齐次变换矩阵及其运算.pptx
会计学1齐次变换矩阵及其运算齐次变换矩阵及其运算变换可定义为空间的一个运动。已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的坐标可通过齐次坐标变换来求得。变换可分为如下形式：纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合第2页/共35页n n1.1.平移的齐次变换平移的齐次变换n n空间某一点在直角坐标系中的平移空间某一点在直角坐标系中的平移,由由A A(x x,y y,z z)平移至平移至A A(x x,y y,z z),),即即 a=Trans(x,y,z)a 平移算子第3页/共35页n n 算子左乘算子左乘:表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。n n 算子右乘算子右乘:表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。n n 该公式亦适用于坐标系的平移变换、该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换物体的平移变换,如如机器人手部的平移变换。机器人手部的平移变换。第4页/共35页n n例例 动坐标系动坐标系AA相对于固定坐标系的相对于固定坐标系的X0X0、Y0Y0、Z0Z0轴作轴作n n(-1,2,2)(-1,2,2)平移后到平移后到AA；动坐标系；动坐标系AA相对于自身坐标系相对于自身坐标系(即动系即动系)的的X X、Y Y、Z Z轴分别作轴分别作(-1,2,2)(-1,2,2)平移后到平移后到AA。已知。已知A,A,写出坐标系写出坐标系AA、AA第5页/共35页n n2旋转的齐次变换n n点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A A(x x,y y,z z)绕绕Z Z轴旋轴旋转转 角后至角后至A A(x x,y y,z z),),则则A A与与A A 之间的关系为之间的关系为 ：记为:a=Rot(z,)a 旋转算子第6页/共35页同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：绕Z轴旋转算子内容为：第7页/共35页如图所示单操作手臂，并且手腕如图所示单操作手臂，并且手腕也具有一个旋转自由度。已知手也具有一个旋转自由度。已知手部的起始位姿矩阵为部的起始位姿矩阵为G1.若手臂绕若手臂绕Z0轴旋转轴旋转90，则手臂，则手臂到达到达G2；若手臂不动，仅手部绕；若手臂不动，仅手部绕手腕手腕Z1轴转轴转90，则手部到达，则手部到达G3.写出手部坐标系写出手部坐标系G2、G3表达式。表达式。第8页/共35页第9页/共35页3复合齐次变换复合齐次变换复合变换是由固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移和绕轴旋转变换所组成的。任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换。相对于固定坐标系相对于动坐标系算子左乘算子右乘第10页/共35页n n 已知坐标系中点已知坐标系中点U U的位置矢量的位置矢量 ，将此点绕，将此点绕Z Z轴轴旋转旋转9090，再绕，再绕Y Y轴旋转轴旋转9090，如图所示，求旋转变换后所，如图所示，求旋转变换后所得的点得的点WW。第11页/共35页n n平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例中点中点U U若还要作若还要作4i-3j+7k4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换的平移，则只要左乘上平移变换算子即可得到最后的列阵表达式。算子即可得到最后的列阵表达式。第12页/共35页第13页/共35页 齐次变换矩阵齐次变换矩阵的数学意义：的数学意义：（1）同一点在不同坐标系）同一点在不同坐标系B和和A中的变换；中的变换；（2）描述坐标系）描述坐标系B相对于坐标系相对于坐标系A的位置和方位；的位置和方位；（3）点的运动算子。）点的运动算子。第14页/共35页4变换矩阵相乘变换矩阵相乘对于给定的坐标系A、B、C，已知B相对A的描述为 ，C相对B的描述为 ，则。从而定义复合变换 表示C相对于A的描述，是两变换矩阵的乘积。注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘和右乘的运动解释不同。第15页/共35页复合变换可解释为：(1)和 分别代表同一坐标系C相对于A和B的描述。则 表示坐标系C从 映射为 的变换。(2)坐标系C相对于A的描述 是这样得到的：最初C与A重合，首先相对于A作运动 ，到达B,然后相对B作运动 ，到达最终位置C。第16页/共35页5.5.变换矩阵求逆变换矩阵求逆变换矩阵求逆变换矩阵求逆如果知道坐标系B相对于A的描述。希望得到A相对于B的描述，这是个齐次变换求逆问题。对4*4矩阵直接求逆；利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。求逆问题可以描述为：已知 ，求解 。利用旋转矩阵正交性 利用复合变换公式(2.13),求出 在B中描述。第17页/共35页第18页/共35页下面我们写出变换矩阵的一般表达形式下面我们写出变换矩阵的一般表达形式nxoxaxpxnyoyaypyT=nzozazpz0001式中式中n,o,a是旋转变换列向量，是旋转变换列向量，p是平移向量，其逆是是平移向量，其逆是nxnynz-p.noxoyoz-p.oT-1=axayaz-p.a0001式中的式中的“.”表示向量的点积。表示向量的点积。第19页/共35页 计算T矩阵的逆矩阵。-0.5第20页/共35页6 6 变换方程变换方程变换方程变换方程为了描述机器人的操作，必须建立机器人本身各连杆之间，机器人与周围环境之间的运算关系。为此要规定各种坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关系。B代表基座坐标系；W代表腕部坐标系；T代表工具坐标系；S代表工作站坐标系；G代表目标坐标系；它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。描述工作站坐标系相对于基座的位姿；描述目标坐标系相对于S的位姿；描述腕部W相对于基座B的位姿；第21页/共35页对物体进行操作时，工具坐标系T相对于目标坐标系G的位姿 直接影响操作效果。它是机器人控制和规划的目标。实际上，它与其他变换之间的关系类似于空间尺寸链，则是封闭环。如图所示，工具坐标系T相对于基座坐标系B的描述可用两种变换矩阵的乘积来表示：令上面两式相等，则得变换方程第22页/共35页变换方程中的任一变换矩阵都可用其余的变换矩阵来表示。例如，为了对目标物进行有效操作，工具坐标系T相对于目标坐标系G的位姿 是预先规定的，需要改变 以达到这一目的，即通常规定 ，求 。根据变换方程，可以立即求出第23页/共35页旋转变换通式旋转变换通式令是过原点的单位矢量，求绕k旋转角的旋转矩阵R(k,)。问题描述：令即R(k,)表示坐标系B相对于参考系A的方位。坐标系坐标系B由坐标系由坐标系A绕绕轴旋转轴旋转角得到。角得到。kA第24页/共35页xAyAzAxByBzB旋转变换通式旋转变换通式再定义两坐标系A和 B，分别与A和B固接，但要求(1)A和 B的z轴与k重合。(2)旋转之前A和 B重合，A和B也重合。第25页/共35页又因为又因为所以可以得到：坐标系B绕k轴相对于A旋转角相当于：坐标系B相对于A的z轴旋转角，保持其他关系不变。则xAyAzAxByBzB坐标系A经过如下变换到坐标系B:第26页/共35页把上式右端三矩阵相乘，并运用旋转矩阵的正交性质：第27页/共35页 该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X X、Y Y、Z Z轴进行旋转变换的情况。轴进行旋转变换的情况。反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得k k及转角及转角。变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。当当kx=1，ky=kz=0时时当当ky=1，kx=kz=0时时当当kz=1，kx=ky=0时时第28页/共35页n n反之，若给出某个旋转齐次矩阵则可根据 求出其等效矢量k及等效转角第29页/共35页等效转轴和等效转角等效转轴和等效转角给定旋转矩阵给定旋转矩阵，求对应的等效旋转轴，求对应的等效旋转轴和等效转角和等效转角设设，令令第30页/共35页得到：得到：方程两边矩阵的非对角元素成对相减，得到：方程两边矩阵的非对角元素成对相减，得到：两边平方后相加，所以整理后得到：两边平方后相加，所以整理后得到：所以，所以，第31页/共35页所以：所以：方程两边矩阵的非对角元素成对相减，整理得到：方程两边矩阵的非对角元素成对相减，整理得到：（1）多值性：）多值性：和和值并不唯一，一般选取值并不唯一，一般选取。（2）病态情况：当）病态情况：当很小时，转轴很小时，转轴不能确定，需要其它方法。不能确定，需要其它方法。注意：注意：注意：注意：第32页/共35页例题：已知转动变换矩阵试求：等效转轴与转角。可以证明，任何一组绕过原点的轴线的复合转动总是等效于绕某一过原点的轴线的转动R(k,).第33页/共35页为什么说任一为什么说任一4*4阶的齐次坐标变换矩阵阶的齐次坐标变换矩阵T可以是一个变换，可以是一个变换，也可以表示一个坐标系？也可以表示一个坐标系？T为变换时，其中什么子矩阵表示旋为变换时，其中什么子矩阵表示旋转变换？什么子矩阵表示平移变换？转变换？什么子矩阵表示平移变换？T为坐标系时，其原点、为坐标系时，其原点、坐标轴用什么表示？试用矩阵坐标轴用什么表示？试用矩阵加以说明，并绘加以说明，并绘图。图。第34页/共35页上海电机学院 机械学院感谢您的观看！感谢您的观看！第35页/共35页
