清华大学微积分高等数学定积分一.pptx

会计学1清华大学微积分高等数学定积分一清华大学微积分高等数学定积分一2023/2/262第十六讲第十六讲 定积分定积分（一）（一）二、定积分的概念二、定积分的概念三、可积性条件与可积类三、可积性条件与可积类一、两个典型例子一、两个典型例子四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质第1页/共28页2023/2/263例例1 曲边形的面积问题曲边形的面积问题一、两个典型例子一、两个典型例子曲边梯形曲边梯形第2页/共28页2023/2/264(1)细分细分:(2)取近似：取近似：第3页/共28页2023/2/265(4)取极限取极限:(3)求和求和:第4页/共28页2023/2/266例例2 变速直线运动的路程问题变速直线运动的路程问题(1)细分：细分：(4)取极限取极限:以匀速近似变速以匀速近似变速(2)取取近似：近似：(3)求和求和：第5页/共28页2023/2/267二、定积分的概念二、定积分的概念（一）黎曼积分定义：（一）黎曼积分定义：第6页/共28页2023/2/268记作记作:积分上限积分上限积分下限积分下限称为称为积分区间积分区间定积分是定积分是:积分和式的极限积分和式的极限 例例11曲边梯形的面积曲边梯形的面积 例例22变速直线运动的路程变速直线运动的路程第7页/共28页2023/2/269（二）定积分的几何意义（二）定积分的几何意义第8页/共28页2023/2/2610证证第9页/共28页2023/2/2611证证第10页/共28页2023/2/2612定理定理1：三、可积性条件与可积函数类三、可积性条件与可积函数类证明思路证明思路：反证法。假设：反证法。假设 f(x)在在a,b上无界，上无界，则至少在一个子区间上无界，所以黎曼则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾和式无界，与和式极限存在相矛盾.定积分作为黎曼和式的极限，其构造十定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来分复杂，因此想通过计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的研究定积分，实际上是不可行的.另一途径另一途径是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。是先研究其存在性，得到有关可积性的理论。第11页/共28页2023/2/2613定理定理3：定理定理4：定理定理2：第12页/共28页2023/2/2614四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质 定积分是一种极限，因此其性质与极限定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关性质密切相关性质一：性质一：线性性质线性性质性质二：性质二：关于区间的可加性关于区间的可加性第13页/共28页2023/2/2615 注意注意1 1 定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、定积分的值只依赖于被积函数和积分的上、下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即下限，而与积分变量用什麽字母表示无关。即 注意注意2 2 定积分的定义中，下限定积分的定义中，下限a a小于上限小于上限b b，否则，否则，做如下规定做如下规定:关于区间可加性的推广关于区间可加性的推广第14页/共28页2023/2/2616性质三：性质三：积分的不等式性质积分的不等式性质（证明：利用极限的保序性质）（证明：利用极限的保序性质）性质四：性质四：积分的保号性积分的保号性第15页/共28页2023/2/2617性质五：性质五：积分的不等式性质积分的不等式性质注意注意性质六：性质六：积分的估值性质积分的估值性质第16页/共28页2023/2/2618性质七：性质七：积分中值定理积分中值定理性质八：性质八：广义积分中值定理广义积分中值定理第17页/共28页2023/2/2619平均高度平均高度函数平均值函数平均值第18页/共28页2023/2/2620证证由假设条件，可以证明由假设条件，可以证明第19页/共28页2023/2/2621第20页/共28页2023/2/2622例例1第21页/共28页2023/2/2623线线性性可可加加性性证证第22页/共28页2023/2/2624解解 第23页/共28页2023/2/2625第24页/共28页2023/2/2626证证 利用估值定理利用估值定理第25页/共28页2023/2/2627证证 第26页/共28页2023/2/2628第27页/共28页