线性系统理论chapter线性系统的能控性和能观测性.pptx

会计学1线性系统理论线性系统理论chapter线性系统的能控性线性系统的能控性和能观测性和能观测性2概述卡尔曼在20世纪60年代初，首先提出和研究了能控性和能观测性这两个概念；对系统控制和系统估计问题的研究具有重要性；本章以线性系统为对象，首先给出能控性和能观测性严格的数学定义；随后导出判别线性系统的能控性和能观测性的各种准则。返回第1页/共57页34.14.1 能控性和能观测性能控性和能观测性的定义的定义n n对能控性和能观测性的直观讨论研究“黑箱”内部状态是否可由输入影响和是否可由输出反映例1，例2第2页/共57页4 能控性定义能控性定义能控性定义能控性定义定义4.1,4.2 系统，对初始时刻t0J的一个非零初始状态x0，存在t1J，t1 t0，和一个无约束容许控制u(t)，tt0，t1，使状态由x0转移到t1时x(t1)=0，则称此x0是在t0时刻为能控的。如果从 x(t0)=0转移到x(t1)=xf，则称此xf是在t0时刻为能达的。线性时变系统定义4.3 系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0 J)时刻为能控/能达的，则称系统在时刻t0是完全能控/能达的。第3页/共57页5定义4.4 系统，取定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能控/能达的，则称系统在时刻t0是不完全能控/能达的。无约束控制：输入的每个分量的幅值不加以限制即可取为任意大到所要求的值。约束控制：输入的每个分量均是在J上平方可积的。定义4.5 系统对任意初始时刻t0 J均为完全能控/能达，即系统的能控/能达性与初始时刻t0 J的选取无关，则称系统是一致完全能控一致完全能控/能达的能达的。第4页/共57页6 能观测性定义能观测性定义能观测性定义能观测性定义令也可写成所谓能观测性即是研究x0的可由 的完全估计性，等价于研究u=0时y来估计x0的可能性。第5页/共57页7定义4.6 系统，对初始时刻t0J的一个非零初始状态x0，存在一个有限时刻t1J，t1 t0，使对所有tt0，t1有y(t)=0，则称此x0在t0时刻是不能观测的。定义4.7 系统，如果状态空间中的所有非零状态都不是时刻t0(t0 J)不能观测状态，则称系统在时刻t0是完全能观测的。如果对任意初始时刻t0 J均为完全能观测，则称系统是一致完全能观测的。定义4.8 系统，取定初始时刻t0J，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不能观测的，则称系统在时刻t0是不完全能观测的。返回第6页/共57页84.24.2 连续时间线性时不变连续时间线性时不变系统的系统的能控性判据能控性判据n n格拉姆矩阵判据方程证 充分性：Wc0,t1为非奇异，欲证系统完全能控。构造法结论4.1格拉姆矩阵判据 线性时不变系统完全能控的充要条件是，存在t10，使格拉姆(Gram)矩阵为非奇异。第7页/共57页9 必要性：系统完全能控，欲证Wc0,t1为非奇异。反证法，设Wc0,t1为奇异，则有非零 ，使 系统完全能控，对非零 ，有矛盾，原题得证第8页/共57页10结论4.3PBH 秩判据 线性时不变系统完全能控的充要条件是A的所有特征值li(i=1,2,n)，成立 rankliI A,B =n,i=1,2,n或等价 ranksI A,B =n,sR结论4.4PBH 特征向量判据 线性时不变系统完全能控的充要条件是A不能有与B所有列相正交的非零左特征向量，即A的任一特征值li，使同时满足 aTA=liaT,aTB=0的左特征向量aT=0。例结论4.2秩判据 线性时不变系统完全能控的充要条件 rank B AB An-1B =nn为A的维数，Qc=rankB An-1B为系统的能控性判别阵 第9页/共57页11结论4.5约当规范形判据 线性时不变系统特征值两两相异时，完全能控的充要条件是约当规范形中，不包含元素全为零的行。结论4.6 能控性约当规范形判据特征值有重根 li(si重)，i=1,l，且(s1+sl)=n，完全能控的充要条件是约当规范形第10页/共57页12其中第11页/共57页13而(ri1+ri2+)=si，由 的最后一行所组成的矩阵对i=1,2,l均为行线性无关。第12页/共57页144.3 4.3 连续时间线性时不变连续时间线性时不变系统的系统的能观测性判据能观测性判据n n格拉姆矩阵判据方程结论4.12 格拉姆矩阵判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是，存在t10，使格拉姆矩阵为非奇异。证明：充分性 构造法 必要性 反证法 类似能控性证明第13页/共57页15结论4.13 秩判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是，或 rank CT AT CT (AT)n-1 CT =nn为A的维数，Qo=CT AT CT (AT)n-1 CT为系统的能观测性判别阵。第14页/共57页16结论4.14PBH 秩判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是A的所有特征值li(i=1,2,n)，成立或等价 也即(sI-A)和C是右互质的。结论4.15PBH 特征向量判据 线性时不变系统完全能观测的充要条件是A没有与C所有行相正交的非零右特征向量，即A的任一特征值li，使同时满足 的特征向量 0。第15页/共57页17结论4.16 约当规范形判据 线性时不变系统特征值两两相异时，完全能观测的充要条件是约当规范形中，不包含元素全为零的列。结论4.17 特征值有重根 li(si重)，i=1,l，且(s1+sl)=n，完全能观测的充要条件是约当规范形第16页/共57页18其中第17页/共57页19而(ri1+ri2+)=si，由 的第一列所组成的矩阵对i=1,2,l均为列线性无关。第18页/共57页204.4 4.4 连续时间线性时变系连续时间线性时变系统的能控性和能观测统的能控性和能观测性判据性判据方程结论4.23 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻t0完全能控的充要条件是存在t1J，t1 t0，使格拉姆矩阵为非奇异。能控性判据能控性判据结论4.24 秩判据 线性时变系统在时刻t0完全能控的充分条件是，存在t1J，t1 t0，使成立 rank M0(t1)M1(t1)Mn-1(t1)=n其中 第19页/共57页21证明：略第20页/共57页22 能观测性判据能观测性判据能观测性判据能观测性判据结论4.25 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻t0完全能观测的充要条件是存在t1J，t1 t0，使格拉姆矩阵为非奇异。第21页/共57页23结论4.26 秩判据 线性时变系统在时刻t0完全能观测的充分条件是，存在t1J，t1 t0，使成立其中 返回第22页/共57页244.5 4.5 离散时间线性系统的离散时间线性系统的能控性和能控性和能观测性判据能观测性判据n n时变系统的能控性和能达性判据定义 线性时变离散系统，对初始时刻hJk和状态空间所有非零状态x0，存在lJk，l h，和对应的控制u(k)，使得x(l)=0，则称系统在时刻h为完全能控。如果对初始时刻hJk和初始状态x(h)=0，存在lJk，l h，和相应的控制u(k)，使得x(l)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻h为完全能达。第23页/共57页25结论4.28 能控性格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统，系统矩阵G(k)对所有k h,l-1非奇异，则系统在时刻hJk完全能控的充要条件是，存在lJk，l h，使格拉姆矩阵为非奇异。若系统矩阵G(k)奇异，则上述格拉姆矩阵非奇异为系统完全能空的充分条件。结论4.27 能达性格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统在时刻hJk，完全能达的充要条件是，存在lJk，l h，使格拉姆矩阵为非奇异。第24页/共57页26结论4.29 线性离散系统能控性和能达性为等价的充要条件是其系统矩阵G(k)对所有k h，l-1为非奇异。结论4.30 如果离散时间系统是相应的连续时间系统的时间离散化模型，则其能控性和能达性必是等价。第25页/共57页27 时不变系统的能控性和能达性判据时不变系统的能控性和能达性判据时不变系统的能控性和能达性判据时不变系统的能控性和能达性判据结论4.31 能达性格拉姆矩阵判据 线性时不变离散系统完全能达的充要条件是，存在时刻l 0，使格拉姆矩阵为非奇异。第26页/共57页28结论4.32 能控性格拉姆矩阵判据 线性时不变离散系统，系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充要条件是，存在时刻l 0，使格拉姆矩阵为非奇异。结论4.33 能达性秩判据 线性时不变离散系统完全能达的充要条件是 rankQkc=rank H GH Gn-1H=n第27页/共57页29结论4.35 最小拍控制 考虑单输入离散时不变系统 x(k+1)=Gx(k)+hu(k)，k=0,1,G为非奇异，系统为完全能控时，可构造如下控制使在n步内将任意状态x(0)=x0转移到状态空间的原点。结论4.34 能控性秩判据 线性时不变离散系统，系统矩阵G非奇异，则系统完全能控的充要条件是 rankQkc=rank H GH Gn-1H=n若G奇异，则上式为系统完全能控的充分条件第28页/共57页30 时变系统的能观测性判据时变系统的能观测性判据定义 线性时变离散系统，对初始时刻hJk的任一非零初态x0，存在有限时刻lJk，l h，且可由h，l上的输出y(k)唯一的确定x0，则称系统在时刻h为完全能观测的。结论4.36 线性离散时不变系统，能控性和能达性为等价的充要条件是其系统矩阵G为非奇异。结论4.37 如果离散时间线性时不变系统是相应的连续时间线性时不变系统的时间离散化，则其能控性和能达性必是等价。第29页/共57页31结论4.38 能观测性格拉姆矩阵判据 线性时变离散系统在时刻hJk，完全能观测的充要条件是，存在有限时刻l Jk，l h，使格拉姆矩阵为非奇异。时不变系统的能观测性判据时不变系统的能观测性判据结论4.39 能观测性格拉姆矩阵判据 线性时不变离散系统完全能观测的充要条件是存在离限时刻l 0，使格拉姆矩阵为非奇异。第30页/共57页32结论4.40 能观测性秩判据 线性时不变离散系统完全能观测的充要条件是 或 rankCT GTCT (GT)n-1CT=n第31页/共57页33结论4.41 考虑单输入离散线性时不变系统 x(k+1)=Gx(k)，k=0,1,y(k)=cx(k)x(0)=x0系统为完全能观测时，可只利用n步内的输出值构造出任意的非零初态x0：返回第32页/共57页344.64.6 对偶性对偶性n n对偶系统对偶对偶系统 的运动是状态点在状态空间中由t0至t的正时向转移，而对偶系统 运动是协状态点在状态空间中由t至t0的反时向转移。第33页/共57页35结论4.42 线性属性和时变属性 无论连续还是离散时间系统，线性原构系统的对偶系统d也为线性系统，时变(或时不变)原构系统的对偶系统d也为时变(或时不变)系统结论4.43 系数矩阵对偶属性原构系统和对偶系统d 的系数矩阵之间具有如下对应关系 d 系统矩阵=系统矩阵的转置 d 输入矩阵=输出矩阵的转置 d 输出矩阵=输入矩阵的转置结论4.44 状态转移矩阵对偶属性原构系统和对偶系统d 的状态转移矩阵之间具有如下对偶属性 Fd(t,t0)=F(t,t0)逆的转置=FT(t0,t)第34页/共57页36 对偶性原理对偶性原理对偶性原理对偶性原理返回 完全能控d完全能观测结论4.47 的完全能控等同于 的完全能观测，的完全能观测等同于 的完全能控。第35页/共57页374.74.7 能控规范形和能观测能控规范形和能观测规范形：规范形：单输入单输入-单输出情形单输出情形 能控性能观测性在线性非奇异变换下的属性结论4.52 线性非奇异变换属性线性非奇异变换不改变能控性和能观测性判别矩阵的秩结论4.53 线性非奇异变换属性线性非奇异变换不改变系统的能控性和能观测性能控规范形和能观测规范形定义为完全能控系统和完全能观测系统的标准形状态空间描述能控规范形和能观测规范形定义为完全能控系统和完全能观测系统的标准形状态空间描述第36页/共57页38 能控规范形结论4.56 完全能控的单入-单出线性时不变系统，引入变换 ，则能控规范形 其中例第37页/共57页39 能观测规范形能观测规范形能观测规范形能观测规范形结论4.58 完全能观测的单入-单出线性时不变系统，引入变换 ，推出能观测规范形 其中例第38页/共57页40 几点讨论几点讨论几点讨论几点讨论n n利用能控规范形和能观测规范形利用能控规范形和能观测规范形进行系统研究，十分方便进行系统研究，十分方便n n代数等价的完全能控系统具有相代数等价的完全能控系统具有相同的能控规范形，代数等价的完同的能控规范形，代数等价的完全能观测系统具有相同的能观测全能观测系统具有相同的能观测规范形，规范形，返回第39页/共57页414.84.8 连续时间线性时不变连续时间线性时不变系统的系统的结构分解结构分解n n按能控性的系统结构分解 为(A,B,C)进行线性非奇异变换所导出的结果，有：P为非奇异常阵。成立 证明：又证明完成线性非奇异变换，不改变线性系统的能控性和能观测性，也不改变不完全能控和不完全能观测的程度。从而提供了采用线性非奇异变换，对系统实现结构分解的可能性和具体途径。第40页/共57页42能控性判别阵变换阵结论4.63 变换阵性质变换矩阵Q和逆矩阵P，成立结论4.64 变换阵性质变换矩阵Q和逆矩阵P，成立结论4.65 变换阵性质变换矩阵Q和逆矩阵P，成立第41页/共57页43结论4.66 不完全能控系统，引入变换 ，导出系统结构按能控性分解的规范表达式，k=rank Qc 第42页/共57页44几点说明：系统被明显的分解为能控部分和不能控部分不完全能控系统的特征值=能控部分特征值(能控振型)+不能控部分特征值(不能控振型)。外输入u的引入，只能改变能控振型的位置，不能改变不能控振型的位置不能控部分不受外部作用影响变换阵P不唯一，分解结果不唯一，但分解形式不改变能控性判别准则：线性定常系统完全能控，当且仅当它不能通过线性非奇异变换进行能控性分解。第43页/共57页45 按能观测性的系统结构分解按能观测性的系统结构分解按能观测性的系统结构分解按能观测性的系统结构分解变换阵能观测性判别阵结论4.67 不完全能观测系统，引入变换 ，导出系统结构按能观测性分解的规范表达式，m=rank Qo 第44页/共57页46 系统结构的规范分解系统结构的规范分解系统结构的规范分解系统结构的规范分解结论4.68 规范分解定理不完全能控和不完全能观测系统，通过线性非奇异变换实现系统结构的规范分解第45页/共57页47结论4.69 不完全能控和不完全能观测系统，其输入输出描述即传递函数矩阵只能反映系统中能控且能观测的那一部分，即返回第46页/共57页484.9 4.9 小结和评述小结和评述n n本章定位：围绕能控性和能观测性，是线性时不变本章定位：围绕能控性和能观测性，是线性时不变系统综合的基础系统综合的基础n n能控性和能观测性的实质：能控性表征外部输入对能控性和能观测性的实质：能控性表征外部输入对系统内部运动的可影响性；能观测性表征系统内系统内部运动的可影响性；能观测性表征系统内部运动可由外部量测输出的可反映性部运动可由外部量测输出的可反映性n n能控性和能观测性的判据：能控性和能观测性的判据：n n能控规范形和能观测规范形；能控规范形和能观测规范形；n n线性系统的结构分解：线性系统的结构分解：n n状态空间描述和传递函数矩阵描述的关系：完全描状态空间描述和传递函数矩阵描述的关系：完全描述和不完全描述述和不完全描述返回第47页/共57页49例例例例1 1 给定系统的状态空间描述给定系统的状态空间描述给定系统的状态空间描述给定系统的状态空间描述x x1 1和和 x x2 2都可通过选择输入都可通过选择输入u u而由始点达到原点，因而而由始点达到原点，因而系统为完全能控；但输出系统为完全能控；但输出y y只能反映只能反映x x2 2，所以系统是，所以系统是不完全能观测的。不完全能观测的。返回第48页/共57页50例例2 2 输入为电压源输入为电压源u(t)，输出为电压y，状态变量为电容端电压x如果初始状态x(t0)=0，恒有x(t)=0，即x(t)不受u(t)的影响；如果输入u(t)=0，恒有y(t)=0，即x(t)不由y(t)反映。所以电路系统是状态不能控和状态不能观测的。返回第49页/共57页51例例 线性定常系统状态方程如下，判断能控性线性定常系统状态方程如下，判断能控性由已知由已知A的特征值：第50页/共57页52第51页/共57页53系统完全能控返回第52页/共57页54例例例例 给定能控的单输入给定能控的单输入给定能控的单输入给定能控的单输入-单输出线性定常系统为单输出线性定常系统为单输出线性定常系统为单输出线性定常系统为 求能控规范形求能控规范形求能控规范形求能控规范形解：特征多项式 和常数能控规范形第53页/共57页55变换阵返回第54页/共57页56例例例例 给定能观测的单输入给定能观测的单输入给定能观测的单输入给定能观测的单输入-单输出线性定常系统单输出线性定常系统单输出线性定常系统单输出线性定常系统为为为为 求能观测规范形求能观测规范形求能观测规范形求能观测规范形解：特征多项式能观测规范形 和常数第55页/共57页57变换阵返回第56页/共57页