线性系统的时域分析.pptx

会计学1线性系统的时域分析线性系统的时域分析*过渡过程过渡过程：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有：系统受到外作用时，控制过程不会立即发生，而是有一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输出量有一个一定的延缓，这就使得被控量恢复到期望值或跟踪输出量有一个时间过程。一般认为时间过程。一般认为c(t)c(t)进入进入（误差带）后过渡过程结束。（误差带）后过渡过程结束。例如例如：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：单位阶跃输入信号作用下，反馈系统的过渡过程为：r(t)10ta 单位阶跃信号单位阶跃信号10tc(t)0.52tdtrtptsb 单位阶跃信号作用下单位阶跃信号作用下反馈系统的过渡过程曲线反馈系统的过渡过程曲线（误差带（误差带一般取一般取0.020.02或或0.050.05）动态性能指标：动态性能指标：延迟时间延迟时间 t td d：指响应从指响应从0 0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需 要的时间；要的时间；上升时间上升时间 t tr r：指响应从指响应从0 0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；前页后页第1页/共68页峰值时间峰值时间 t tp p ：指响应从指响应从0 0到达第一次峰值（稳态值）时所需要的时间；到达第一次峰值（稳态值）时所需要的时间；调节时间调节时间ts：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或或2%（=0.02）内所需要的最短时间。内所需要的最短时间。超调量超调量 M Mp p ：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。振荡次数振荡次数N N ：指指c(t)c(t)穿越穿越c()c()水平线的次数的一半。水平线的次数的一半。其中其中 M Mp p平稳性；平稳性；N N阻尼性。阻尼性。稳态性能指标：稳态性能指标：稳态误差稳态误差e essss ：指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量。指响应的稳态值与期望值之差。系统控制精度（准确性）或抗扰动能力的一种度量。3 32 2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 1.1.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 T c(t)T c(t)c(t)=r(t)c(t)=r(t)或或G(S)=1/(TS+1)-G(S)=1/(TS+1)-惯性环节惯性环节 前页后页 c(tp)c(tp)c()c()M Mp p=100%=100%c()c()第2页/共68页2.2.一阶系统的单位阶跃响应：一阶系统的单位阶跃响应：即：即：r(t)=1(t)r(t)=1(t)或或 R R（S S）=1/S =1/S 时的时的 c(t)c(t)。由于由于 G(S)=1/(TS+1)G(S)=1/(TS+1)即有即有 C(S)=1/(TS+1)C(S)=1/(TS+1)R R（S S）=1/(TS+1)=1/(TS+1)S=1/S S=1/S 1/1/（S+1/TS+1/T）故故 c(t)=Lc(t)=L-1-1 C C（S S）=L=L-1-1 1/S 1/S 1/1/（S+1/TS+1/T）=1 =1e e t/Tt/T (t0)(t0)即即 c(t)c(t)是单调上升的。是单调上升的。且且 c(0)=c(t)c(0)=c(t)t=0t=0=0,=0,，c()=c(t)c()=c(t)t=t=1=1 t 0 T2T 3T 4T 5Tc(t)00.630.86 0.950.980.99 作图如右：作图如右：c(t)10tT2T3T4T5T一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应前页后页第3页/共68页从图中可知从图中可知:当当=0.05时，时，ts=3T；=0.02时，时，ts=4T；由此可见由此可见ts是由是由T决定的。而决定的。而tp=0，Mp=0，N=0,td,tr均可求得。均可求得。结论结论：时间常数时间常数T决定系统的惯性：决定系统的惯性：T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。3一阶系统的：一阶系统的：单位脉冲响应单位脉冲响应单位斜坡响应单位斜坡响应单位加速度响应单位加速度响应教材教材P81-83（分析方法同（分析方法同 “单位阶跃响应单位阶跃响应”）33二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 d2uc（t）duc（t）T2+2T+uc（t）=ur(t）dt2dtn2或或(s)=s2+2ns+n2前页后页第4页/共68页2.2.二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应二阶系统的闭环极点与单位阶跃响应二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环极点由闭环特征式：由闭环特征式：D（S）=s2+2ns+n2 得：得：系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程：s2+2ns+n2=0 对应于对应于的不同取值，可以得到的不同取值，可以得到S1，S2在在S平面上不同的分布。平面上不同的分布。有：有：S1，2=nn21（S1，S2二阶系统的闭环极点）二阶系统的闭环极点）二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应当当r(t)=1时时或或R(S)=1/S时，时，有：有：n21C(S)=(s)R(S)=s2+2ns+n2S故：故：c(t)=L-1n21s2+2ns+n2Sn n21(SS1)(SS2)S=L-1=L-1C1C2C3(SS1)(SS2)S=C C1 1e e s s1 1t tC C2 2 e e s s1 1t tC C3 3其中：n2C1=;(S1S2)S1n2C2=;(S2S1)S2C3=1前页后页第5页/共68页而而S1，S2是是和和n的函数，显然的函数，显然c(t)只与只与，n有关，即有关，即，n决定决定着着c(t)的形式。的形式。1时，（过阻尼）时，（过阻尼）S1，S2为一对不等的负实数根。为一对不等的负实数根。S1 S20j0jt=1时，（临界阻尼）时，（临界阻尼）S1，S2为一对相等的负实数根。为一对相等的负实数根。01时，（欠阻尼）时，（欠阻尼）S1，S2为一对具有负实部的共轭复根。为一对具有负实部的共轭复根。前页后页第6页/共68页当当=0时，（无阻尼，零阻尼）时，（无阻尼，零阻尼）S1，S2为一对幅值相等的虚根。为一对幅值相等的虚根。当当0时，（负阻尼）时，（负阻尼）S1，S2为一对不等的负实数根。为一对不等的负实数根。小结小结：）二阶系统正常工作的基本条件是二阶系统正常工作的基本条件是 0 0；而而0 0系统不稳定；系统不稳定；）当当 1 1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；）当当0 01 1时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。前页后页第7页/共68页（3）欠阻尼即）欠阻尼即01时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析设设r(t)=1，即即R（S）=1/S 则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：C(S)=(s)R(S)=n21s2+2ns+n2S1 S+2n-S（s+n）2+n2（1-2）=令：令：n=（衰减系数）衰减系数）n1-2=d（阻尼振荡频率）阻尼振荡频率）则则S1,2=+jd,此时此时:C(S)=1 S+S（s+）2+d2 （s+）2+d2所以所以c(t)=1etcosdt(/d)etsindt=1(et/1-2)sin(dt+)其中其中cos=即即=arccos(称为阻尼角称为阻尼角)前页后页第8页/共68页分析分析：1）e(t)=r(t)c(t)=(et/1-2)sin(dt+)为一振荡衰减过为一振荡衰减过 程（指数衰减），振荡频率为程（指数衰减），振荡频率为d。图示如下：图示如下：e(t)10tc(t)10t2）e(t)及及c(t)的衰减速度取决于的衰减速度取决于n的大小；的大小；3）t时，时，e()=0则则c()=1；4）Mp0,N0即存在超调和振荡；即存在超调和振荡；5）=n（衰减系数）：衰减系数）：即即S1，S2的实部。亦即闭环极点到虚轴的实部。亦即闭环极点到虚轴的距离；的距离；d=n1-2（阻尼振荡频率）：即阻尼振荡频率）：即S1，S2的虚部。亦即闭环极的虚部。亦即闭环极点到实轴的距离；点到实轴的距离；n（自然振荡频率）：自然振荡频率）：闭环极点到原点的距离闭环极点到原点的距离;=cos（为阻尼角）：为阻尼角）：n与负实轴夹角的余弦与负实轴夹角的余弦;前页后页第9页/共68页 6)性能指标分析性能指标分析上升时间上升时间tr：指响应从指响应从0到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；到第一次达到终值（稳态值）时所需要的时间；即：令即：令c(tr)=1或或(et/1-2)sin(dt+)=0即由：即由：sin(dt+)=0得得tr=（）/d 峰值时间峰值时间tp：指响应从指响应从0到达第一次峰值（稳态值）时到达第一次峰值（稳态值）时所所需要的时间；需要的时间；由求由求c(t)极值的方法，即由极值的方法，即由c(t)=0求得：求得：tp=/d=/（n1-2）、d、n、及及、的关系图示如右的关系图示如右:jdnS1S20前页后页第10页/共68页调节时间调节时间ts：即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值即过渡过程时间。指响应到达并保持在终值5%（=0.05）或）或2%（=0.02）内所需要的最短时间。）内所需要的最短时间。具体求法参见教材具体求法参见教材P107。在工程上，一般采用下列公式进行估算：在工程上，一般采用下列公式进行估算：当当0.7时：时：ts=（4.751.7）/n当当00.7时：时：ts=3/(n)(=0.05)或或ts=4/(n)(=0.02)延迟时间延迟时间td：指响应从指响应从0到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需到第一次达到终值（稳态值）的一半时所需要的时间；要的时间；在工程上，一般采用下列公式进行估算：在工程上，一般采用下列公式进行估算：td=（0.71）/n前页后页第11页/共68页超调量超调量Mp：指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。指阶跃响应的最大值超出其稳态值的部分。即 Mp=c(tp)1 100%将 tp=/d=/（n1-2）代入后简化得：/(1-2)Mp=e 100%根据定义，并因为根据定义，并因为c()=1，故有故有c(tp)c()Mp=100%c()前页后页第12页/共68页(4)当当1时，系统有两个不相等时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。的负实根，称为过阻尼状态。两个不相等的负实根为单位阶跃响应第13页/共68页当 时，当 时，系统的过渡过程时间可近似为系统的超调量 图3-15 过阻尼二阶系统单位阶跃响应第14页/共68页(5)(5)当阻尼比当阻尼比当阻尼比当阻尼比=1=1时，系统的特征根为两相时，系统的特征根为两相时，系统的特征根为两相时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻尼状态。等的负实根，称为临界阻尼状态。等的负实根，称为临界阻尼状态。等的负实根，称为临界阻尼状态。此时系统在单位阶跃函数作用下，系统的超调量Mp=0，调节时间(对应误差带为5%)图3-18 临界阻尼系统阶跃响应第15页/共68页(6).当阻尼比当阻尼比=0时，系统特时，系统特征根为一对纯虚根，称为无征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。阻尼状态。系统特征根 单位阶跃响应为 第16页/共68页实际设计中，一般取实际设计中，一般取=0.40.8。其中以其中以=0.7时为最佳阻尼。时为最佳阻尼。3欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动欠阻尼情况下，二阶系统的单位脉冲、斜坡及加速度响应的动态性能分析态性能分析4例题分析例题分析例题例题1教材：教材：P101例题例题3-1、P102例题例题3-2；3-3例题例题2教材二、教材二、P108例题例题3-1、P109例题例题3-2；P132例题例题3-12。前页后页第17页/共68页6二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善1)改善的目的改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。2)改善的办法：（改善的办法：（P104107）引入零点。即在前向通路中串入一个引入零点。即在前向通路中串入一个PD控制环节；控制环节；采用测速反馈控制。采用测速反馈控制。3)PD控制与测速反馈控制两种方案比较控制与测速反馈控制两种方案比较（见下页（见下页附表附表）4)例题分析例题分析、教材：教材：P107例题例题3-4；、教材二：、教材二：P113例题例题3-3，P131-134例题例题3-9、11、13、14前页后页第18页/共68页 性能指标性能指标 方方 案案 PD控制控制 测速反馈控制测速反馈控制 阻尼比阻尼比 增大增大 自然频率自然频率 不影响不影响 开环增益开环增益 不影响不影响 降低降低 稳态误差稳态误差 不影响不影响 影响影响 超调量超调量 影响程度不同（大）影响程度不同（大）（小）（小）性能性能都能改善，但改善程度不同都能改善，但改善程度不同 适用场合适用场合由由于于其其放放大大作作用用，在在输输入入端端 存在严重噪声时，不宜采用存在严重噪声时，不宜采用对噪声有滤波作用，使对噪声有滤波作用，使用广泛用广泛附表：附表：PD控制与测速反馈控制两种方案比较控制与测速反馈控制两种方案比较前页后页第19页/共68页3 34 4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 1 1、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。、定义：能用三阶或三阶以上的微分方程描述的控制系统。2 2、分析方法：分析方法：1 1）定性分析；）定性分析；2 2）主导极点法；）主导极点法；3 3）计算机分析）计算机分析3 3 主导极点与偶极子问题主导极点与偶极子问题 主主导导极极点点：在在所所有有的的闭闭环环极极点点中中，那那些些离离虚虚轴轴最最近近、且且附附近近又又没没有有其其它它零零、极极点点，对对系系统统动动态态性性能能影影响响起起主主导导的的决决定定性性作作用用的闭环极点，称之为主导极点。的闭环极点，称之为主导极点。主主导导极极点点法法：利利用用主主导导极极点点代代替替系系统统全全部部闭闭环环极极点点来来估估算算系统性能的方法，称为主导极点法。系统性能的方法，称为主导极点法。一般要求：一般要求：5*5*ReRe主导极点主导极点 Re Re 非主导极点或零点非主导极点或零点 。前页后页第20页/共68页偶偶极极子子：当当一一对对闭闭环环零零、极极点点重重合合或或它它们们之之间间的的距距离离比比较较小小（它它们们之之间间的的距距离离比比其其本本身身的的模模值值小小一一个个数数量量级级以以上上）时时便便构构成成偶极子。偶极子。4、利用主导极点法系统性能指标、利用主导极点法系统性能指标利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统利用主导极点法可以将高阶系统化成低阶（一阶或二阶系统来近似地对高阶系统进行等效分析。来近似地对高阶系统进行等效分析。35线性系统的稳定性线性系统的稳定性1、稳稳定定的的定定义义：若若线线性性系系统统在在初初始始扰扰动动影影响响下下，其其动动态态过过程程能能够够逐逐渐渐衰衰减减并并趋趋于于零零，即即系系统统能能回回到到原原来来的的平平衡衡工工作作点点，则则称称系系统统渐渐近稳定，简称稳定。否则为不稳定。近稳定，简称稳定。否则为不稳定。2、系系统统稳稳定定的的充充要要条条件件（P111中中）：系系统统的的所所有有闭闭环环特特征征根根都都具具有有负负实实部部；或或者者系系统统闭闭环环传传递递函函数数的的极极点点均均严严格格位位于于左左半半S平平面面。（0）前页后页第21页/共68页系统稳定的系统稳定的“充要条件充要条件”的的两点说明两点说明：1）若若有有部部分分闭闭环环极极点点位位于于虚虚轴轴上上，而而其其余余极极点点分分布布在在左左半半S平平面时，系统将处于临界稳定状态（面时，系统将处于临界稳定状态（=0）。）。2）若若有有一一个个或或一一个个以以上上的的闭闭环环极极点点位位于于右右半半S平平面面时时，则则系系统将处于不稳定状态（统将处于不稳定状态（0）。）。3、稳定性的判定、稳定性的判定1）三个稳定判据三个稳定判据劳斯（劳斯（Routh）判据判据;赫（胡）尔维茨（赫（胡）尔维茨（Hurwith）判据判据;林纳德林纳德-奇帕特（奇帕特（Lienard-Chipard）判据判据a前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）；前提：稳定的充分必要条件（特征方程的根）；b依据：根与系数的关系；依据：根与系数的关系；c方法：列（劳斯）表计算。方法：列（劳斯）表计算。前页后页第22页/共68页2)Routh判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的判据判定方法：根据劳斯表中第一列元素的符号来判定：符号来判定：若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列元素的符号均严格为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；若劳斯表中第一列元素的符号出现负号，则系统不稳定；3）劳斯表的列写劳斯表的列写首先，将首先，将D（S）=a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0的系数排的系数排成两行：成两行：sna0a2a4a6sn-1a1a3a5a7其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。见下页其次，分步计算（空位置零），列写劳斯表。见下页最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。最后，根据劳斯表中第一列元素的符号来判定稳定性。前页后页第23页/共68页sn a0 a2 a4 sn-1 a1 a3 a5 sn-2b1=(a1 a2-a0 a3)/a1 b2=(a1 a4-a0 a5)/a1 b3=(a1 a6-a0 a7)/a1 sn-3c1=(b1 a3-a1 b2)/b1 c2=(b1 a5-a1 b3)/b1 c3=(b1 a7-a1 b4)/b1 ：0S1 x1 x2 0 0S0 an 0 0 0劳斯表劳斯表 若若a a0 0、a a1 1、b b1 1、c c1 1、x xn n、a an n都严格为正，则系统稳定；都严格为正，则系统稳定；若若a a0 0、a a1 1、b b1 1、c c1 1、x xn n、a an n中出现负值，则系统不稳定；中出现负值，则系统不稳定；此时，元素号改变的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。此时，元素号改变的次数，恰好是具有正实部的闭环特征根个数。前页后页第24页/共68页4）劳斯表特殊情况处理劳斯表特殊情况处理第一列元素出现第一列元素出现“0”项（下面一项为项（下面一项为）：）：在原特征方程在原特征方程D（S）=0中乘以一个任意的（中乘以一个任意的（S+a）因子，因子，（a0），），然后对新的特征方程然后对新的特征方程D（S）（）（S+a）=0重新列重新列写劳斯表。写劳斯表。劳斯表中出现全劳斯表中出现全0行：行：以全以全0行上面那一行的系数建立一个辅助方程行上面那一行的系数建立一个辅助方程F（S）=0，并对其求导一次，再用并对其求导一次，再用F（S）=0的系数代替全的系数代替全0行各元素，行各元素，继续列劳斯表。继续列劳斯表。若系统存在正实部根，则可以由辅助方程若系统存在正实部根，则可以由辅助方程F（S）=0求出求出一部分，其余的正实部根可以由一部分，其余的正实部根可以由D（S）/F（S）=0求得。求得。前页后页第25页/共68页4应用举例应用举例例题例题1教材：教材：P113例例3-7、例例3-8、例例3-9,P114例例3-10例题例题2教材二：教材二：P121例题例题3-4；P123例题例题3-5；P124例题例题3-6P133-134例题例题3-153-16；例例题题2：已已知知系系统统结结构构图图如如下下，试试用用劳劳斯斯稳稳定定性性判判据据确确定定能能使使系系统统稳定的反馈参数稳定的反馈参数的取值范围的取值范围。解解：系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为R（S）1+1/S1/S（S+1）SSC（S）S+1（S）=S3+（1+）S2+S+1前页后页第26页/共68页闭环特征方程为：闭环特征方程为：S3+（1+）S2+S+1=0劳斯表为劳斯表为：根据表中第一列元素大于零的要求，可知根据表中第一列元素大于零的要求，可知0 S 3 1 1 S 2 1+1 S 1 /（1+）0 S 0 1 0例例题题3：单单位位反反馈馈系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下，试试确确定定能能使使系系统统稳定的稳定的K的取值范围。的取值范围。KG（S）=S（0.1S+1 1）(0.25S+1)前页后页第27页/共68页解：系统的闭环特征方程为：解：系统的闭环特征方程为：S（0.1S+1）(0.25S+1)+K=0即：即：0.025S3+0.35S2+S+K=0S30.0251S20.35KS1(0.35-0.025K)/0.350S0K列写劳斯表如下：列写劳斯表如下：根据表中第一列元素大于零的要求，有根据表中第一列元素大于零的要求，有0.35-0.025K0及及K0故有故有0K14前页后页第28页/共68页例题例题4：某控制系统的特征方程为某控制系统的特征方程为:S3+（+1）S2+(+-1)S+-1=0式中式中、为待定参数为待定参数,试确定能使系统稳定的参数试确定能使系统稳定的参数、的取值范围的取值范围。解解：（提提示示：用用劳劳斯斯稳稳定定性性判判据据可可确确定定。参参数数、的的取取值值范范围围是是 0 0及及1 1）小结小结：系系统统的的稳稳定定性性只只与与本本身身结结构构参参数数有有关关，而而与与初初始始条条件件、外外作作用无关；用无关；系统的稳定性只取决于系统的闭环特征根（极点），而与零系统的稳定性只取决于系统的闭环特征根（极点），而与零点无关。点无关。前页后页第29页/共68页3.3.6 3.3.6 3.3.6 3.3.6 相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量 相相对对稳稳定定性性即即系系统统的的特特征征根根在在s s平平面面的的左左半半平平面面且且与与虚虚轴轴有有一一定定的的距距离离，称称之之为为稳稳定定裕裕量。量。为为了了能能应应用用上上述述的的代代数数判判据据，通通常常将将s s平平面面的的虚虚轴轴左左移移一一个个距距离离，得得新新的的复复平平面面s s1 1，即即令令s s1 1=s+=s+或或s=ss=s1 1-得得到到以以s s1 1为为变变量量的的新新特特征征方方程程式式D D(s s1 1)=0=0，再再利利用用代代数数判判据据判判别别新新特特征征方方程程式式的的稳稳定定性性，若若新新特特征征方方程程式式的的所所有有根根均均在在s s1 1平平面面的的左左半半平平面面，则则说说明明原原系系统统不不但但稳稳定定，而而且且所所有有特特征征根根均均位位于于-的的左左侧侧，称称为为系系统的稳定裕量统的稳定裕量 第30页/共68页例例 3-5 3-5 检验特征方程式检验特征方程式 是否有根在是否有根在s s右半平面，以及有几个根在右半平面，以及有几个根在s=s=-1-1垂垂线的右边。线的右边。解解 列劳斯表：列劳斯表：由劳斯判据知，系统稳定，所有特征根均在由劳斯判据知，系统稳定，所有特征根均在s s的的左半平面。左半平面。第31页/共68页令令s=ss=s1 1-1-1代入代入D(s)D(s)得得s s1 1的特征方程式的特征方程式列劳斯表：列劳斯表：劳劳斯斯表表中中第第一一列列元元素素符符号号改改变变一一次次，表表示示系系统统有有一一个个根根在在s s1 1右右半半平平面面，也也就就是是有有一一个个根根在在s s=-1=-1垂垂线线的的右右边边(虚虚轴轴的的左左边边)，系系统统的的稳稳定定裕量不到裕量不到1 1。返回第32页/共68页36误差分析与计算误差分析与计算1、误差的概念：在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的、误差的概念：在外作用下，系统的实际输出与期望输出之间的偏差。偏差。有两种描述方式，即误差有两种描述方式，即误差E（S）与稳态误差与稳态误差ess（1）误差误差E（S）G（S）H（S）R(S)E(S)C(S)B(S)系统的误差又有两种定义方法，分述如下：系统的误差又有两种定义方法，分述如下：一种是，从输出端定义：一种是，从输出端定义：E（S）=希望值希望值-实际值实际值特点：不容易测量。故不便于理论分析。特点：不容易测量。故不便于理论分析。前页后页第33页/共68页另一种，是从输入端定义：另一种，是从输入端定义：E（S）=R（S）B（S）这种的特点是：容易测量，但便于理论分析。（教材以第二种为主）这种的特点是：容易测量，但便于理论分析。（教材以第二种为主）（2）稳态误差）稳态误差ess只有稳定系统才讨论稳态误差只有稳定系统才讨论稳态误差ess，并可应用极限或终值定理求得。并可应用极限或终值定理求得。R(S)ess=lim SE(S)=lim S 或ess=lim e(t)s0 s0 1+G(S)H(S)t2系统的类型及稳态误差的计算系统的类型及稳态误差的计算（1）系统的类型）系统的类型设某高阶系统具有开环传递函数设某高阶系统具有开环传递函数前页后页第34页/共68页nK（is+1）i=1G（S）H（S）=n-SV（Tis+1）j=1其中：其中：K K开环增益开环增益 i i，TjTj时间常数时间常数 开环系统开环系统S S平面坐标原平面坐标原 点上的极点的重数。点上的极点的重数。并定义系统：并定义系统：当当=0时时-为为0型系统；型系统；当当=时时-为为型系统；型系统；当当=时时-为为型系统；型系统；当当=n时时-为为n型系统型系统.前页后页第35页/共68页（2）给定输入下稳态误差的计算）给定输入下稳态误差的计算阶跃信号输入下稳态误差阶跃信号输入下稳态误差essr与静态位置误差系数与静态位置误差系数KP的计算的计算设设r（t）=A1（t）即即R（S）=A/S则有则有:R(S)A A essr=lim SE(S)=lim S =s0 s0 1+G(S)H(S)1+lim G(S)H(S)1+KP s0其中其中KP=limG(S)H(S)-静态位置误差系数静态位置误差系数s0KP=K=0相应地，相应地，essr=A/（1+K）=0101前页后页第36页/共68页R(S)BBessr=limSE(S)=limS=s0s01+G(S)H(S)limSG(S)H(S)KVs0其中其中KV=limSG(S)H(S)-静态速度误差系数静态速度误差系数s0KV=0=0相应地，相应地，essr=0K=1B/K=1202斜坡信号输入下稳态误差斜坡信号输入下稳态误差essr与静态速度误差系数与静态速度误差系数Kv的计算的计算设设r（t）=Bt即即R（S）=B/S2则有则有:前页后页第37页/共68页加速度信号输入下稳态误差加速度信号输入下稳态误差essr与静态加速度误差系数与静态加速度误差系数Ka 的计算的计算设设r（t）=Ct2/2即即R（S）=C/S3则有则有:R(S)C C essr=lim SE(S)=lim S =s0 s0 1+G(S)H(S)lim S2G(S)H(S)Ka s0 其中其中Ka=limS2G(S)H(S)-静态加速度误差系数静态加速度误差系数s0Ka=0=0，1相应地，相应地，essr=0，1K=2C/K=2303前页后页第38页/共68页小结小结：见：见P124附表附表3-5输入信号作用下的稳态误差输入信号作用下的稳态误差第39页/共68页（3）多个给定输入下稳态误差的计算）多个给定输入下稳态误差的计算方方法法：利利用用线线性性系系统统的的可可叠叠加加性性，进进行行误误差差叠叠加加，即即各各个个给给定定信信号号单独作用时所产生的稳态误差之代数和。单独作用时所产生的稳态误差之代数和。(参见参见P129例题例题3-7)（4）扰动作用下稳态误差的计算扰动作用下稳态误差的计算 G1 HG2R（S）E（S）B（S）N（S）C（S）前页后页第40页/共68页G2（S）H（S）由于由于En（S）=N（S）1+G1（S）G2（S）H（S）G2（S）H（S）essr=limSEn(S)=limSN（S）s0s01+G1(S)G2(S)H(S)例题例题：教材教材P120，例题例题3-133系统精度的提高问题系统精度的提高问题减小或消除系统稳态误差的一些措施：减小或消除系统稳态误差的一些措施：（1）增大系统的开环增益增大系统的开环增益K或增大扰动作用点以前系统前向通道的增益；或增大扰动作用点以前系统前向通道的增益；（2）在系统前向通道或反向通道中引入积分环节；在系统前向通道或反向通道中引入积分环节；（3）采用复合控制进行校正。（如教材采用复合控制进行校正。（如教材P258265内容及例题内容及例题6-11、12等）等）前页ENDEND第41页/共68页例3-6 原控制系统如图3-23(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如图3-23(b)所示，已知在图3-23(b)中，系统单位阶跃响应的超调量Mp%=16.4%，峰值时间tp=1.14s，试确定参数K和Kt，并计算系统在(a)和(b)的单位阶跃响应h(t)。图3-23 例3-15图第42页/共68页解解 对于系统对于系统(b)(b)，其闭环传递函数为，其闭环传递函数为与典型二阶系统相比较，有与典型二阶系统相比较，有 （3-553-55）而已知而已知MMp p=16.4%=16.4%t tp p=1.14=1.14s s根据根据 求得求得 第43页/共68页求得 将 代入(3-55)得 其单位阶跃响应为 第44页/共68页对于系统(a)，其闭环传递函数为与典型二阶系统比较有 系统的最大超调量 峰值时间其单位阶跃响应为 返回第45页/共68页3.8 3.8 用用MATLABMATLAB和和SIMULINKSIMULINK进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析 3.8.1 3.8.1 单位脉冲响应单位脉冲响应 当当输输入入信信号号为为单单位位脉脉冲冲函函数数(t t)时时，系系统统输输出出为为单单位位脉脉冲冲响响应应，MATLABMATLAB中中求求取取脉脉冲冲响响应的函数为应的函数为impulse()impulse()，其调用格式为，其调用格式为 y y，x x，t t=impulse(num=impulse(num，denden，t)t)或或 impulse(numimpulse(num，den)den)式式中中G(s)=num/denG(s)=num/den；t t为为仿仿真真时时间间；y y为为时时间间t t的的输出响应；输出响应；x x为时间为时间t t的状态响应。的状态响应。第46页/共68页例3-7 试求下列系统的单位脉冲响应MATLAB命令为：t=0：0.1：40；num=1；den=1，0.3，1；impulse(num，den，t)；grid；title(Unit-impulse Response of G(s)=1/(s2+0.3s+1)其响应结果如图所示。第47页/共68页例3-8 系统传递函数为求取其单位脉冲响应的MATLAB命令为t=0：0.1：10；num=1；den=1，1，1；y，x，t=impulse(num，den，t)plot(t，y)；grid xlabel(t)；ylable(y)；其响应结果如图所示。第48页/共68页3.8.2 3.8.2 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应 当输入为单位阶跃信号时，系统的输出为单位阶跃响应，在MATLAB中可用step()函数实现，其调用格式为y，x，t=step(num，den，t)或step(num，den)第49页/共68页例3-9 求系统传递函数为num=1；den=1，0.5，1；t=0：0.1：10；y，x，t=step(num，den，t)；plot(t，y)；grid；xlabel(Time sec t)；ylabel(y)响应曲线如图3-26所示 图3-26 单位阶跃响应第50页/共68页3.8.3 3.8.3 3.8.3 3.8.3 斜坡响应斜坡响应斜坡响应斜坡响应 在MATLABA中没有斜坡响应命令，因此，需要利用阶跃响应命令来求斜坡响应。根据单位斜坡响应输入是单位阶跃输入的积分。当求传递函数为的斜坡响应时，可先用除得，再利用阶跃响应命令即可求得斜坡响应。第51页/共68页例3-10 已知闭环系统传递函数 对单位斜坡输入 则 第52页/共68页系统单位斜坡响应的MATLAB命令：num=1；den=1，0.3，1，0；t=0：0.1：10；c=step(num，den，t)；plot(t，c)；grid；xlabel(t sec)；ylabel(Input and Output)其响应结果如图所示。第53页/共68页3.8.4 3.8.4 3.8.4 3.8.4 任意函数作用下系统的响应任意函数作用下系统的响应任意函数作用下系统的响应任意函数作用下系统的响应 用线性仿真函数lsim来实现，其调用格式为 y，x=lsim(num，den，u，t)式中 ；y(t)为系统输出响应；x(t)为系统状态响应；u为系统输入信号；t为 仿真时间。第54页/共68页例3-11 反馈系统如图3-28(a)所示，系统输入信号为图3-28(b)所示的三角波，求取系统输出响应。图3-28反馈系统及输入信号（a）（b）第55页/共68页MATLAB实现指令numg=10，20；deng=1，10，0；num，den=cloop(numg，deng，-1)；v1=0：0.1：2；v2=1.9：-0.1：-2；v3=-1.9：0.1：0；t=0：0.1：8；u=v1，v2，v3；y，x=lsim(num，den，u，t)；plot(t，y，t，u)；xlabel(Time sec)；第56页/共68页ylabel(theta rad)；grid其响应曲线如图3-29所示。图3-29 系统响应曲线第57页/共68页3.8.5 Simulink3.8.5 Simulink3.8.5 Simulink3.8.5 Simulink中的时域响应举例中的时域响应举例中的时域响应举例中的时域响应举例 例3-12图3-30的Simulink的仿真框图可演示系统对典型信号的时间响应曲线，图中给出阶跃响应曲线。第58页/共68页返回第59页/共68页例例 3-12 3-12 系统特征方程为系统特征方程为各项系数均大于零。各项系数均大于零。列劳斯表：列劳斯表：劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统劳斯表中第一列各元素符号不完全一致，系统不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系不稳定。第一列元素符号改变两次，因此系统有两个右半平面的根。统有两个右半平面的根。第60页/共68页例例 3-233-23系统特征方程系统特征方程 列劳斯表列劳斯表 劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由半平面的根，但由P P(s s)=0=0求得求得 即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。第61页/共68页例 3-13 系统结构图如图3-3所示，试分析参数K1，K2，K3和T对系统稳定性的影响。解 系统的闭环传递函数特征方程为 第62页/共68页 由由于于特特征征方方程程缺缺项项，由由劳劳斯斯判判据据知知，不不论论K K1 1 ，K K2 2 ，K K3 3和和T T取取何何值值系系统统总总是是不不稳稳定定的的，称称为为结结构构不不稳稳定定系系统统。欲欲使使系系统统稳稳定定，必必须须改改变变系系统统的的结结构构。如如在在原原系系统统的的前前向向通通道道中中引引入入一一比比例例微微分分环环节节，如如图图3-43-4所所示示。变变结结构构后后系系统的闭环传递函数为统的闭环传递函数为特征方