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高等数学简明教程高等数学简明教程第一章 函数、极限与连续第一节 函数第二节 极限第三节 极限的运算第四节 函数的连续性第1页/共145页第一节 函数一、函数的概念一、函数的概念确定函数的两个要素：定义域和对应法则确定函数的两个要素：定义域和对应法则.第2页/共145页第一节 函数一、函数的概念一、函数的概念第3页/共145页第一节 函数一、函数的概念一、函数的概念 函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.一般考虑以下几个方面：（1）分式函数的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方式必须大于等于零；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）三角函数与反三角函数要符合其定义；（5）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集.第4页/共145页第一节 函数二、函数的性质二、函数的性质1.有界性 第5页/共145页第一节 函数二、函数的性质二、函数的性质2.单调性 第6页/共145页第一节 函数二、函数的性质二、函数的性质3.奇偶性 第7页/共145页第一节 函数二、函数的性质二、函数的性质4.周期性 第8页/共145页第一节 函数三、反函数三、反函数第9页/共145页第一节 函数三、反函数三、反函数第10页/共145页第一节 函数四、基本初等函数四、基本初等函数(2)(2)幂函数幂函数(1)(1)常数函数常数函数(3)(3)指数函数指数函数(4)(4)对数函数对数函数第11页/共145页第一节 函数(5)(5)三角函数三角函数正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 第12页/共145页第一节 函数(6)(6)反三角函数反三角函数反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 第13页/共145页第一节 函数五、复合函数五、复合函数注：并不是任意两个函数都能构成复合函数注：并不是任意两个函数都能构成复合函数.第14页/共145页第一节 函数五、复合函数五、复合函数第15页/共145页第一节 函数六、初等函数与分段函数六、初等函数与分段函数 注注:(1)(1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.(2)(2)分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数.第16页/共145页第二节 极限一、数列的极限一、数列的极限第17页/共145页第二节 极限二、函数的极限二、函数的极限1.时函数的极限第18页/共145页第二节 极限二、函数的极限二、函数的极限2.时函数的极限第19页/共145页第二节 极限二、函数的极限二、函数的极限2.时函数的极限第20页/共145页第二节 极限二、函数的极限二、函数的极限2.时函数的极限第21页/共145页第二节 极限三、极限的性质三、极限的性质第22页/共145页第二节 极限四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大第23页/共145页第二节 极限四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大第24页/共145页第三节 极限的运算一、函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则第25页/共145页第三节 极限的运算一、函数极限的运算法则一、函数极限的运算法则第26页/共145页第三节 极限的运算二、两个重要极限二、两个重要极限第27页/共145页第三节 极限的运算二、两个重要极限二、两个重要极限第28页/共145页第三节 极限的运算三、无穷小的比较三、无穷小的比较第29页/共145页第三节 极限的运算三、无穷小的比较三、无穷小的比较注：注：相乘（除）的无穷小都可用各自的等价无穷小 代换，但相加（减）的无穷小的项不能作等价 代换.第30页/共145页第三节 极限的运算三、无穷小的比较三、无穷小的比较第31页/共145页第四节 函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念第32页/共145页第四节 函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念第33页/共145页第四节 函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念第34页/共145页第四节 函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念第35页/共145页第四节 函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念第36页/共145页第四节 函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念第37页/共145页第四节 函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念第38页/共145页第四节 函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点第39页/共145页第四节 函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点第40页/共145页第四节 函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点第41页/共145页第四节 函数的连续性三、连续函数的运算与初等函数的连续性三、连续函数的运算与初等函数的连续性第42页/共145页第四节 函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质第43页/共145页第四节 函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质第44页/共145页第二章 导数与微分第一节第一节 导数的概念导数的概念第二节第二节 导数的求导法则导数的求导法则第三节第三节 高阶导数高阶导数 隐函数和参数方程所隐函数和参数方程所 确定的函数的导数确定的函数的导数第四节第四节 函数的微分及其应用函数的微分及其应用第45页/共145页第一节 导数的概念一、导数的定义一、导数的定义第46页/共145页第一节 导数的概念一、导数的定义一、导数的定义第47页/共145页第一节 导数的概念一、导数的定义一、导数的定义第48页/共145页第一节 导数的概念一、导数的定义一、导数的定义第49页/共145页第一节 导数的概念一、导数的定义一、导数的定义第50页/共145页第一节 导数的概念一、导数的定义一、导数的定义第51页/共145页第一节 导数的概念二、导数的几何意义二、导数的几何意义第52页/共145页第一节 导数的概念二、导数的几何意义二、导数的几何意义第53页/共145页第一节 导数的概念三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系第54页/共145页第二节 函数的求导法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则第55页/共145页第二节 函数的求导法则一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则第56页/共145页第二节 函数的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则第57页/共145页第二节 函数的求导法则三、基本初等函数的导数公式三、基本初等函数的导数公式第58页/共145页第二节 函数的求导法则四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则 这种复合函数的求导法则又叫链式法则链式法则.这个法则说明，复合函数的导数等于外层函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.复合函数的求导法则可推广到任意有限多个中间变量的情形.第59页/共145页第二节 函数的求导法则四、复合函数的求导法则四、复合函数的求导法则第60页/共145页第三节 高阶导数 隐函数和参数方程一、高阶导数一、高阶导数所确定的函数的导数第61页/共145页第三节 高阶导数 隐函数和参数方程一、高阶导数一、高阶导数所确定的函数的导数第62页/共145页第三节 高阶导数 隐函数和参数方程二、隐函数的导数二、隐函数的导数所确定的函数的导数第63页/共145页第三节 高阶导数 隐函数和参数方程二、隐函数的导数二、隐函数的导数所确定的函数的导数第64页/共145页第三节 高阶导数 隐函数和参数方程三、参数方程所确定的函数的导数三、参数方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数第65页/共145页第三节 高阶导数 隐函数和参数方程三、参数方程所确定的函数的导数三、参数方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数第66页/共145页第四节 函数的微分及其应用一、微分的概念一、微分的概念第67页/共145页第四节 函数的微分及其应用一、微分的概念一、微分的概念第68页/共145页第四节 函数的微分及其应用二、基本初等函数的微分公式二、基本初等函数的微分公式第69页/共145页第四节 函数的微分及其应用三、微分运算法则三、微分运算法则第70页/共145页第四节 函数的微分及其应用四、复合函数的微分法则四、复合函数的微分法则第71页/共145页第四节 函数的微分及其应用四、复合函数的微分法则四、复合函数的微分法则第72页/共145页第四节 函数的微分及其应用五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用第73页/共145页第四节 函数的微分及其应用五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用第74页/共145页第三章 微分中值定理及导数第一节 微分中值定理第二节 洛必达法则第三节 函数的单调性第四节 函数的极值与最值第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单的应用函数图形的描绘第75页/共145页第一节 微分中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理第76页/共145页第一节 微分中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理第77页/共145页第一节 微分中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理第78页/共145页第二节 洛必达法则一、一、型和型和 型未定式的求法型未定式的求法 第79页/共145页第二节 洛必达法则一、一、型和型和 型未定式的求法型未定式的求法 第80页/共145页第二节 洛必达法则二、其他类型的未定式二、其他类型的未定式第81页/共145页第二节 洛必达法则二、其他类型的未定式二、其他类型的未定式第82页/共145页第二节 洛必达法则二、其他类型的未定式二、其他类型的未定式第83页/共145页第三节 函数的单调性第84页/共145页第三节 函数的单调性第85页/共145页第三节 函数的单调性第86页/共145页第四节 函数的极值与最值一、函数的极值一、函数的极值第87页/共145页第四节 函数的极值与最值一、函数的极值一、函数的极值第88页/共145页第四节 函数的极值与最值一、函数的极值一、函数的极值第89页/共145页第四节 函数的极值与最值一、函数的极值一、函数的极值第90页/共145页第四节 函数的极值与最值一、函数的极值一、函数的极值第91页/共145页第四节 函数的极值与最值二、函数的最值二、函数的最值第92页/共145页第四节 函数的极值与最值二、函数的最值二、函数的最值第93页/共145页第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性函数图形的描绘第94页/共145页第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性函数图形的描绘第95页/共145页第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性函数图形的描绘第96页/共145页第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘函数图形的描绘第97页/共145页第五节 曲线的凹凸性与拐点 简单二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘函数图形的描绘第98页/共145页第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质第二节 换元积分法第三节 分部积分法第99页/共145页第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分第100页/共145页第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分第101页/共145页第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分第102页/共145页第一节 不定积分的概念与性质二、基本积分公式二、基本积分公式第103页/共145页第一节 不定积分的概念与性质三、不定积分的性质三、不定积分的性质第104页/共145页第二节 换元积分法一、第一换元法一、第一换元法第105页/共145页第二节 换元积分法一、第一换元法一、第一换元法第106页/共145页第二节 换元积分法二、第二换元法二、第二换元法第107页/共145页第二节 换元积分法二、第二换元法二、第二换元法第108页/共145页第三节 分部积分法第109页/共145页第三节 分部积分法第110页/共145页第五章 定积分及其应用第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法第四节第四节 定积分的应用定积分的应用第五节第五节 广义积分广义积分第111页/共145页第一节 定积分的概念与性质一、定积分的概念一、定积分的概念第112页/共145页第一节 定积分的概念与性质一、定积分的概念一、定积分的概念第113页/共145页第一节 定积分的概念与性质二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义第114页/共145页第一节 定积分的概念与性质二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义第115页/共145页第一节 定积分的概念与性质三、定积分的性质三、定积分的性质第116页/共145页第一节 定积分的概念与性质三、定积分的性质三、定积分的性质第117页/共145页第一节 定积分的概念与性质三、定积分的性质三、定积分的性质第118页/共145页第二节 微积分基本定理一、积分上限函数一、积分上限函数第119页/共145页第二节 微积分基本定理一、积分上限函数一、积分上限函数第120页/共145页第二节 微积分基本定理二、牛顿二、牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式第121页/共145页第二节 微积分基本定理二、牛顿二、牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式第122页/共145页第三节 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法第123页/共145页第三节 定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法第124页/共145页第三节 定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法第125页/共145页第三节 定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法第126页/共145页第四节 定积分的应用一、定积分的元素法一、定积分的元素法第127页/共145页第四节 定积分的应用二、定积分在几何中的应用二、定积分在几何中的应用1.平面图形的面积第128页/共145页第四节 定积分的应用二、定积分在几何中的应用二、定积分在几何中的应用1.平面图形的面积第129页/共145页第四节 定积分的应用二、定积分在几何中的应用二、定积分在几何中的应用2.体积1）旋转体的体积第130页/共145页第四节 定积分的应用二、定积分在几何中的应用二、定积分在几何中的应用2.体积1）旋转体的体积第131页/共145页第四节 定积分的应用二、定积分在几何中的应用二、定积分在几何中的应用2.体积2）平行截面面积已知的立体的体积 第132页/共145页第四节 定积分的应用二、定积分在几何中的应用二、定积分在几何中的应用3.平面的弧长第133页/共145页第四节 定积分的应用二、定积分在几何中的应用二、定积分在几何中的应用3.平面的弧长 注注:计算弧长时,由于被积函数都是正的,因此要使弧长为正,定积分定限时要求下限小于上限.第134页/共145页第四节 定积分的应用三、定积分在物理中的应用三、定积分在物理中的应用1.变力沿直线所做的功第135页/共145页第四节 定积分的应用三、定积分在物理中的应用三、定积分在物理中的应用2.液体的压力第136页/共145页第五节 广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分第137页/共145页第五节 广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分第138页/共145页第五节 广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分第139页/共145页第五节 广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分第140页/共145页第五节 广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第141页/共145页第五节 广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第142页/共145页第五节 广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第143页/共145页第五节 广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第144页/共145页感谢您的观看。感谢您的观看。第145页/共145页
