员他或者吃米饭，或者吃面条并非并非并非人是由石头变来的并非人人有自知之明推理的逻辑形式 推理由命题组成，如果用相同的字母替换相同的具体内容，就可得到推理的逻辑形式 所有团员是青年，所以，有的青年是团员 S P P S 所有哲学家是思想家，亚里士多德是哲学家，所以，亚里士多德是思想家M P S M S P所有M是P，所有S是M，所以，所有S是P 所有S是P，所以，有的P是S2023/2/25不同类型的命题可组成不同类型的推理 如：如果一个人患肺炎（p），那么他发烧（q），小张不发烧（非q），所以，他未患肺炎（非p）如果p，那么q 非q 所以，非p要么你交钱（p），要么你交命（q）你交了钱（p）所以，你不用交命（非q）要么p，要么q P 所以，非q以上均为演绎推理的逻辑形式，还有归纳推理形式，可参阅教科书p.9任何一个逻辑形式都包括：逻辑常项逻辑常项 和 逻辑变项逻辑变项所所 有有 S 是是 P常项变项2023/2/25 逻辑规律：同一律、矛盾律、排中律。（第9章详论）至此，我们知道了 逻辑方法：定义、划分、限制、概括等。（第4章详论）思维的逻辑形式逻辑的基本规律简单逻辑方法 推理的有效性与可靠性有效性和可靠性是评价推理标准的概念。有效的：当其前提为真，结论必定为真（或不可能为假）时，一个推理形式形式是有效的；否则，便是无效的。普通逻辑的对象所有S是P，所以，有的P是S这个推理形式可以保证，无论将S或P代以何种具体内容，前提为真时，结论不可能假。换言之，你构造不出一个实例，使得具有这一形式的推理拥有真的前提和假的结论。这实例叫该形式的反例。2023/2/25所有S是P，所以，所有P是S这个推理形式是有反例的。即，用具体内容代换变项S和P后，即使前提为真，结论也是可能为假的。试以团员代换S，青年代换P，就有：所有团员是青年所以，所有青年是团员。该推理前提真而结论假。因此，原推理形式无效。有效与无效是推理形式的性质，是前提与结论之间的逻辑关系，与前提和结论事实上的真 假 无 直 接 关 系。前提结论有效性真真不定真假无效假真不定假假不定我们所能确定的只是两点：1.1.前提真而结论假，则推理无效；前提真而结论假，则推理无效；2.2.前提真，前提真，推理有效，则结论必真。推理有效，则结论必真。2023/2/25 可靠的：当前提为真，结论较大可能为真时，一个推理形式是可靠的；否则，是不可靠的不可靠的。有效性主要适用于演绎推理的评估；可靠性适用于归纳推理的评估 逻辑与语言 逻辑形式与语言形式研究逻辑形式都通过语言形式进行；不同的语言形式可表达同一逻辑形式；同一语言形式也可表达不同的逻辑形式任一S是P没有S不是P每一S是P或，但二者不相容或，但二者相容所有S是P或者（逻辑形式）（逻辑形式）（语言形式）（语言形式）2023/2/25 自然语言与人工语言 对象语言与元语言自然语言：历史发展过程中形成的、日常使用的语言，如汉语、英语等。特点：语义的丰富性、模糊性和歧义性。人工语言：人为构造的表意符号系统，即符号语言。特点：语义的单一性和精确性。传统逻辑用自然语言，现代逻辑用人工语言，如对象语言：作为讨论对象的那种语言。对象语言一般指称客观事物。元语言：用来讨论对象语言的那种语言。常指称语言本身。太阳是恒星太阳是恒星是一句真话对象语言元语言为了区分对象语言和元语言，需要给高一层的语言加引号。有元元语言，元元元语言，元语言。所有S是P x（SxPx）太阳是恒星“太阳”是两个汉字“太阳是两个汉字”是对的2023/2/251.2 学习逻辑的意义 逻辑的性质工具性，普遍性，抽象性，非政治性 学习逻辑的意义培养批判性思维习惯与能力思维创新的前提理解、论说的基础工具 批判性思维是以鉴别一个人思维的力量与弱点的方式来思考其思维的能力，它以一种改良的形式重铸思维。这种对思维的反思包括，识别思想的基本要素：目的、问题、信息、假设、解释、概念、含意、观点等，以及使用诸如清晰性、准确性、精确性、相关性、深度、广度和逻辑性等等普遍智力规范和标准评价这些要素的能力。任何学科理论都有目标和关于那些目标的逻辑结构集：假设、概念、主题、资料、理论、主张、含意、推论（后承）等等。某些概念在逻辑上比其他的更基本。每一学科都依赖概念、假设和理论，做出主张，给出理由和证据，避免矛盾等等。每一学科都应用着逻辑。2023/2/25 学习逻辑的方法重点是理解；作业是手段；文本分析是关键本章概要本章概要：逻辑是研究思维的逻辑形式及其基本规律以及简单逻辑方法的科学。任何逻辑形式都包括逻辑常项和逻辑变项。变项符号有两类，一类代表词项（S、P），一类代表语句（p、q）。逻辑形式的性质主要由逻辑常项决定。逻辑有三大源流。逻辑是工具性质的科学。学习逻辑可以提高批判性思维能力。学好逻辑的关键是对实际会话和文本进行逻辑分析。2023/2/252.1 概 述命题（命题（proposition）：通过语句反映事物情况的思维形式。特征：有真假真值判断（判断（judgment）：被断定了的命题。特征：主观断定。语句（语句（sentence）：表示事物情况的声音或笔画。命题函数命题函数（propositional function）：有变量的判断。命题和语句的关系：内容与表达形式。1）任何命题都通过语句表达；2）但并非一一对应：有些语句不表达命题（疑问、祈使、感叹等）；有些语句表达多个命题，就是所谓的话语歧义。命题、判断、语句、命题函数 命题逻辑把命题分析为构成复合命题的成分即简单命题，简单命题的真值组合决定整个复合命题的真值。2023/2/25命题的基本特征1、首先是符号串，但未必是语句，因为语句是有语法的符号串，取决于不同语言。（与语句属于不同范畴）2、必须有所断定:或者肯定，或者否定。（与一般语句区别开来）3、必须有真假之分,即一个命题或者是真的,或者是假的,二者必居其一。（与判断区别开来，与函数区别开来）2023/2/25命题形式命题形式：命题的逻辑形式命题形式 命题形式及其种类模态命题（modal proposition，带有“必然”、“可能”等）简单命题（simple proposition，变项概念）复合命题（compound proposition，变项命题）联言选言假言关系命题（支命题与联结词）（主、谓项与量词、联项）（关系者项、量词与关系项）性质命题负命题非模态命题另一种分类命题分类命题分类2023/2/25 命题逻辑舍弃一个命题的具体内容,而仅仅研究命题的真假问题.它除了命题必须具有真假意义外,不再有其他的要求。逻辑学把真和假称为命题的真值。二值原则:任何命题或者是真的，或者是假的。命题的真值命题的真值(truth-value of proposition)2023/2/25 推理推理：从一个或几个已知命题推出一个新命题的思维形式。例，有的大学生是男性，所以，有的男性是大学生。推理分类推理分类 推理及其分类前提推理标志词结论 结构必然性推理（演绎推理）或然性推理归纳推理类比推理简单命题推理复合命题推理性质关系联、选、假、负2023/2/25定义定义：反映若干事物情况同时存在结构结构：联言支（conjunct，若干情况）联结词（connective，同时存在）公式公式：p且q且r pqr（合取式）自然语句自然语句：虽然，但是；既，又；不仅，而且；尽管，可是；逗、句、分号例：物美价廉这件商品质量好而且这件商品价格便宜 情况组合 符号 物美价廉之真假 1.物美 价廉 p,q 真 t 2.物美 价不廉 p,q 假 f 3.物不美 价廉 p,q 假 f 4.物不美 价不廉 p,q 假 f 联言命题(conjunctive proposition)p qpqt tt ff tf f t f f f真值真值：支支真，支支真，真；任一支假，真；任一支假，假假pq的真值表p q p q2.1 联言命题及其推理2023/2/25省略式：省略式：省略主项、谓项，主谓项；教科书p30.末例 联言推理定义：定义：前提或结论为联言命题的推理；依据联言命题性质进行的推理种类：种类：分解式 依据合取式定义反过来，合取真则支支真。组合式 依据合取式定义，支支真则合取真pq ppq q（p，q，r）pq r2023/2/25定义定义：反映若干可能事物情况至少有一种存在结构结构：选言支（若干可能情况）联结词（至少有一存在）选言命题(disjunctive proposition)p qpqt tt ff tf f t t t f真值：真值：支支假，支支假，假假pq的真值表 情况组合 符号 命题真假 1.不可靠 有错误 p,q 真 t2.不可靠 无错误 p,q 真 t3.可靠 有错误 p,q 真 t4.可靠 无错误 p,q 假 f2.3 选言命题及其推理 相容选言命题(inclusive/weak disjunctive proposition)定义定义：选言支可同真 结构：结构：p或q pq（为相容析取）自然语句自然语句：或，或；可能，也可能；也许，也许；至少有一 例 “此报告或材料不可靠，或计算有错误”2023/2/25定义定义：选言支不同真 结构结构：选言支（可能情况）联结词（不能同时存在）要么p，要么q pqr（为不相容析取）自然语句自然语句：要么，要么；不是，就是；或，或，二者不可兼得等p qpqt tt ff tf f f t t f真值：真值：至少有一存在，但不能同时存在即至少且至多有一存在，也即唯一支真 唯一支真，唯一支真，真真pq的真值表 情况组合 符号 命题真假 1.虎死，松死 p,q 假 f 2.虎死，松未死 p,q 真 t 3.虎未死，松死 p,q 真 t 4.虎未死，松未死 p,q 假 f 例析 “要么武松打死老虎，要么老虎吃掉武松”.不相容选言命题(exclusive/strong disjunctive proposition)2023/2/25 选言支穷尽问题选言支穷尽问题 选言支穷尽的命题一定是真命题，但一个真的选言命题不一定是选言支穷尽的定义定义：根据选言命题性质进行的推理依据 pq 的性质，至少有一支真，所以（pqpq）p p）qq（pqpq）q q）pp（(pqr(pqr）p p）（qrqr）但有 选言推理 相容选言推理（1）-否定肯定式（pqpq）pp）q q（pq）q）p无效式无效式2023/2/25案例:这个统计数字的错误或者是由于原始数据不准确或者是由于计算出了问题，在统计中计算没有出问题，所以，这个统计数字的错误是由于原始数据不准确。2023/2/25 相容选言推理（2）-附加式从A可以推出AB竖式:A AB横式:AAB 案例:那个人是约翰 所以，那个人是约翰或者凯文。2023/2/25（pq）p）q（pq）p）q 不相容选言推理依据 pq性质，至多至少有一支真 肯定否定式 根据至多有一支真对多个支的不相容析取，肯定其一则可否定其余，即 （pqr）p）（pq）（pqr）p）（qr）（pq r）p）（qr）但否定其一，不能肯定剩余的每一个，只能肯定剩余的析取式否定肯定式 根据至少有一支真 2023/2/252.4 假言命题及其推理 假言命题（hypothetical proposition)/条件命题(conditional proposition)定义定义：反映一事物情况是另一事物情况存在的某种条件的命题 前件(antecedent)后件(consequent)联结词 如果一个人患了肺炎，那么这个人发烧关键是前后件关系是否反映两种情况之条件关系 充分条件(sufficient condition)假言命题定义定义：反映一事物情况是另一事物情况的存在的充分条件命题 有p必有q，无p未必无q1、p，q2、p，q3、p，q4、从未有p而qP是q的充分条件1，4 2，32023/2/25结构结构：若p则q pq自然语句自然语句：假使，那么；倘若，则；只要，就；要是，就；当，便；一旦，就；如果，则例析 “如果一个物体摩擦，那么这个物体生热”情况组合 符号 命题真假1.摩擦，生热 p,q 真 t 2.摩擦，不生热 p,q 假 f3.不摩擦，生热 p,q 真 t4.不摩擦，不生热 p,q 真 t真值真值：前前（件）真而后真而后（件）假假，则则假假 前前（件）假，假，或后后（件）真，则真，则真真p qpqt tt ff tf f t f t t2023/2/25注意 充分条件假言命题与日常生活中充分条件的区别，以及与推出的区别：充分条件假言命题为实质蕴涵（material implication），只考虑前后件的真假与整个命题真假之间的关系，而充分条件只考虑前件为真的情况，推出考虑前件真时后件是否必真，而且有内容上的联系，推出类似于日常的充分条件。2023/2/25 必要条件(necessary condition)假言命题定义定义：反映一事物情况是另一事物情况的存在的必要条件命题 结构结构：只有p才q pq 自然语句自然语句：只有，才；除非，不；没有，就没有例析 “只有一个人年满18岁，他才有选举权”真值：真值：前前（件）假而后假而后（件）真真，则则假假 前前（件）真，真，或后后（件）假，则假，则真真p qpqt tt ff tf f t t f t有p未必有q，无p必定无qP是q的必要条件 1，2 3，41、p，q2、p，q3、p，q4、从未有p而q 情况组合 符号 命题真假1.年满18，有选举权 p,q 真 t 2.年满18，无选举权 p,q 真 t3.未满18，有选举权 p,q 假 f4.未满18，无选举权 p,q 真 t2023/2/25 充分必要分条件(sufficient and necessary condition)假言命题定义定义：反映一事物情况是另一事物情况的存在的充分且必要条件命题 结构结构：当且仅当p才q pq自然语句自然语句：当且仅当；如果，则；如果不，则不例析p qpqt tt ff tf f t f f t 情况组合 符号 命题真假1.偶数，被2整除 p,q 真 t 2.偶数，不被2整除 p,q 假 f3.不是偶数，但被2整除 p,q 假 f4.不是偶数，不被2整除 p,q 真 t“一个数是偶数，当且仅当它能被2整除”有p未必有q，无p必定无q充分条件有p必有q，无p未必无q必要条件充要条件 有p必有q，无p必无q（P等值于q）真值：真值：前后件同真假，则前后件同真假，则真真2023/2/25 条件命题的转换（pq）（qp）（q p）（pq）（qp）（p q）pq（pq）（qp）（pq）（pq）（pq）（p q）（pq）（qp）如果摩擦，则生热只有生热，才摩擦如果未生热，则未摩擦只有发烧，才患肺炎如果患肺炎，则发烧如果不发烧，则未患肺炎一个数能被2整除，当且仅当它是偶数一个数是偶数，当且仅当它能被2整除一个数能被2整除，当且仅当它是偶数2023/2/25 假言推理根据假言命题性质的推理 充分条件假言推理根据前件是后件的充分条件；后件是前件的必要条件（p q）p）q（p q）q）p肯定前件式(modus ponendo ponens）有p必有q否定后件式(modus tollendo tollens）无q必无p P是q的充分条件q是p的必要条件（p q）q）p（p q）p）q肯定后件式 有q不必有p否定前件式 无p不必无q 2023/2/25案例：如果小李报考MBA,那么,小孙,小王和小张也都报考MBA.如果上述断定为真,则下列哪项也一定为真A.如果小王不报考MBA,那么小孙也不报考MBA.B.如果小张不报考MBA,那么小李也不报考MBA.C.如果小孙,小王和小张报考MBA,那么小李也报考MBA.D.如果小李不报考MBA,那么小孙,小王和小张三人中至少有一人不报考MBA.2023/2/25 必要条件假言推理根据前件是后件的必要条件；后件是前件的充分条件（pq）p）q（p q）q）p否定前件式 无p必无q肯定后件式 有q必有p P是q的必要条件q是p的充分条件（p q）p）q（p q）q）p肯定前件式 有p不必有q否定后件式 无q不必无p 根据pq等值于qp，pq 因此，两个有效式相当于（q p）p）q（q p）q）p（p q）p）q（p q）q）p2023/2/25 充要条件假言推理根据前件是后件的充分条件；前件是后件的必要条件 后件是前件的充分条件；后件是前件的必要条件（p q）p）q（p q）p）q肯定前件式 有p必有q否定前件式 无p必无q P与q互为充分条件 互为必要条件（p q）q）p（p q）q）p肯定后件式 有q必有p否定后件式 无q必无p 只要对前后件进行一致的肯定或否定，充要条件推理就是有效的根据转换，三种假言推理中，充分条件假言推理是基本的2023/2/25 假言易位推理(transposition)假言三段论(hypothetical syllogism)（p q）（q p）（p q）（q p）充分条件假言易位推理 必要条件假言易位推理 充要条件假言易位推理（p q）（q p）两个以上假言命题作前提 充分条件（pq）（q r）（p r）（pq）（q r）（rp）肯定式否定式 必要条件肯定式否定式（pq）（q r）（rp）（pq）（q r）（p r）混合条件肯定式否定式（p q）（q r）（p r）（p q）（q r）（p r）2023/2/25蕴涵析取律(p q)(p q)(p q)(p q)2023/2/25案例：“只有认识错误，才能改正错误”。以下诸项都准确地表达了上述断定的含义，除了：A.除非认识错误，否则不能改正错误。B.如果不认识错误，那么就不能改正错误。C.只要认识错误，就一定改正错误。D.如果改正错误，说明已经认识错误。E.不改正错误，就不能认识错误。2023/2/252.5 负命题及其推理 负命题(minus proposition)定义：定义：否定某个命题的命题 一元联结词 任何一个命题形式都可以加上否定词“并非”（）形成其负命题结构：结构：联结词“并非”支命题一个自然语言自然语言：并非；并不是；是假的；是不对的例析 并非我班所有同学都是中共党员 p p t f f t p真值：真值：负命题真，当且仅当原命题假负命题真，当且仅当原命题假 因此有 双重否定律：p pP p ptffttf2023/2/25 负命题的等值推理 联言命题负命题推理（pq）（pq）否定合取得析取，分配否定到变项 充分条件假言命题负命题推理 相容选言命题负命题推理 不相容选言命题负命题推理（pq）（pq）否定析取得合取，分配否定到变项德摩根定律(De Morgans law)（pq）（p q）(pq）（p q）（pq）必要条件假言命题负命题推理 充要条件假言命题负命题推理（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）负命题的负命题推理（p）p2023/2/252.6 复合命题的其他推理 假言选言推理（二难推理/dilemma）定义：定义：假言、选言命题构成，假言前提为2者是二难推理形式：形式：简单构成式、简单破坏式、复杂构成式、复杂破坏式prprpp总之，rpqprqr总之，ppqrspr总之，或q或s简单构成式结论不带析取肯定前件式前件不同后件同简单破坏式结论不带析取否定后件式后件不同前件同复杂构成式结论带析取肯定前件式前后件均不同pqrsqs总之，或p或r复杂破坏式结论带析取否定后件式前后件均不同2023/2/25典故 清代学者纪晓岚自幼勤奋好学，当他还是个孩子的时候，就经常到书摊上去看书。掌拒对他总是光看不买，有点不耐烦了。一天，掌拒对他说：“小孩子，我们是靠卖书吃饭的，你要看，就买回去看好了。纪晓岚听了，显出不高兴的样子，歪着小脑袋说：“买书就得先看，不看，怎么知道哪本好？”掌柜的说：“你经常到我这看书，就没有一本好的值得你买了吗？”纪晓岚见掌柜的发火了，就很和气地说：“你这书摊上好的书倒是不少，不过，我看完后也就背得了，还买它有何用？”“看完就能背？”掌柜显出一副不相信的神态，顺手拿起一本纪晓岚刚看过的书说道：“要是你当着我的面把这本书背下来，我就把它白送你，要是你背不下来，就永远别再来看我的书了！”“好，一言为定。”纪晓岚把两只小手一背，果然把那本书背了下来。掌柜大吃一惊，连连称赞，并把那本书送给了纪晓岚。2023/2/25推理 这段故事中，纪晓岚前半部分的谈话里就包含了如下一个推理：如果是好书，我看完后就背过了，那么，我没必要买；如果不是好书，我看了后当然也没必要买；或者是好书，或者不是好书；总之，我只看不买。2023/2/25半费之讼 的本质老师的：AFC AHCAA C或者：A（FC）A（HC）AA C学生的：AH C AF CAA C或者：A（H C）A（F C）AA C2023/2/25破斥错误的二难推理破斥错误的二难推理推理形式评估前提审查（充分条件存在否？选言支穷尽否？）构造相反的二难推理 假言联言推理定义：定义：假言命题与联言命题构成；结论为联言命题形式：形式：肯定式、否定式pqrsprq spqrsqs p r实际是一次分解式，两次肯定前件式，一次组合式实际是一次分解式，两次否定后件式，一次组合式pr pq rs qp，r p r s q s qsqs pq rs p q，s q s r p r p r2023/2/25 反三段论 如果从若干前提得出一个结论的推理是有效的，那么，若结论为假，则一定至少有一前提为假。如果知道其中的一个前提真，则剩余那个前提一定为假。三段论：（pq）r反三段论：反三段论：（pq）r）（r p）q）（pq）r）（r q）p）试展开 已知（pq）r 再假定 r p 则有r，p（分解式得到），（pq）r （pq）（pq）r p （pq）q（pq）r）（r p）q 不同于2023/2/25 归谬推理一个命题包含逻辑矛盾，则该命题为假。或，一个命题推出p，又推出p的矛盾命题（p），则该命题假。（p q）（p q）p展开 p q，p q，即是p（q q），而（q q）恒假，即（q q）恒真，恒真命题可作为前提使用，因此就有p（q q）（q q）p2023/2/25本章概要本章概要：命题是有真假的语句。它包括简单命题和复合命题。复合命题形式有联言命题、选言（相容和不相容）、假言（充分、必要、充要）和负命题形式。它们有不同的真值性质。各种复合命题的推理正是根据这些性质进行的推理。复合命题的定义、结构、真值、推理有效式密切相关。二难推理、假言联言推理、反三段论和归谬推理是从这些复合命题推理的基本形式衍生出来的。2023/2/253.1 重言式 真值形式与真值函项 真值形式从自然语言来看逻辑形式，有时需要考虑真假关系之外的因素，如支命题之间的相关性，语句的顺序等。如 如果摩擦，则生热；明天或者有雨，或者无雨 如果225，那么男人就不是男性；或者拉登已死，或者明天下雨第组至少是令人奇怪的，因为从常识来看，支命题之间缺少相关性。情有可原，理无可恕；理无可恕，情有可原 支命题顺序不同，意义不同。可以用类似于几何证明的方法证明所有复合命题的逻辑真理。检验复合命题推理的有效性就变成一种逻辑演算。2023/2/25但逻辑学难以对付诸如相关性、顺序等影响命题真假的因素。逻辑研究撇开逻辑联结词在自然语言中的非真值意义，仅从复合命题与支命题之间的真假制约关系来考虑逻辑联结词，这样，逻辑联结词就成为真值联结词；命题的逻辑形式也就成为真值形式。真值联结词真值形式仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的逻辑联结词仅仅反映支命题与复合命题之间的真值关系的命题形式基本真值联结词基本真值联结词 否定 合取 析取 蕴涵 等值基本真值形式基本真值形式 真值形式是命题形式的一部分“不但，而且”等不是真值形式。在命题逻辑中，命题形式也就是真值形式。命题形式的定义()任何命题变项是命题形式，如，p，q，p1()若A与B是命题形式，则A、AB、AB、AB、AB也是命题形式（）只有符合()、()的才是命题形式2023/2/255种基本真值形式 p 否定式 p q 合取式 pq 析取式 pq 蕴涵式 pq 等值式 真值函项与函数类比 函数讲的是数值关系，一个函数的值依赖于其中变数的值yf（x），即y的值f（x）由x的取值决定。真值函项讲的是真值（真假）关系，一个真值形式的值依赖其变项的值，如pq的值，由p和q的值决定。每一真值形式都是真值函项；真值形式与真值函项的数目并不一样多，真值形式的数目无限，真值函项数却是确定的；不同的真值形式，表达相同的真值函项；真值函项是对公式中变项的真假组合的真值断定，变项组合数2n，对每一组合有真假两种断定，故真值函项数为22n。当n（变项数）为1时，其真假组合为2，对真假组合的断定有4种可能，即真值函项有4个；变项数为2，则真值函项有16个；变项数为3，则真值函项为256个。2023/2/25P f1 f2 f3 f4t t t f ff t f t f真值函项是确定的，但真值形式是无穷的。f1 永真式（重言式）f4 永假式（矛盾式）f2 f3 可满足式（可真可假）永真式表达逻辑规律，永假式的否定也是永真式，逻辑主要研究重言式 pp p p（pp）pp pp（p）p p p pppp（p p）（pp）若变项数为2，则真值函项总数是16，但其真值函项的种类仍是3类，即重言式、矛盾式和可满足式：f1 是重言式，f16 是矛盾式，f2 f15是可满足式 f1 f2 f3 f42023/2/25p q f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16 t t t t t t t t t t f f f f f f f ft f t t t t f f f f t t t t f f f ff t t t f f t t f f t t f f t t f ff f t f t f t f t f t f t f t f t f f1 pq p;p pq;(pq)(pq)(pq)(pq)等f2 pq;(pq)等 f3 p q；q p；pq等 f4 p(q q)；p（qq)等 f5 p q；pq；q p等 f6 q(p p)；q（pp)等 f7 pq;(p q)(p q)f8 pq;(p q)f9 f8 的矛盾式 f10 f7 的矛盾式 f11 f6 的矛盾式 f12 f5 的矛盾式 f13 f4 的矛盾式 f14 f3 的矛盾式 f15 f2 的矛盾式 f16 f1 的矛盾式 2023/2/25随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式，而同一类真值函项的真值形式是等值的。通过研究真值函项，使我们看到无穷的真值形式中的同一的和本质的东西，即不同形式的真值形式（公式）表达相同的真值函项。而且，可以把纷繁的真值形式加以归类，因为有多少真值函项，就有多少真值形式的类，使逻辑研究集中于规律性的东西上。逻辑主要研究重言式。重言式重言式是逻辑真理的表现形式，是关于复合命题的逻辑规律其中的重言蕴涵式、重言等值式表达有效推理常见的重言式（逻辑规律）见教科书p83842023/2/253.2 命题的真值判定方法 真值表方法 真值表的作用定义作用定义作用：5个基本真值形式的真值表定义了5个真值形式。如，什么是合取式？回答是，每一支命题为真，则它为真的 那种真值形 式，这正是 合取式的真 值表反映的 情况。p qpqt tt ff tf f t f f f判定作用判定作用：1、判定一个公式的性质（重言 式，矛盾式或可满足式）；2、判定任意多个公式的关系 （等值或矛盾等）；3、判定一个推理是否有效，即 它是否一个重言的蕴涵式或 等值式。2023/2/25 真值表的作法分解公式。把一复杂公式分解为支命题和命题变项。如（pq）r）（r p）q）先找到主联结词，即最大括号外的联结词。蕴涵号 得到（pq）r）和（r p）q）再行分解得到pq 和r；r p和q 按变项最简单公式复杂公式顺序排列p，q，r，q，r，pq，r p，（pq）r，（r p）q，最后是总公式（pq）r）（r p）q）可以坚持一条原则：一公式的支命题在前，该公式在后，因此顺序也可排为p，q，r，q，r，pq，（pq）r，r p,（r p）q，只要保证，被判定的公式的支命题在先已经赋值即可。然后画表，先画一个偏十字或表格，将分解后的公式成分由简到繁写进表2023/2/25（pq）r）（r p）q）的真值表作法第一步：分解公式，画表 3个变项，其真假组合共有238种可能因此有8行；变项有3个，整个公式可分解为7部分，共有10列。2023/2/25pqrq rpq pqrr pr pq(pq）r）（r p）q第二步：由简到繁填入欲赋值的公式2023/2/25pqrtttttftfttfffttftffftfff第三步：给变项赋值（技巧：先给最后一个变项按一真一假赋值，再给第2个变项按两真两假赋值；再给第一个变项按四真四假赋值）2023/2/25pqrq rpqpqrr pr pq(pq）r）（r p）qtttfft tf t tttfftt ft f ttfttff tf t ttffttf tt t tfttfff tf t tftfftf t f t tffttff tf t tfffttf tf t t第四步：依次按照5个基本真值形式的真值表给每个子公式赋值第五步：根据真值表中的总公式即最后一列的赋值，对公式做出判定。此总公式下每一行均为真，故该蕴涵式为重言式，即一个有效推理形式。2023/2/25判定多个公式的性质或关系判定多个公式的性质或关系pqp