第三章立体几何初步教案.doc

1第三章第三章立体几何初步立体几何初步立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。所以，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。直观感知，操作确认，思辩论证，度量计算，是探索和认识空间图形及性质的主要方法。一、本章教育目标一、本章教育目标通过本章学习，学生从对空间几何体的整体观察入手，直观认识空间几何体的结构特征，理解空间点、线、面的位置关系，并会用数学语言表述空间有关平行、垂直的性质与判定，能运用这些结论对有关空间位置关系的简单命题进行论证。了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。进而培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力。1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2.能画出简单几何体的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。3.通过观察用两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4.完成实习作业，能画出一些简单实物的视图与直观图。5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式（不要求记忆公式）。6.了解公理 1、公理 2、公理 3、公理 4 及其推论 1、推论 2、推论 3。了解定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。7.通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：(1)平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。(2)一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。(3)一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。(4)一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。8.通过直观感知、操作确认、思辩论证，归纳并证明出以下性质定理：(1)一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线和2该直线平行。(2)两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。(3)垂直于同一个平面的两条直线平行。(4)两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直。9.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。10.在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间点、线、面位置关系的过程中，努力渗透数学思想方法及辩证唯物主义观念。二、本章设计意图二、本章设计意图本章内容是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。为了符合学生的认知发展规律，培养学生对几何学习的兴趣，增进学生对几何本质的理解，在内容的编选及内容的呈现方式上，与以往的处理有较大的变化。本章内容的设计遵循从整体到局部，从具体到抽象的原则，强调借助实物模型，通过整体观察，直观感知，操作确认，思辩论证，度量计算，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质。重视合情推理与逻辑推理的结合，注意适度形式化。倡导学生积极主动，勇于探索的学习方式。帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力。本章分为“空间几何体空间几何体”、“点点、线线、面之间的位置关系面之间的位置关系”、“柱柱、锥锥、台台、球球的表面积和体积的表面积和体积”三大节。第一节“空间几何体”。教材借助模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，引导学生认识柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征。如将棱柱看成是由平面多边形通过平移生成的几何体，棱锥看成棱柱的一个底面缩为一个点时得到的几何体等等。这种与以往不同的设计，突出空间几何体的本质特征，注意适度的形式化，有利于学生主动探索的学习方式的形成，有利于学生空间想象能力的提高。教材通过投影的概念给出物体三视图的定义，巩固和提高了学生对义务教育阶段有关三视图的学习和理解。同时也培养学生作图、识图、运用图形语言进行交流的能力。第二节“点、线、面之间的位置关系”。教材借助于长方体模型，并以长方体为主线，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面之间的位置关系。与以往不同的是，教材通过大量的观察、实验和思辩论证，使学生逐步理解直线3与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直关系的性质和判定方法（其判定定理的证明将在选修系列 2 中用向量方法加以论证）。重视展现知识发生和发展的过程。如从观察长方体的棱、对角线与面的各种位置关系中，抽象出直线与平面的三种位置关系。接着，教材又从两条平行的棱中选取一条，观察它通过平移形成平面的过程，直观感受直线与平面平行的判定方法。通过对直线与平面平行定义的深入分析和探索，发现并论证了直线与平面平行的性质定理。这样既达到了学习目的要求，又降低了学生学习立体几何的难度。教材中给出了有关“角”与“距离”的概念，目的是增强学生对空间点、线、面关系的理解，而关于它的度量问题，本章要求不高，在选修系列 2 中还将作深入的研究。第三节“柱、锥、台、球的表面积和体积”。教材中的大多数公式，学生是不陌生的，教材没有象以往那样重在介绍公式的推导过程，而是侧重介绍了公式推导的思想方法，让学生体会祖目恒原理和积分思想。教材还通过“问题与建模”栏目介绍了两种体积计算的近似方法，增强学生应用数学的意识，既有利于提高学生的建模能力，又为学生解决生产、生活中的实际问题提供知识基础和基本方法。为了适应不同层次学生的需要，本章在习题和复习参考题中，增加了一些“探究与拓展”的问题，包括阅读题、操作题及思维易于拓展的问题，供同学们开展课外学习与研究。本章突出直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等探索研究几何的过程。涉及的数学思想主要有：（1）数形结合思想；（2）符号化与形式化的思想；（3）化归思想等。涉及的一般科学方法主要有：观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等。三、本章教学建议三、本章教学建议1、由于是从运动变化的观点来认识柱、锥、台、球的几何特点，因此教学时要通过大量的柱、锥、台、球实物模型进行演示，有条件的可以使用计算机演示柱、锥、台、球的生成过程，以帮助学生空间观念的形成。2、由于本章内容遵循从整体到局部的原则设计的，因而有些概念在教学时只需通过大量实例让学生感受、认识即可，不必给出它们的严格定义。如关于棱4台中涉及的“两个平面平行”与正投影中涉及的“正对着（直线与平面垂直）”等。3、在研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系时，首先应强调的是位置关系的分类标准，然后引导学生给出正确分类。由于都是通过直观感知、操作确认，探索关于“垂直”、“平行”的判定定理，所以教学中要给出大量的空间图形，有条件的可用计算机演示，让学生通过观察、实验确认“垂直”、“平行”的判定方法。关于“垂直”、“平行”判定与性质定理的应用，教学时应先让学生理解定理的条件，分析时着重引导学生创设定理的条件。并逐渐让学生感悟到：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常相互转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想。对空间中“角”与“距离”的度量问题，教学中不必拓展延伸，随意地提高教学要求。4、关于“柱、锥、台、球的表面积和体积”的教学，对一些简单组合体的表面积与体积计算，重在通过分析，得出它是由哪些基本几何体组合而成。在介绍“柱、锥、台、球的表面积和体积”方法时，着重让学生体会祖目恒原理和积分思想在表面积与体积计算中的应用。5、本章教学中要注意联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生的空间想象能力。本章的教学安排大约 18 课时，具体如下：3.1 空间几何体3.1.1 棱柱、棱锥和棱台约 1 课时3.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球约 1 课时3.1.3 中心投影和平行投影约 1 课时3.1.4 直观图画法约 1 课时3.2 点、线、面之间的位置关系3.2.1 平面的基本性质约 2 课时3.2.2 空间两直线的位置关系约 2 课时3.2.3 直线与平面的位置关系约 3 课时3.2.4 平面与平面的位置关系约 3 课时53.3 简单几何体的表面积与体积3.3.1 空间图形的展开图约 1 课时3.3.2 柱、锥、台、球的体积约 2 课时本章回顾约 1 课时四、各节教材分析四、各节教材分析章头图、引言章头图、引言章头图中天坛始建于 1426 年，是我国现存的精美的古建筑群之一。通过观察可以发现，如此雄伟的建筑是由一些基本的空间图形组合而成。它和引言提供了本章的主背景，唤起了学生生活中的经验，让他们注意到现实世界中空间图形与我们的生活息息相关的联系，是本章的知识与方法的生长点。立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，学习立体几何对我们更好地认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。引言又进一步从整体到局部提出统领本章的中心问题：（1）空间几何体是由哪些基本几何体组成的？（2）如何描述和刻画这些基本几何体的形状和大小？（3）构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？揭示了本章研究问题的基本思路，为学生的学习活动提供了研究的课题，指明了方向。3.1 空间几何体空间几何体1教学目标（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的几何特征，了解柱、锥、台、球的概念。（2）了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单几何图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图。能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出立体图形的直观图。（3）通过本节的学习，进一步体会观察、比较、归纳、分析等科学方法的运用。2编写意图与教学建议（1）棱柱、棱锥和棱台教材给出一组几何体，让学生观察棱柱的生成特点（核心是平移），然后用图形平移的方法引出棱柱的概念，这样有利于学生的空间观念的形成。教学时应给出多种棱柱的实物模型（有条件的可以用计算机演示平移多边形生成棱柱的过程），让学生感知棱柱的结构特征。在“平移”的过程中，学生初步感受了空6间两个平面互相平行，但教学中不必给出“两个平面互相平行”的严格定义。归纳棱柱的特点时，教学中既要引导学生观察棱柱模型，又要根据棱柱的生成过程进行探索。棱锥的概念，是通过与棱柱比较，并用图形放缩的方法引出，即将棱锥看作是棱柱的一个底面收缩为一点时得到的图形。再用棱锥的概念去定义棱台，这样有利于学生用运动变化的观点认识棱柱、棱锥、棱台的辩证关系。教学时应给出多种棱锥、棱台的实物模型（有条件的可以使用计算机演示棱锥、棱台的生成过程），让学生感知棱锥与棱台的结构特征。对于棱台要注意引导学生认识棱台的重要特点侧棱延长后交于一点。通过对棱柱、棱锥、棱台的认识，教材又给出了多面体的概念。教学时可结合生活中的实物，让学生进一步了解、认识多面体。（2）圆柱、圆锥、圆台和球教材先让学生思考圆柱、圆锥、圆台、球的生成规律，然后给出它们的定义，意在让学生初步理解“旋转体”的概念。教学中结合实物模型（有条件的可用计算机演示圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程），引导学生思考圆柱、圆锥、圆台的结构特征。教学中也可以按照棱柱、棱锥、棱台的生成过程进一步认识圆柱、圆锥、圆台、球面的结构特征。例如，圆柱可以看作圆面沿着圆面的铅垂方向平移形成的空间几何体；圆锥可以看作圆柱的一个底面缩为它的圆心时形成的空间几何体；圆台可以看作圆锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的空间几何体。对于球面可以类比圆的定义（在一个平面内和一个定点距离为定长的点的集合是一个圆）给出，即在空间中和一个定点距离为定长的点的集合是一个球面。（3）中心投影和平行投影教材以生活中实例为背景，引出投影、中心投影和平行投影的概念。对于中心投影，教学时学生只需知道它的意义即可，不必讨论其画法。对于正投影，教学中也可引导学生通过思考“圆锥顶点在底面上的正投影是什么”与“圆台上底面的圆心在底面上的正投影是什么”，来理解它的意义。教材以平行投影为基础，介绍了三视图的画法。教学时要通过观察（有条件的要用计算机演示）立体图形的三视图，让学生理解三视图中图形之间“长对正，7高平齐，宽相等”之间的内在联系。这有利于学生空间想象能力的培养。画实物的三视图时，教学中应首先分析实物结构，观察它是由哪些简单几何体组成，从而准确地画出它的视图。（4）直观图画法教材简单介绍了中心投影的有关性质，教学时可结合实际生活经验进行解释，对中心投影的其它性质不必介绍，也不必讨论物体的中心投影直观图的画法。教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法，即斜二测画法。画直观图时，可以取x o y =45，也可以取x o y =135。教材给出了圆的直观图画法。教学时可以适当延伸，讨论圆柱、圆锥、圆台、球的直观图画法。3.2 点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系1教学目标（1）了解公理 1、公理 2、公理 3、公理 4 及其推论 1、推论 2、推论 3。了解定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（2）通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。（3）通过直观感知、操作确认，归纳并证明出以下性质定理。一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（4）能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。（5）会用符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系。能将自然语言转8化为图形语言和符号语言。（6）在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间点、线、面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辩证唯物主义观念。2编写意图与教学建议（1）平面的基本性质）平面的基本性质平面是一个原始的概念，教材只对它进行描述而不加定义，教学中可以借助上一节所研究的柱体表面、圆柱的底面来描述，如图。但这种直观教学容易使学生错误地认为平面是有边界的。为此，可以将平面和直线进行类比，用直线的无限延伸来帮助学生理解平面的无限延展性。用直线没有粗细来帮助学生理解平面没有厚薄。还可以引导学生讨论“一条直线将平面分成两个部分，那么一个平面可以将空间分成几个部分？”，来理解平面的无限延展这一本质属性。公理 1 实际上表明，平面是“平”的。对此也可进行如下解释：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上就不会存在如图所示跳出平面的点。公理 2 实际上表明，平面是“无限延展的”。它是研究两个平面位置关系的基础。教学时应强调对于两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，公共部分是一条直线，而不是一个点。公理 3 是确定平面的依据。“确定”通常是指“有且只有”，这里的“有”是说平面存在，“只有一个”是说平面唯一，要引导学生完整地理解和运用它，不能用“只有一个平面”代替“有且只有一个平面”。教学时还应突出公理 3 中的“不在同一条直线上”这几个字。引导学生讨论：分别经过三点、四点能确定平面吗？为什么？9三个推论都是由公理 3 演变而成的，教学时可引导学生猜想结论并进行证明。推论 1 的证明，是学生学习立体几何初步遇到的第一个需要论证的例题，教学时应注重分析证明的思路及论证的依据，并指出证明的过程包括存在性与唯一性两部分。另外两个推论也可以作类似的分析。在推理的过程中，应用了符号语言，意在帮助学生尽快熟悉和应用它。在进行三个推论的教学时，还可以结合生活中的实际问题说明它们的广泛应用。（2）空间两条直线的位置关系）空间两条直线的位置关系教材首先设置问题情景，然后借助长方体棱所在直线以及机械蜗杆和蜗轮的轴线的位置关系，引出异面直线的概念。教学时可引导学生分析两条直线位置关系的分类标准，进而得出两条直线的三种位置关系。教材通过提出问题：平面几何中“平行的传递性”能否推广到空间？引导学生运用类比，并借助长方体和圆柱模型让学生通过观察来感受和理解空间中“平行的传递性”即公理 4。第 25 页例 1 是公理 4 的一个简单应用，同时也为“等角定理”的证明作了铺垫。证明“等角定理”的关键是引导学生构造两个全等三角形，通过分析让学生明白，将空间问题化归为平面问题是处理空间问题的基本策略。“过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”可以作为判断两条直线“异面”的依据。教材上是用反证法证明的，教学时应通过分析，引导学生理解反证法的“反设”与“归谬”，进而得到正确的结论。关于两条异面直线所成角的度量问题，将在空间向量与立体几何中作深入的研究，这段教材中编写例题的目的是为了巩固异面直线所成角的概念。在教学中，研究异面直线所成角的问题时不必拓宽加深。（3）直线与平面的位置关系）直线与平面的位置关系教材借助长方体模型，观察长方体的棱、对角线和长方体的面的位置关系，讨论直线与平面位置关系的分类标准，进而得出直线与平面的三种位置关系。学生对“直线在平面外”这一关系理解上容易出错，教学中要特别提醒学生注意。直线与平面平行直线与平面平行10教材借助长方体模型，让学生感受：“如果平面外一条直线与和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面没有公共点”。教学时要使学生理解，平面可以看作一条直线沿着另一条直线平移所得，有条件的可以用计算机演示平面的生成过程。还应引导学生观察图形，给出“直线与平面平行判定定理”的符号表示。教材通过设问，引导学生讨论：直线与平面平行时，直线与平面内任一条直线的位置关系，然后通过区分“异面与平行”引出“直线与平面平行的性质定理”，这样比较自然，也符合学生的认知规律。此外还应引导学生观察图形，对“直线与平面平行的性质定理”用符号语言表示。直线与平面垂直直线与平面垂直教材通过观察、探索圆锥的轴与底面任一半径之间的关系，得出圆锥的轴与底面任一条直线都垂直，从而引出直线与平面垂直的概念。根据直线与平面垂直的定义，帮助学生进一步理解正投影概念。“投影方向正对着投影面”就是“投影方向垂直于投影面”，即“投影方向垂直于投影面”的平行投影叫正投影，正投影，否则叫斜投影斜投影。教材通过生活中的实例，引入“直线与平面垂直的判定定理”，教学时必须让学生初步理解：“折痕”之所以垂直于桌面，是因为“折痕”垂直于紧靠桌面的矩形一边所形成的“折线”；“旗杆”垂直于地面（水平面）是因为“旗杆”垂直于两条相交的“水平线”。关于直线与平面垂直的性质定理的证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时注意引导学生理解反证法的反设、归谬，进而得出正确的结论。证明中用到“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”和“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”的事实。垂直是直线与平面相交的特例，为了使学生了解直线与平面“斜交”的“程度”，教材引入直线与平面所成的角，同时也从“逻辑”上给学生“直线与平面位置关系”的一个完整体系。教学时只须让学生明白引入直线与平面所成的角的ab11概念即可，关于它的度量问题将在空间向量与立体几何中作深入研究。第 36 页例 3 是直线与平面垂直判定定理的一个应用，也称“三垂线定理”，是证明线、线垂直的一个典型范例。教学时要引导学生归纳，证明线、线垂直有哪些方法？让学生初步体会到，证明线、线垂直可以转化为证明线、面垂直，证明线、面垂直也可以转化为证明线、线垂直。（4）平面与平面的位置关系）平面与平面的位置关系教材借助长方体模型，观察平面和平面的位置关系，讨论得出两个平面位置关系的分类标准，然后根据两个平面公共点的分布情况归纳出两个平面的位置关系。学生对两个平面互相平行并不陌生，早在学习“棱台”定义时，对两平面互相平行有所了解。教学时可结合平面互相平行定义，回顾棱柱、棱台、圆柱、圆台的概念。两个平面平行两个平面平行教材通过生活中的实例，引入“两个平面平行的判定定理”，教学时必须让学生认识到：水平仪的气泡在中央，说明水平仪所在直线是水平线；“桌面”之所以是水平平面，是因为“桌面”内有两条相交“水平线”。教学时要引导学生根据“两个平面平行的判定定理”的自然语言，作出图形，再用符号语言表示。第 40 页例 3 是两个平面平行的判定定理的一个应用，教学时应指出，应用定理的关键是创设定理成立的条件。通过分析让学生感受到：要证明面、面平行可以转化为证明线、面平行，证明线、面平行可以转化为证明线、线平行。教材通过讨论两个平行平面内的线、线关系，然后通过区分“异面和平行”，自然地引出两个平面平行的性质定理及其证明。教学时既要引导学生认真分析教材中的两个问题，又要引导学生给出“两个平面平行的性质定理”的符号表示。并指出：性质定理表明面、面平行可以转化为线、线平行。二面角二面角教材通过实例阐述引入二面角及其平面角的必要性，这从“逻辑”上给学生“平面与平面位置关系”的一个完整体系。实际上是为引出两个平面互相垂直作好铺垫。教学时重在让学生明白：二面角的平面角是客观刻画二面角的重要概念，二面角平面角的大小就是二面角的大小。12教材为了让学生了解所学知识在空间技术中的应用，以数学文化的形式，介绍了“东方红 1 号”卫星的轨道平面与地球赤道平面所成的二面角大小。教学时要给出人造卫星轨道模型（有条件的可以用计算机演示人造卫星轨道），让学生感受科学的力量，从而激发学生的学习兴趣。第 43 页例 1 是教材中第二个求角的例题，目的是：（1）理解二面角的平面角的概念；（2）为下面证明两个平面互相垂直提供方法。教学时重点是引导学生如何找出二面角的平面角。关于二面角的有关度量问题主要在 空间向量与立体几何中来研究。两个平面垂直两个平面垂直在引入两个平面互相垂直的定义时应指出：两个平面互相垂直的定义，是证明两个平面互相垂直的基本方法之一。教材通过生活实例，引入平面与平面垂直的判定定理，教学时应重点分析：门转到任何位置时，门所在的平面与地面垂直是因为门轴始终与地面垂直，让学生感受门所在平面与地面垂直，是因为门所在的平面过地面所在平面的垂线。还应引导学生，根据“平面与平面垂直的判定定理”自然语言，作出图形，然后用符号语言表示。第 44 页例 2 是平面与平面垂直判定定理的一个应用，教学时应指出，应用定理的关键是创设定理成立的条件。通过分析让学生领会：证明面、面垂直，通常转化为证明线、面垂直，或转化为证明线、线垂直。教材通过问题“如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？”来探索平面与平面垂直的性质定理。教学时要引导学生根据定理的自然语言，作出图形，然后用符号表示。对于平面与平面垂直的性质定理的证明，重在引导学生在平面内找出一条与 CD 相交的直线垂直于 AB。第 45 页例 3 是性质定理的一个应用，教学时应指出，应用定理的关键是创设定理成立的条件。3.3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积1、教学目标1、了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、会求一些简单几何体的表面积和体积，并体会积分思想在计算表面积与体积中的应用。132编写意图与教学建议（1）空间图形的展开图）空间图形的展开图教学时先通过演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生了解平面展开图的概念。教材介绍了直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，并在“平面展开图”的基础上分析给出了直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式，教学时主要是侧重分析它的“侧面展开图”构成。关于正棱锥、正棱台的形状特点，教学时要强调三条：底面是正多边形；顶点在底面的正投影是底面的中心，即顶点和底面中心连线垂直于底面（棱锥的高）；当且仅当它是正棱锥、正棱台时，才有斜高。通过分析正棱柱、正棱锥、正棱台的图形的内在联系，让学生发现正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系，体会“数”和“形”的完美结合。教材分析了圆柱、圆锥、圆台侧面展开图，给出了它们的侧面积公式，并让学生体会它们的侧面积公式之间的关系。教学时不必讨论圆锥、圆台的侧面积公式的推导，重点仍然是分析它的“侧面展开图”的形状。例 2 的教学难点是想象如何将绕在铁管上的铁丝展开在平面上。教学时可分步解决该难点，先研究绕 1 圈时最短长度是多少？绕 2 圈时最短长度是多少？最后研究绕 4 圈时最短长度是多少？（2）柱、锥、台、球的体积教材给出柱、锥、台体的体积公式，教学时可简要说明锥体的体积可以通过柱体体积求得，台体体积可以通过锥体体积求得。通过分析柱体、锥体、台体的图形的内在联系，让学生感受“转化思想”、感受柱体、锥体、台体的体积之间的关系，体会“数”和“形”的完美结合。教材介绍了球的体积公式，教学时让学生经历“倒沙实验”，发现半球体积等于底面半径和高都为球半径的圆柱与圆锥的体积之差。这一结论以后可以用祖暅原理证明。教材还介绍了球的面积公式及求面积的“积分”思想方法，教学中要通过“准锥体”的介绍，让学生感受“无穷”、“极限”的思想。这部分内容中虽然公式很多，但大多数学生并不陌生，教学中只需让学生初步了解公式的推导方法，体会祖目恒原理和积分思想即可。14第 56 页例 1，应重点分析六角螺帽毛坯的结构特征，即由一个正六棱柱挖去一个圆柱而构成。一般地，计算组合体的体积时，应先考虑组合体的结构特征，然后将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积。本章回顾本章回顾回顾本章学习的内容和知识生长的过程，是围绕引言提出的三个问题展开的。结构图不仅表示了本章的知识结构,而且表现了数学知识的生长过程“数学树”是怎样通过一个又一个数学化的过程成长起来的，完成了由薄到厚,再由厚到薄的过程。学生从回顾立体几何的学习过程中，还可以体会到,反思与总结不仅是对知识的梳理,而且加深了对立体几何中重要的研究问题的方法与数学思想的理解与升华。在本章中应要求学生领会：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行问题常常相互转化，将空间问题化归为平面问题是处理立体几何问题的重要思想。本章回顾我们首先从直观上认识了柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征借助长方体模型，抽象出空间点、线、面位置关系。学习了可作为推理依据的 4 个公理，以及线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理，并运用这些知识解决有关空间位置关系的简单推理论证及应用问题结构特征侧面积和体积图形表示简单的空间几何体空间几何体结构特征侧面积和体积图形表示多面体（棱柱、棱锥、棱台）结构特征侧面积和体积图形表示旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）位置关系判定、性质语言描述基本元素（点、线、面）位置关系直线与直线语言描述判定、性质位置关系直线与平面语言描述判定、性质位置关系平面与平面语言描述判定、性质15学习本章应注意体会“转化”的思想方法，如面面垂直与线面垂直的转化，线面平行与线线平行的转化，并善于将空间问题转化为平面问题来处理第四章第四章平面解析几何初步平面解析几何初步解析几何是十七世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法对几何问题加以研究。充分体现了数形结合的数学思想。一、本章教育目标一、本章教育目标通过本章的学习，学生将学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系，体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。1 理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；3能根据斜率判定两条直线平行或垂直；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；6通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；7通过平面解析几何初步的学习，使学生体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”和“数”的对立和统一，渗透数学中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化的辨证唯物主义观点，提高学生的数学素养，培养学生良好的思维品质；8在知识和概念的形成过程中，培养学生的合情推理能力、数学交流能力、探索能力和逻辑思维能力。16二、本章设计意图二、本章设计意图本章包含了直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系三部分内容。本章的编写突出了解析几何研究问题的一般方法：本章在直线和圆的方程的处理上，以学生熟悉的问题（生活实例、数学问题等）为背景，按照“问题情境数学活动意义建构数学理论数学应用反思”的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析和解决，使学生感受建立坐标系，并用坐标、方程等知识来刻划点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。例如：在研究直线的点斜式方程的过程中，首先提出一个数学问题：“若直线 l 经过点 A（-1，3），斜率为-2，当点 P 在直线 l 上运动时，点 P 的坐标（x，y）满足什么条件？”，通过分析和解决这个问题，使学生在活动中体会直线方程的本质和求直线方程的方法。本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，展现了知识的发生和发展的过程。如在直线斜率的呈现过程中，从分析学生最熟悉的例子坡度入手，通过比较，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系。“空间直角坐标系”是新增内容，在编写时，除了遵循解析几何研究问题的一般方法外，又通过类比，将平面上的知识推广到空间。这样处理，不仅使学生体会到解析法的一般思路，同时也为学生留下了较大的发展空间。数形结合是本章重要的数学思想。这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的一般性。例如，直线和圆是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度分析直线和圆的位置关系，那么，如何从“数”的角度分析它们之间的位置关系呢？教材中对此采用通过方程求直线与圆的交点的方法，也采用比较圆心到直线的距离与半径大小的关系来判断的方法。这样，在将学生所学知识加以整合和升华的同时，也为后续内容（直线和圆锥曲线的位置关系）的学习奠定了基础。解析法的思想是通过代数方法将几何问题变成有章可循，而且能按一定的步骤或程式去推导、求解，实际上是设计了一种算法。在编写的过程中，充分考虑到这一点。例如在计算点到直线的距离和推导圆的方程的设计中，分别写出了解决这些问题的步骤，为今后学习算法作了铺垫。本章还通过设置“思考”“阅读”等栏目，为引导学生进一步学习和拓宽学生的思路提供了载体，如研究在空间直角坐标系下的球面方程和中点坐标公式等。几何问题代数问题代数问题的解几 何 对 象 的 性质、位置关系坐标法还原17为了适应不同层次学生的需要，本章在习题和复习参考题的设置上增加一些探究和拓展类的问题。本章注意体现数学的应用价值，在设置上，不仅充分体现解析法在解决直线和圆的问题中的重要作用，而且充分利用这些知识解决生活中的问题，如市场经济中的平衡价格；桥梁、隧道中的数学；光线的入射和反射等。本章注意体现数学的文化价值，如通过设置阅读，介绍解析几何产生的背景和发展过程；介绍与之有关的重要历史人物笛卡儿和费马的生平以及他们对解析几何的重要贡献。三、本章教学建议三、本章教学建议本章主要研究了直线和圆两种曲线。在教学过程中，通过教师的引导，学生经历下列过程：先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其相互关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。通过上述活动，使学生感受到解析法研究问题的一般程序。本章侧重于将“形”的问题转化为“数”的问题加以研究，而数形结合的思想还包含构造“形”来体会问题的本质，开拓思路，进而解决“数”的问题。在教学过程中要注意渗透。同时，在其他章节的教学过程中也要注意这种思想的应用，使学生形成一种良好的思维品质，即要多角度地考虑问题。“空间直角坐标系”这部分内容的处理上，“类比”的思想贯穿于教学的始末，对于基础比较好的学生还可以指导他们以小论文的形式研究空间的其他问题，如空间直线的方程，空间平面的方程等。本章教学时间约需 18 课时，具体分配如下（仅供参考）：41 直线与方程411 直线的斜率约 2 课时412 直线的方程约 2 课时413 两条直线的平行与垂直约 2 课时414 两条直线的交点约 1 课时415 平面上两点之间的距离约 1 课时416 点到直线的距离约 2 课时421 圆的方程约 2 课时422 直线与圆的位置关系约 1 课时423 圆与圆的位置关系约 1 课时431 空间直角坐标系约 1 课时432 空间两点之间的距离约 1 课时小结与复习约 2 课时四、本章内容分析四、本章内容分析章头图、引言章头图、引言章头图中展示了一座跨越长江的雄伟的斜拉桥,美妙的曲线把大桥装点的绚丽多姿。它和引言提供了本章的主背景，从桥樑到彩虹，从流星的飞逝到行星运动，唤起了学生对现实世界中形形色色的曲线的注意，指出了这些奇妙的曲线与方程之间息息相关的联系。引言进一步提出关于直线与圆的统领本章的中心问题：（1）如何建立曲线的方程?（2）如何通过方程来研究曲线的性质?作为本章知识与方法的生长点。这两个问题实际上揭示了解析几何研究问题的基本思想方法通过引进直角18坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法对几何问题加以研究。为学生的学习活动提供了研究的课题和研究的思想方法，起着统领全章的作用。41 直线与方程直线与方程411 直线的斜率直线的斜率1教学目标：（1）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式。（2）理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围。（3）掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系。能由直线的斜率求出直线的倾斜角，也能由直线的倾斜角求出直线的斜率（斜率存在的条件下）。（4）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线的斜率的变化规律。2编写意图和教学建议确定直线的几何要素可以是直线上的点和直线的倾斜程度。教材在处理的过程中，直接通过问题的形式提出“直线的倾斜程度如何刻画呢？”，揭开了解析几何研究的序幕。通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念，得到研究直线倾斜程度的量斜率。有了直线的斜率公式后，要注意：斜率公式与两点的顺序无关；对于不垂直于 x 轴的直线，直线的斜率是确定的，与所选择的直线上的两点位置无关；与 x 轴垂直的直线，它的斜率不存在。第 72 页例 1，帮助学生理解经过两点的直线的斜率公式，使学生掌握直线斜率的符号与直线的方向之间的对应关系。教学过程中，还可以开展活动：（1）给出斜率，画出符合条件的直线；（2）给出直线，让学生分析给出直线的斜率的特征。直线的倾斜角和直线的斜率一样，也是刻画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于几何直观形象，直线的斜率则侧重于用数来刻画直线的方向。教学中要让学生知道：任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率。由于学生没有学过正切函数，教材在处理直线的斜率和倾斜角的关系时，通过计算机计算，使学生观察并体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律。教学过程中，也可以通过描点或计算机画出正切函数的图象。所有这些活动建议学生课后完成。412 直线的方程直线的方程1教学目标：（1）掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，能根据条件熟练地求出直线的方程。（2）能正确理解直线方程一般式的含义。（3）能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等四种形式化为一般式，知道这四种形式的直线方程的局限性。（4）使学生感受到直线的方程和直线之间的对应关系，知道要说明点在直线上，只要说明点的坐标满足直线的方程，反之也