线性代数相似矩阵.pptx

会计学1线性代数相似矩阵线性代数相似矩阵2的特征值，非零列向量 称为方阵5.1 5.1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 5.1.1 方阵的特征值与特征向量 定义1 设是一个 阶方阵,如果存在数 及 维非零列向量 使得,那么,这样的数 称为方阵的对应于(或属于)特征值的特征向量第1页/共40页3是方阵 的特征值,是对应的特征向量(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组)是方阵 的特征值是对应于 的特征向量是齐次线性方程组的非零解(右式称为 的特征多项式,记为 ,称为特征方程)第2页/共40页4(设 )求方阵的特征值与特征向量的步骤求方阵的特征值与特征向量的步骤求方阵的特征值与特征向量的步骤求方阵的特征值与特征向量的步骤 n n计算 的特征多项式n n求出特征方程的所有根（重根按重数计算）：n n对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组 的一个基础解系为对应于 的全部特征向量.不全为零)则第3页/共40页5例例1 求矩阵的特征值与特征向量 解解 所以的特征值为 对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为 所以对应于的全部特征向量为第4页/共40页6 对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为所以对应于的全部特征向量为第5页/共40页7例例3 求矩阵的特征值与特征向量解解 所以有2重特征值，有单特征值 对于特征值，解方程，得同解方程组故得通解所以对应于特征值的全部特征向量为由第6页/共40页8对于特征值，解方程.由得同解方程组故得通解对应于特征值的全部特征向量为第7页/共40页9重特征值算作阶方阵是可逆方阵5.1.2 5.1.2 特征值的性质特征值的性质特征值的性质特征值的性质性质性质1 若的全部特征值为（个特征值）则：性质性质2 设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应向量,且则特征向量;第8页/共40页10是方阵性质性质3 设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应特征向量;向量,则是一个正整数,是方阵性质性质4 设的一个特征值，为对应的特征是的一个特征值，为对应特征向量;向量,若则第9页/共40页11的特征值都不为零，知可逆，故例例5 设3阶矩阵 的特征值为 ,求 解解 因为.而所以把上式记作，则 故的特征值为：于是第10页/共40页12的互不相同的特征值，5.1.35.1.3特征向量的性质特征向量的性质特征向量的性质特征向量的性质 是方阵性质性质1 设的一个特征值，为对应的特征向量,若又有数，则性质性质2 设是方阵是对应于的特征向量,则向量组即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关线性无关第11页/共40页13的相似矩阵，或称方阵5.2 5.2 相似矩阵相似矩阵相似矩阵相似矩阵定义定义2 设都是阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称 是与相似，记作，有，从而即 如5.2.1 相似矩阵的概念第12页/共40页14的对应于与的某个特征值，若是5.2.2相似矩阵的性质性质性质1（因为性质性质2 若则性质性质3 若则性质性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；性质性质5 设是是的特征向量，则的对应于的特征向量第13页/共40页15 （3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以对角化 定理定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量推论推论（能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似注意（1）推论的逆命题未必成立（2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而 不一定能对角化第14页/共40页16的特征多项式为例例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化解解（1）的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以可以对角化第15页/共40页17对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 令 则第16页/共40页18的特征多项式为（2）因此,的特征值为1，1，3对，解方程,由于同解方程组为 通解为,一基础解系为第17页/共40页19对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化令 则第18页/共40页205.3 5.3 向量的内积、正交化方法向量的内积、正交化方法向量的内积、正交化方法向量的内积、正交化方法5.3.1向量的内积 定义定义3 设有 维向量,令,称其为与 的内积 向量的内积具有下列性质（其中 都是列向量，为实数）：性质性质1 性质性质2 性质性质3 性质性质4,当第19页/共40页215.3.2向量的长度 定义定义4 设有 维向量 令称为维向量的长度（或范数）当=1时，称为单位向量向量的长度具有下列性质：性质性质1 非负性：当 时,性质性质2 齐次性：为实数)性质性质3 三角不等式：第20页/共40页22的夹角当时，称为维向量与当,记,称非零向量单位化.当 时，称向量 与显然，零向量与任何向量都正交 正交第21页/共40页235.3.3正交向量组定义定义5 一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组设 是正交向量组，则若两两正交且都为单位向量，则称 为单位正交向量组记作 第22页/共40页24正交向量组有下列性质：性质性质1 若 是正交向量组,则线性无关.性质性质2 设 为标准正交向量组，的任一向量，若存在数 为同维数,使则第23页/共40页255.3.4正交化方法 找到与线性无关向量组等价的单位正交向量组的方法如下：设 为一线性无关向量组（1）正交化：取 依次类推，一般的，有 可以证明,两两正交,且 与 等价第24页/共40页26（2）规范化：令 则 为单位正交向量组，且与 等价 上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方法称为施密特（Schimidt）正交化过程它不仅满足 与 等价，还满足对任何实数 与 等价第25页/共40页27例例13 已知,求一组非零向量,使两两正交 解解 应该满足 即 其同解方程组为它的通解为 一基础解系为 第26页/共40页28把基础解系正交化，即为所求取于是得 即为所求.第27页/共40页295.3.5正交矩阵定义定义6 如果阶矩阵满足,那么称为正交矩阵，简称正交阵 例如 都是正交矩阵第28页/共40页30为正交阵，那么 正交矩阵有下列性质：性质性质1 若 是可逆阵,且 或;为正交阵，那么 性质性质2 若 是正交阵;为正交阵性质性质3 性质性质4 若 为同阶正交矩阵,则 也是正交矩阵 第29页/共40页31是5.4 5.4 实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵5.4.1实对称矩阵的性质性质性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为 实向量；性质性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 相互正交；性质性质3 设 阶实对称矩阵,是的则齐次线性方程组 重特征根,的系数矩阵的秩,从而 的对应于特征值 性无关的特征向量恰有 的线个.第30页/共40页32是定理定理2 设 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵 使,其中 为对角矩阵,且 元素是矩阵 对角线上的的个特征值.5.4.2实对称矩阵的相似对角形 根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似 第31页/共40页33寻找正交矩阵,使 成为对角阵的步骤如下：1根据特征方程,求出矩阵 的特征值 的所有不同及它们的重数 2对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系 3利用施密特正交化方法，把向量组 正交单位化得单位正交向量组 从而得到 个两两正交的单位特征向量组:第32页/共40页34的个4令 则 为正交矩阵,且为对角矩阵，且 对角线上的元素含 恰好是矩阵 个特征值.其中 的主对角元素 的重数为 顺序与,并且排列排列顺序相对应 中正交向量组的第33页/共40页35例例14 设,求一个正交矩阵,使 为对角矩阵 解解 由 得的特征值为 对应于,解方程,由 第34页/共40页36得同解方程组 通解为 一基础解系为,单位化得 对应于,解方程 由 得同解方程组 通解为 第35页/共40页37一基础解系为 取单位化,得,令则有 第36页/共40页38注意 上例中若令 可逆,则 第37页/共40页39例例15 设,求 解解 为实对称矩阵所以 可以对角化,即存在可逆矩阵,使 为对角矩阵.于是 从而 由 得 的特征值为 于是 对于,由 得 对于,由 得 第38页/共40页40令,再求出,于是 一般地，为正整数).第39页/共40页