线性代数42向量组的线性相关性.pptx
会计学1线性代数线性代数42向量组的线性相关性向量组的线性相关性第1页/共28页定义定义定义定义设有向量组则称向量组 A 是线性相关线性相关的.否则，称它是线性无关的.才能才能使()式成立，也就是，只有只有当则称向量组 A 是线性无关线性无关的.如果存在存在不全为零的数不全为零的数第2页/共28页说明：说明：说明：说明：线性相关线性相关线性相关线性相关等价命题：等价命题：含含零向量零向量的向量的向量组组对应分量对应分量成比例成比例.任一任一非零向量非零向量 线性无关线性无关.必线性相关必线性相关.第3页/共28页线性相关性的判定（定义法）线性相关性的判定（定义法）线性相关性的判定（定义法）线性相关性的判定（定义法）解齐次线性方程组若（1）有非零解非零解判定向量组线性相关线性相关线性无关线性无关若（1）只有唯一零解唯一零解，判定向量组第4页/共28页例例例例3 3设有数 的线性相关性.讨论解：第5页/共28页例例例例4 4设有数 所以向量组 E 线性无关.使得 的线性相关性.讨论解：第6页/共28页定理定理定理定理1 1有非零解有非零解.向量组 A:a1,a2,am 线性相关线性相关 其中矩阵 A=(a1,a2,am).秩 R(A)m第7页/共28页向量组 A:a1,a2,am 线性无关线性无关 定理定理 2只有零解只有零解.秩 R(A)=m第8页/共28页线性相关性的判定（秩法）线性相关性的判定（秩法）线性相关性的判定（秩法）线性相关性的判定（秩法）矩阵 A=()向量组 A:若秩 R(A)=m,线性无关线性无关若秩 R(A)m,线性相关线性相关第9页/共28页例例例例 5 5 讨论向量组讨论向量组讨论向量组讨论向量组向量组 a1,a2,a3是线性无关的.因为R(A)=3，的线性相关性.解：第10页/共28页例例例例 6 6 讨论向量组讨论向量组讨论向量组讨论向量组 的线性相关性.解：知 R(a1,a2,a3)=2 3,所以向量组 a1,a2,a3 线性相关.第11页/共28页练习：练习：练习：练习：讨论下列向量组讨论下列向量组讨论下列向量组讨论下列向量组的线性相关性的线性相关性的线性相关性的线性相关性.R(a1,a2,a3,a4)=3向量组 a1,a2,a3,a4 线性相关.用用mathematicamathematica求解求解第12页/共28页例例例例 8 8 8 8已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，证一 b1=a1+a2,b2=a2+a3 ,b3=a3+a1 证明向量组也线性无关.向量组 a1,a2,a3 线性无关,也就是 x1=0，x2=0，x3=0向量组 b1,b2,b3线性无关.设有数 x1,x2,x3 使第13页/共28页例例例例 8 8 8 8已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，b1=a1+a2,b2=a2+a3 ,b3=a3+a1 证明向量组也线性无关.证二：所以向量组 b1,b2,b3线性无关.其中其中第14页/共28页例例例例 8 8 8 8已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，b1=a1+a2,b2=a2+a3 ,b3=a3+a1 证明向量组也线性无关.证三：所以向量组 b1,b2,b3线性无关.因a1,a2,a3 线性无关第15页/共28页 例例例例 9 9证明向量组线性相关.证一第16页/共28页 例例例例 9 9证明向量组线性相关.证二第17页/共28页 例例例例 9 9证明向量组线性相关.证三第18页/共28页定理定理定理定理3 3 几个结论：几个结论：几个结论：几个结论：(1)向量组 A:a1,a2,am (m2)线性相关其余m-1个向量至少有一个至少有一个向量 能由线性表示.证明 充分性充分性设中有一个向量（比如能由其余向量线性表示.）故故 线性相关.第19页/共28页必要性必要性设 线性相关，则有不全为0的数因 中至少有一个不为0，不妨设即 能由其余向量线性表示.证毕.使则有第20页/共28页定理定理定理定理3 3 几个结论：几个结论：几个结论：几个结论：(2)若向量组 A:a1,a2,am 线性相关,组 B:a1,a2,am,am+1 也线性相关.则(2)若 a1,a2,am,am+1 线性无关，a1,a2,am 线性无关.（个数增减）（个数增减）部分相关，整体相关；部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。整体无关，部分无关。第21页/共28页(3)若向量组 A:线性无关，也线性无关.则向量组 B:(3)若B 组线性相关，则A组也线性相关.（分量增减）（分量增减）部分无关，加长无关；部分无关，加长无关；加长相关，部分相关。加长相关，部分相关。第22页/共28页例例例例1010线性无关线性无关线性无关线性无关第23页/共28页例例例例11 11 11 11 判断向量组判断向量组判断向量组判断向量组线性无线性无关关 线性无关线性无关.解解:的相关性的相关性第24页/共28页(4)向量个数大于向量维数，(5)如果向量组 A:a1,a2,am 线性无关，a1,a2,am,b 那么且表法唯一.而向量组 B:特别有n+1 个 n 维向量，向量 b 可由向量组 A 线性表示,必线性相关.必线性相关.线性相关,第25页/共28页线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时方程组（各个方程）是线性相关的；高斯消元法和矩阵的初等行变换法求解方程组可以说成化相关为无关的问题 当方程中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）.第26页/共28页目的要求目的要求（1 1）掌握向量组线性相关性的定义；）掌握向量组线性相关性的定义；（2 2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；（3 3）掌握向量组线性相关性的相关结论）掌握向量组线性相关性的相关结论.第27页/共28页
