线性方程组的解的结构.pptx
会计学1线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构-2-在前面的章节学习中，我们已经研究了线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。第1页/共35页-3-4.1 线性方程组解的存在性定理1、非齐次方程组解的存在性定理2、齐次方程组解的存在性定理第2页/共35页-4-(4-1)(矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式)(原始形式原始形式)第3页/共35页-5-一、非齐次方程组解的存在性定理定理定理4.1.14.1.1对于非齐次非齐次方程组(4-1)向量 可由A的列向量组线性表示。第4页/共35页-6-定理定理4.1.24.1.2设的线性方程组的系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:(4-2)第5页/共35页-7-二、齐次方程组解的存在性定理(4-3)(矩阵形式矩阵形式)(向量形式向量形式)(原始形式原始形式)第6页/共35页-8-定理定理4.1.34.1.3对于齐次齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)一定有非零解.齐次方程组解的存在性定理第7页/共35页-9-定理定理4.1.44.1.4设的线性方程组有非零解(4-4)第8页/共35页-10-例：(1)如果非齐次线性方程组 有惟一解，则 只有零解？(2)如果 只有零解，则非齐次线性方程组 有惟一解吗？第9页/共35页-11-第四章线性方程组的解的结构4.4 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理第10页/共35页-12-4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系基础解系)如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?称：第11页/共35页-13-性质1：若 是(4-3)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)第12页/共35页-14-设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性是的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。(取任意实数)从而也是(4-3)的解。第13页/共35页-15-通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.第一步第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B从行最简形能得到什么？第14页/共35页-16-第二步第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?第三步第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式 第15页/共35页-17-是解吗?线性无关吗?任一解都 可由 表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数=?第四步第四步:写出基础解系第16页/共35页-18-设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理定理4.2.14.2.1推论推论2 2设是矩阵，如果则齐次线性方程组的任意 个线性无关的解向量均可构成基础解系。第17页/共35页-19-设 ,证明证记则由说明都是的解因此移项重要结论重要结论推论推论3 3第18页/共35页-20-例2设 ,是 的两个不同的解向量,k 取任意实数,则 Ax=0 的通解是第19页/共35页-21-且线性无关，则_是AX=O的基础解系。(2),(3)练习练习1、第20页/共35页-22-练习2、求下列线性方程组的基础解系与通解.第21页/共35页-23-例3证明设 ,首先证明利用这一结论证重要结论重要结论第22页/共35页第四章线性方程组的解的结构4.4 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理第23页/共35页-25-4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构以下总假设有解,而其对应的齐次方程组的基础解系为这里第24页/共35页-26-性质性质性质(1 1)设 都是(1)的解,则是(2)的解.(2 2)设 是(1)的解,是(2)的解,则 仍是(1)的解.设 是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解 x是(2)的解,从而存在 使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3 3)注：非齐次方程组的解集不是空间。第25页/共35页-27-定理定理4.3.14.3.1设 是(1)的任一解,则(1)的通解为例4解第26页/共35页-28-得齐次方程组的基础解系于是所有通解即得方程组的一个解第27页/共35页-29-练习求下列线性方程组的通解.第28页/共35页-30-设是非齐次方程组 Ax=b 的解,则是 Ax=0 的解是 Ax=b 的解例5第29页/共35页-31-例6设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取 ,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组的通解为自学书P.144-145 例2、3、5。第30页/共35页-32-小结：作业：P142 1 P147 4第31页/共35页第四章线性方程组的解的结构4.4 4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.3 4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4.2 4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理第32页/共35页-34-4.4 线性方程组在几何中的应用第33页/共35页-35-例7求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的 A 放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成 的列(A 的行)即可.解 得基础解系设所求的齐次方程组为 ,则取即可.解第34页/共35页
