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不定积分典型例题不定积分典型例题一、直接积分法一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式.例 1、求(11)x xdxx23454714解原式(x x)dx=x4+4x4+C7e3x+1例 2、求xdxe+1解原式(e2xex+1)dx=例 3、求12xeex+x+C21dx22sin xcos xsin2x+cos2x11解原式=dx=dx+dx=tan xcot x+C2222sin xcos xcos xsin x例 4、cos2解原式xdx2x+sin x1+cosxdx=+C22x2例 5、dx21+xx2+111dx=(1解原式=1+x2)dx=xarctan x+C1+x2注：本题所用“加 1 减 1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)二、第一类换元积分法(凑微分法)1f(x)dx=g(x)(x)dx凑成令(x)=u=g(u)du求出=G(u)+C还原=G(x)+C在上述过程中，关键的一步是从被积函数f(x)中选取适当的部分作为(x)，与dx一起凑成(x)的微分d(x)=du且g(u)du易求.tan xdxcosx 例 1、求32sin xd cosx=(cosx)2d cosx=+Cdx=解 原式cosx cosxcosx cosxcosx 例 2、求arcsinxx x2dx 解原式=arcsinx1 x1xdx=2arcsinx1(x)2d(x)=2arcsinxd(arcsinx)=(arcsinx)2+C 注1dx=2d(x)x1 x94x2 例 3、求dx11d(2x)12 解原式=+(94x)2d(94x2)232(2x)28=122d(x)11213+94x2=arcsinx+94x2+C423421(x)232 例 4、求tan 1+x2x1+x2dx 解原式tan 1+x2d 1+x2=ln|cos 1+x2|+C 例 5、求xxx 12dxx(x+x21)22dx=x dx+x x 1dx 解原式2x(x21)3x31x31222=+x 1d(x 1)=+(x 1)2+C3233 例 6、求1dx1+tan xcosx1cosxsin x)dxdx=(1+sin x+cosx2cosx+sin x 解原式=1 11+(cossin)xdxx=(x+ln|cosx+sin x|)+C2cosx+sin x211+xlndx1 x21 x11+x1+x121+xln(ln+C)dln=21 x1 x41 x 例 7、求 解原式 例 8、求1dxxe+1ex1+exexdx=dxdx解原式ex+11+ex=dx1xxd(1+e)=xln(1+e)+Cx1+e3 例 9、求1dxex+exex1 解原式2xdx=d(ex)=arctanex+Cx2e+11+(e)例 10、求sin xdx1+sin x11sin x)dx=dxdx21+sin xcos x 解原式(1=x1sin xdx+dx=xtan x+secx+C22cos xcos x例 11、求dxx 23ln x12 解原式=(23ln x)d(ln x)1111(23ln x)2+C=(23ln x)()d(23ln x)=331+1212=223ln x+C31dxa2sin2x+b2cos2x1b2+a2tan2xd(tan x)=11a(tan x)dab1+(atan x)2bb 例 12、求 解原式=1aarctan(tan x)+Cabbx4+1dx 例 13、求6x+14(x2)2 x2+1x2x4 x2+1+x2dx+32dxdx=解原式(x2)3+1(x)x6+1=111133dx+dx=arctan x+arctanx+C2321+x3 1+(x)3 例 14、求1dxx(1+x8)1+x8 x811x78=dxdxdx 解原式=ln|x|ln(1+x)+C88x1+xx(1+x)8 例 15、求3x2dxx24x+53d(x24x+5)1+42 解原式2dx2x 4x+5x 4x+5d(x2)3ln|x24x+5|+422(x2)+13ln|x24x+5|+4arctan(x2)+C2=注由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形1dx的积分(将分母配方，再凑微分).如2ax+bx+cx2 例 16、已知f(x 1)=ln2，且f(x)=ln x，求(x)dx.x 22x21+1x+1 解 因为f(x 1)=ln2，故f(x)=ln，又因为x 11x12f(x)=ln(x)+1(x)+1x+1=ln x，得=x，解出(x)=，从而(x)1(x)1x15(x)dx=例 17、求x+12dx=(1+)dx=x+2ln|x1|+Cx1x11dxcos4x1 解原式=sec2xd tan x=(1+tan2x)d tan x=tan x+tan3x+C3 例 18、求1+ln xdx22+(xln x)解原式1d(xln x)xln xarctan(=)+C2+(xln x)222三、第二类换元法 设x=(t)单调可导，且(t)0，已知f(t)(t)dt=F(t)+C，则f(x)dx令x=(t)=f(t)(t)dt=F(t)+Ct=1(x)还原=F1(x)+C 选取代换x=(t)的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使f(t)(t)dt易于计算.例 1、求xdx(x+1)1 x22 解令x=sint,dx=costdt原式111sintcostdtd cost(=)d cost=+22(sin t+1)cost2cos t2 22 cost2+cost2+cost12+1 x2ln+C=+Cln=22 22 cost2 22 1 x16 例 2、求dxx41+x2 解令x=tant,dx=sec2tdtsec2tdtcos3tdt1sin2t 原式=d sint=(sin4t sin2t)d sint444tan tsectsin tsin t(1+x2)3(1+x2)111+C=+C=333 sin tsint3xxx29dxx2 例 3、求 解令x=3sect，则dx=3secttantdt3tanttan2t原式3secttantdt=dt=(sect cost)dt29sec tsect=ln|sect+tant|sint+C1xx2a2x2a2=ln+C1aaxx2a2+C=ln x+x ax22 例 4、求1dxx(x7+2)11 解令x=，则dx=2dt，tt71t6117 原式=(2)dt=dt=d(1+2t)7711+2t14 1+2t+2t7tt111ln|1+2t7|+C=ln|2+x7|+ln|x|+C14142=注设m,n分别为被积函数的分子，分母关于x的最高次数，当nm1时，可用倒代换求积分.例 5、求x+1x2x 12dx11 解令x=，dx=2dttt1+111+t1d(1t2)t(2)dt=dt=dt+原式=222t111t1t2 1t1t2t2=arcsint+1t+C=2x211arcsin+Cxx 例 6、求x3x x24dxt10t4t6t1411解原式=118312t dt=125dt=125dtdx=12t dtt tt 1t 1令12x=tt101+14121121212t dt=(t5+1+5)dt5=t10+t5+ln|t51|+C=125t 15t 1105561212=x6+x12+ln x121+C5555558例 7、求dx1+ex解令1+ex=t，ex=t21，dx=2tdt2t 112t1t 11+ex1原式2dt=22dt=ln+C=ln+Cxt t 1t 1t+11+e+1ln xdxx 1+ln x例 8、求解令t=1+ln x 原式=ln xt 1d ln x=dt1+ln xt112322=(t)dt=t 2t2+C=(ln x2)1+ln x+C33t例 9、求x+11dxx+1+1解令x+1=t,x=t21,dx=2tdt因为原式=x+22 x+1x+1dx=x+2ln|x|2dxxx而x+12t2dt1dx=2=2(1+2)dtxt 1t 1t 1x+11+C=2 x+1+ln+Ct+1x+1+1=2t+ln9原式x+2ln|x|4 x+12lnx+11+Cx4 x+1+4lnx+1+1+Cx+1+1四、分部积分法分部积分公式为uvdx=uvuvdx使用该公式的关键在于u,v的选取，可参见本节答疑解惑 4.例 1、求x3exdx解原式x3dex=x3ex3x2dex=x3ex3x2ex+6xdex=x3ex3x2ex+6xex6ex+C例 2、求x2cos2解原式=xdx2121312x(1+cosx)dx=x+x cosxdx262=131211x+x dsin x=x3+x2sin xxsin xdx6262131211x+x sin x+xd cosx=x3+x2sin x+xcosxcosxdx62621312x+x sin x+xcosxsin x+C623=例 3、求exdx令3x=t解原式dx=3t2dt=3t e dt=3t de2t2t=3t2et6tet+6et+C=33x2e3x63xe3x+6e3x+C例 4、求cos(lnx)dx 10解原式=xcos(lnx)+sin(ln x)dx=xcos(lnx)+xsin(ln x)cos(lnx)dxx移项，整理得原式=cos(lnx)+sin(ln x)+C2注应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：xecosxdx或xesinxdx例 5、求ln(x+1+x2)dx解原式=xln(x+1+x2)x1+x2dx=xln(x+1+x2)1+x2+Cln3x 例 6、求2dxx1ln3x1 解原式=ln xd()=3ln2xd()xxx3ln3xln2x1 ln3x3ln2x6ln x63+2ln xd()=+C=xxxxxxx 例 7、推导1dx的递推公式22n(x+a)解令In=1dx(x2+a2)nxx2+a2a21x2In=2n+dx222=+nInadxn2n22n+122n22n+1(x+a)(x+a)(x+a)(x+a)11=x2+2nI2na In+1n22n(x+a)In+1=12na2x(2n 1)I+n(x2+a2)nx(2n3)I+n1(x2+a2)n1In=12(n1)a2例 8、推导In=tannxdx的递推公式.解In=tann2xtan2xdx=tann2x(sec2x1)dx=tann2xsec2xdxtann2xdx=tann2xd(tan x)In2=1tann1xIn2n1注应用分部积分法可以建立与正整数n有关的一些不定积分的递推公式.例 9、已知f(x)的一个原函数是ex，求xf(x)dx解原式=xdf(x)=xf(x)f(x)dx=xf(x)ex+C例 10、求xarctanxln(1+x2)dx解因为xln(1+x2)dx=221ln(1+x2)d(1+x2)211(1+x2)ln(1+x2)x2+C2211所以 原式arctanxd(1+x2)ln(1+x2)x222 1211x22222=(1+x)ln(1+x)x arctan xln(1+x)2221+x=13xarctanx(1+x2)ln(1+x2)x23ln(1+x2)+x+C222注本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.xearctanxdx例 11、求2(1+x)解令x=tant,dx=sec2tdttantetsec2tdt=sintcostetdt原式=4sec tearctanx(x2+x1)11tt+C=sin2te dt=e(sin2tcos2t)+C=25(1+x)210 x2arctanxdx例 12、求21+x解原式(111=)arctanxdxarctanxdx1+x2arctanxdx1+x211=xarctanxln(1+x2)(arctanx)2+C22arcsin x1+x2dx例 13、求22x1x解令x=sint,arcsin x=t,dx=costdt，t(1+sin2t)tcostdt=原式=sin2tdt+tdtsin2tcost 13=td(cott)+121t=tcott+cottdt+t2221=tcost+ln|sint|+t2+C21 x21=arcsin x+ln|x|+(arcsin x)2+Cx2注直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用.五、有理函数的积分五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分：(1)Adx=Aln|xa|+CxaAA1dx=+C(n1)nn1(xa)n1(xa)(2)(3)dxdxdx=p4q p2n(x2+px+q)n2(x+)+24p令x+u24qp2令a4=du22n(u+a)2(4)(x+a)dx11pdx()dxa=+,其2n2n12n(x+px+q)2(n1)(x+px+q)2(x+px+q)中p24q0.这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的.例 1、求dx2x2x+31dxd(x1)x1arctan=+C(x1)2+22+(x1)222解原式 14x2+5x+4例 2、求4dx2x+5x+4x2+4x解原式2dx+5dx222(x+1)(x+4)(x+1)(x+4)dx5dx25112=2arctan x()dx+2=+222x+12(x+1)(x+4)6x+1x+45x2+1+C=arctanx+ln26x+4本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，x2+5x+4Ax+BCx+D设4=2+2，通分后应有2x+5x+4x+1x+4x2+5x+4=(Ax+B)(x2+4)+(Cx+D)(x2+1)得A+C=0，B+D=0，4A+C=5，4B+D=4比较等式两端x的同次幂的系数，55 由此，A=,B=1,C=,D=13355+11xx35x2+13+2+arctanx+C故原式2dx=ln2x+46x+4x+1例 3、求解设xdx3x1xABx+C2=+，通分后应有x=A(x+x+1)+(Bx+C)(x1)32x1x1x+x+1比较等式两端x的同次幂的系数，得A+B=0,AB+C=1,AC=0，由此，111A=,B=,C=333 151x1故原式dx23(x1)3(x+x+1)1d(x+)1dx12x+112dx+=23x16x+x+12(x+1)2+324(x1)212x+11=ln2+arctan+C6x+x+133例 4、求dx24x(1x)(x2+1)x211解原式2dxdx=x2(1 x2)(1 x2)(1+x2)dxx(1 x4)=(11111+)dx()dxx21x221x21+x211111=+dxdx222 1+xx2 1x111+x1arctanx+C=+lnx41x2注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为ABCDEx+F11=+x2(1x4)x2(1x)(1+x)(1+x2)xx21x1+x1+x2然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.x11dxdx例 5、求8x+3x4+3解令x4=u，则du=4x3dx，于是，16u21411原式=2du=(1+)duu+1u+24u+3u+241x41=(u+ln|u+1|4ln|u+2|+C)=+ln(1+x4)ln(x4+2)+C444x5例 6、求dx23(2x+3)解令2x2+3=t,x2=t3,4xdx=dt，从而，2(t3)21169原式dt=(2+3)dt344t16ttt169169(ln|t|+2)+C=ln|2x2+3|+2+C221616t2t2x+32(2x+3)=x4dx例 7、求4x+5x2+4x4(5x2+4)解4=1+4x+5x2+4x+5x2+4(5x2+4)A1x+B1A2x+B2设4=2+2，通分后应有x+5x2+4x+1x+4(5x2+4)=(A1x+B1)(x2+4)+(A2x+B2)(x2+1)116由此，A1=0,B1=,A2=0,B2=，故3318116xdx原式1+arctanarctan=x+x+C223(1)3(4)+xx332 17例 8、求dx102x(x+1)x10+1 x10 x911=10解由于102102102x(x+1)x(x+1)x(x+1)(x+1)1x9x9=10102x(x+1)(x+1)1x9x91d(x10+1)1d(x10+1)dx=ln|x|10原式10101022xxx(1)(1)10 x+110(x+1)+111x10110=ln|x|ln(x+1)+C=ln+C10 x10+110(x10+1)1010(x10+1)注对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分R(sin x,cosx)dx可通过万能代换x化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，2然后再求解.t=tan例 1、求dx4sin xcos xsin2x+cos2xsin xdxdxdx=+解原式442sin xcos xcos xsin xcos x=sin xdx1d(cosx)dx+cos2xsin xcos4xx111d(cosx)x+ln|tan|=+ln|tan|+C3cos3xcos2x23cos3xcosx2 18例 2、求1+sin xdxxxxx+cos2+2sincosdx2222解原式sin2=(sinxxxxxx+cos)2dx=(sin+cos)dx=2cos+2sin+C222222例 3、求dx2sin xcosx+5x2t1t22dt,cosx,dx=，于是解令t=tan，则sin x=22221+t1+t1+tx3tan+111dt3t+12+C原式2arctanarctan=+C=3t+2t+25555例 4、求sin xdx1+sin xsin x(1sin x)sin x1cos2xdx=dxdx解原式cos2xcos2xcos2x=1tan x+x+Ccosxsin xdxsin x+cosx1sin x+cosx+sin xcosx1sin xcosxdx=1+dx2sin x+cosx2sin x+cosx例 5、求解原式=11d(sin x+cosx)1x+=(xln|sin x+cosx|)+C22sin x+cosx2例 6、求sin5xcosxdx 19解原式111sin4x+sin6xdx=cos4xcos6x+C2812注积化和差公式1sinxcosx=sin(+)x+sin()x21sinxsinx=cos()xcos(+)x21cosxcosx=cos(+)x+cos()x2例 7、求dx2(2+sin x)cosx解令sin x=t,cosxdx=dt1(2+t2)+(1t2)dt=于是原式dt(2+t2)(1t2)3(2+t2)(1t2)=1dt111+t1dttln+=+arctan()+C223 1t32+t61t3 2211+sin x1sin xarctan(=ln+)+C61sin x3 22注形如R(sin x,cosx)dx的有理函数的积分，一般可利用代换tan为有理函数的积分.(i)若R(sin x,cosx)=R(sin x,cosx)或R(sin x,cosx)=R(sin x,cosx)成立，最好利用代换cosx=t或对应的sinx=t.(ii)若等式R(sin x,cosx)=R(sin x,cosx)成立，最好利用代换tan x=t.x=t化2例 8、求sin xdxsin3x+cos3x 20解令tan x=t，则sec2xdx=dt，于是t1(1+t)2(1t+t2)1t+11dtdt=dt=dt 原式1+t33(1+t)(1t+t2)31t+t231+t112t 11arctan()ln|1+t|+Cln(t2t+1)+63332tan x11tan2xtan x+11+arctan()+Cln26(1+tan x)33 21