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第五章第五章 约束问题约束问题约束的四种基本类型约束的四种基本类型第一节约束的四种类型第一节约束的四种类型l一、等式约束一、等式约束l最大化问题：最大化问题：l满足一组满足一组m m个独立但一致的约束（个独立但一致的约束（mnmn）：）：l对原始被积函数对原始被积函数 构造一个拉格朗日函数：构造一个拉格朗日函数：l在目标函数中用在目标函数中用 代替代替F F给出了新函数：给出了新函数：l把拉格朗日乘子作为附加状态变量，每一个满足一把拉格朗日乘子作为附加状态变量，每一个满足一个欧拉个欧拉-拉格朗日方程：拉格朗日方程：l与与 相联系的欧拉相联系的欧拉-拉格朗日方程：拉格朗日方程：l由于由于 独立于任意独立于任意 ，所以对于每个，所以对于每个 都有都有l二、微分方程约束二、微分方程约束l拉格朗日被积函数仍为：拉格朗日被积函数仍为：l最大化最大化l满足满足l和和 适当的边界条件适当的边界条件l关于状态变量关于状态变量 的欧拉的欧拉-拉格朗日方程：拉格朗日方程：l关于拉格朗日乘子关于拉格朗日乘子 的欧拉的欧拉-拉格朗日方程：拉格朗日方程：l 个欧拉个欧拉-拉格朗日方程和拉格朗日方程和 个约束条件共同决定个约束条件共同决定 个路径个路径 和和 。l三、不等式约束三、不等式约束l我们把拉格朗日函数写为：我们把拉格朗日函数写为：l最大化最大化l满足满足l和和 适当的边界条件适当的边界条件l上页得到拉格朗日函数：上页得到拉格朗日函数：l与与 相联系的欧拉相联系的欧拉-拉格朗日方程：拉格朗日方程：l为了确保所有的为了确保所有的 项在解中消失为零项在解中消失为零（以使（以使 的最优值与的最优值与F F的最优值相等），我们需要在的最优值相等），我们需要在第第 个乘子与第个乘子与第 个约束之间对所有个约束之间对所有 都建立互补都建立互补-松弛条件：松弛条件：l四、等周问题四、等周问题l下面以单个状态变量和单个积分约束为例：下面以单个状态变量和单个积分约束为例：l和和 适当的边界条件适当的边界条件l最大化最大化l满足满足l我们定义函数我们定义函数l分别有分别有l所以，我们可以写出拉格朗日函数：所以，我们可以写出拉格朗日函数：l上页推导得到的欧拉上页推导得到的欧拉-拉格朗日方程：拉格朗日方程：l因此，可以写成不含因此，可以写成不含 的修正拉格朗日函数：的修正拉格朗日函数：（6.206.20）l（6.206.20）式对应的欧拉）式对应的欧拉-拉格朗日方程为：拉格朗日方程为：l对于对于 个状态变量、个状态变量、个积分约束的修正拉格朗日个积分约束的修正拉格朗日函数：函数：