微分中值定理与导数的应用学习教案.pptx
会计学1微分中值定理微分中值定理(dngl)与导数的应用与导数的应用第一页，共119页。证 因为(yn wi)f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m(1)如果M=m,则f(x)在a,b上恒等于常数M,因此(ync),对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.(2)若Mm,由于f(a)=f(b),因此(ync)M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0 第2页/共119页第二页，共119页。因f(x)在达到最大值,所以(suy)不论x是正的还是负的,总有 f(+x)-f()0 当x0时,根据(gnj)极限的保号性,有当x0时,从而(cng r)必须有f()=0.第3页/共119页第三页，共119页。例1 验证(ynzhng)罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间-1,3上的正确性注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定(ydng)成立.显然(xinrn)函数f(x)=-2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1(-1,3),使f(1)=0 第4页/共119页第四页，共119页。例2证由介值定理(dngl)即为方程(fngchng)的小于1的正实根.矛盾(modn),第5页/共119页第五页，共119页。)=由连续函数介值定理(dngl)知至少存在一点 在0,1上有且仅有一个(y)0f(x)1,且对于(0,1)内所有(suyu)x，有f(x)1，求证例 设f(x)在0,1上可导，当0 x1时，使f(证 令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-10,F(0)=f(0)0 0,1,使得F(，下面证明在0，1上)=即f(仅有一点，使F()=0 假设另有一点)=0，则由罗尔定理可知,在 ,上至少有一点，使这与原题设矛盾这就证明了在0，1 内有且仅有)=一个，使f()=0，0,1,使得F(不妨设F()=0,即f()=1,第6页/共119页第六页，共119页。二、拉格朗日中值定理(dngl)定理2 若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导则至少存在一点(a,b),使得证 作辅助(fzh)函数F(x)在a,b上连续(linx),在(a,b)内可导,且 第7页/共119页第七页，共119页。故 F(x)满足罗尔定理的条件,从而(cng r)至少存在一点(a,b),使得F()=0,即 因此(ync)得第8页/共119页第八页，共119页。拉格朗日中值定理中的公式称为(chn wi)拉格朗日中值公式,此公式也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(ab)另外，由于(yuy)是(a,b)中的一个点,它还可以表示成 =a+(b-a)(0 1),于是，拉格朗日中值公式又可写成 f(b)-f(a)=(b-a)fa+(b-a)(01)要注意的是，在公式(gngsh)中，无论ab或ab，公式(gngsh)总是成立的，其中是介于a与b之间的某个数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.第9页/共119页第九页，共119页。例4证第10页/共119页第十页，共119页。例5 证明(zhngmng)不等式对一切(yqi)x0成立.ln(1+x)x1),证 由于f(x)=ln(1+x)在，）上连续、可导，对任何x0，在0,x上运用微分(wi fn)中值公式,得 (0 1)即 ln(1+x)=由于 x,因此当x0时，有f(x)-f(0)=f(x)x,(0ln(1+x)x 第11页/共119页第十一页，共119页。推论1 如果(rgu)f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数证 在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1 x2,显然f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理(dngl)的条件因为(yn wi)f(x)0,所以 f()=0.从而 f(x2)=f(x1).第12页/共119页第十二页，共119页。例4证第13页/共119页第十三页，共119页。推论(tuln)2 若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C 为常数).证 因f(x)-g(x)=f(x)-g(x)=0,由推论(tuln)1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x(a,b)第14页/共119页第十四页，共119页。三、柯西中值定理(dngl)定理3(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得证 若g(a)=g(b),则由罗尔定理(dngl),至少存在一点1(a,b),使g(1)=0,这与定理(dngl)的假设矛盾.故g(a)g(b).第15页/共119页第十五页，共119页。作辅助(fzh)函数F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少(zhsho)存在一点,使得 从而(cng r)有第16页/共119页第十六页，共119页。例5证第17页/共119页第十七页，共119页。第18页/共119页第十八页，共119页。四、小结(xioji)Rolle定理(dngl)Lagrange中值定理(dngl)Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式.第19页/共119页第十九页，共119页。练 习 题3(1,2),(2,3),(3,4)前者是后者的特殊(tsh)情形,加即可 增量(zn lin)导数(do sh)恒为零 第20页/共119页第二十页，共119页。第二节 洛必达法则(fz)一、型未定式 定理1 设f(x),g(x)满足下列条件(tiojin)：(1)f(x)=0,g(x)=0；(2)f(x),g(x)在 内可导,且g(x)0；(3)存在(或为)则第22页/共119页第二十二页，共119页。证 由条件(tiojin)(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件(tiojin)(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续 设x ,则f(x)与g(x)在x0,x或x,x0 上满足柯西定理的条件,当xx0时,显然(xinrn)有x0,由条件(3)得第23页/共119页第二十三页，共119页。例解如果(rgu)仍为 型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件，则可继续使用(shyng)洛必达法则.注意(zh y):第24页/共119页第二十四页，共119页。例2解第25页/共119页第二十五页，共119页。推论1 设f(x)与g(x)满足 (1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则证 令x=1/t,则x时,t0 第26页/共119页第二十六页，共119页。例3解第27页/共119页第二十七页，共119页。二、型未定式 定理2 设f(x),g(x)满足下列条件：(1)f(x)=,g(x)=；(2)f(x)和g(x)在 内可导,且g(x)0；(3)存在(或为)则 第28页/共119页第二十八页，共119页。推论2 设f(x)与g(x)满足 (1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X0,当xX时,f(x)和g(x)可导,且g(x)0;(3)存在(或为)则第29页/共119页第二十九页，共119页。例4解第30页/共119页第三十页，共119页。解例5第31页/共119页第三十一页，共119页。三、其它(qt)未定式 若对某极限(jxin)过程有f(x)0且g(x),则称limf(x)g(x)为0型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)且g(x),则称limf(x)-g(x)为-型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)且g(x),则称limf(x)g(x)为00型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)1且g(x),则称limf(x)g(x)为1型未定式若对某极限(jxin)过程有f(x)且g(x)0,则称limf(x)g(x)为0型未定式 第32页/共119页第三十二页，共119页。例6解关键:将其化为洛必达法则(fz)可解决的类型.步骤(bzhu):第33页/共119页第三十三页，共119页。例7解第34页/共119页第三十四页，共119页。例8解步骤(bzhu):第35页/共119页第三十五页，共119页。步骤(bzhu):例9解第36页/共119页第三十六页，共119页。例10解例11解第37页/共119页第三十七页，共119页。例12解极限(jxin)不存在洛必达法则(fz)失效。注意(zh y)：洛必达法则的使用条件第38页/共119页第三十八页，共119页。例13解第39页/共119页第三十九页，共119页。练 习 题第40页/共119页第四十页，共119页。第41页/共119页第四十一页，共119页。第42页/共119页第四十二页，共119页。练习题答案(d n)第43页/共119页第四十三页，共119页。第三节 泰勒(ti l)公式 回顾微分(wi fn)概念:若 在点 的某邻域内可导，则有f(x)=f(x)f+f(x)即从而(cng r)在点 的某邻域内，f+上式表明，如果我们用关于 的一次多项式作为 的函数值，则其误差是关于 的一个高阶无穷小.f(x)近似公式有两点不足:(1)精度不高；(2)没有误差估计式.第44页/共119页第四十四页，共119页。于是，设想用一个(y)关于 的n次多项式与一个关于(guny)的高阶无穷小来表达函数 ，即使f(x)f(x)=英国数学家泰勒提出并证明(zhngmng)了上述设想的正确性.显然如此下去，有第45页/共119页第四十五页，共119页。从而(cng r)有第46页/共119页第四十六页，共119页。第47页/共119页第四十七页，共119页。为函数(hnsh)在点 处的n阶泰勒公式.f(x)而且(r qi)从而(cng r)当x时，(x)是关于的高阶无穷小，(x)=o(）,称这种形式的余项为皮亚诺余项()作为 的近似值，由此可见，如果我们用x则其误差有估计式f(x)称=0，于是余项又可以表示为第48页/共119页第四十八页，共119页。称为(chn wi)拉格朗日型余项特别(tbi)地，当=0时的泰勒(ti l)公式，又称为马克劳林公式：+(在0与 之间)，+o()f()=f(0)+f(0)+或 f()=f(0)+f(0)+第49页/共119页第四十九页，共119页。具有拉格朗日型余项的马克(mk)劳林公式也可写成：+(01)f(x)=f(0)+f(0)x+二、函数的泰勒(ti l)展开式举例第50页/共119页第五十页，共119页。例1 写出函数(hnsh)的n阶马克劳林公式(gngsh)，并利用的近似值，并估计(gj)误差f(x)=三阶马克劳林多项式计算解 由,，=,得f（x)=(x)=()=f(0)=1,f（0)=1,，于是得的马克劳林公式为 +（0)=1,=1+x+(在0与x之间)，+，1+x+误差为因此第51页/共119页第五十一页，共119页。,n=3,则取x=1+16458，其误差(wch)0.0047 0.005=5第52页/共119页第五十二页，共119页。例2 写出函数(hnsh)f(x)=sinx的n阶马克劳林公式第53页/共119页第五十三页，共119页。(-1)，（x）=，例3 求函数f(x)=为任意实数)在x=0点的泰勒(ti l)公式于是(ysh)有(-1)(-n+1),，f(0)=1,f(0)=,f(0)=(0)=从而(cng r)得f(x)=在x=0点的泰勒公式为=1+o()x+特别地，当=n(正整数)时，有+.=1+nx+解 由于f(x)=，f(x)=-1),，第54页/共119页第五十四页，共119页。常用(chn yn)函数的麦克劳林公式第55页/共119页第五十五页，共119页。定理(dngl)一、单调(dndio)性的判别法第四节 函数的单调(dndio)性与极值 第56页/共119页第五十六页，共119页。证 对任意(rny)x1,x2 a,b,设x10,x(-/2,/2),所以y=sinx在-/2,/2上严格单调(dndio)增加.例1 证明(zhngmng)y=sinx 在-/2,/2上严格单调增加.第58页/共119页第五十八页，共119页。例2解第59页/共119页第五十九页，共119页。上例中，函数在定义区间上不是单调(dndio)的，但在各个部分区间上单调(dndio)定义:若函数在其定义域的某个区间(q jin)内是单调的，则该区间(q jin)称为函数的单调区间(q jin).导数(do sh)等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:二、单调区间求法第60页/共119页第六十页，共119页。例3解单调(dndio)递增区间为单调递减(djin)区间为第61页/共119页第六十一页，共119页。例4解单调递减(djin)区间为单调(dndio)递增区间为第62页/共119页第六十二页，共119页。例5证注意:区间内个别(gbi)点导数为零,不影响区间的单调性.例如(lr),第63页/共119页第六十三页，共119页。单调(dndio)性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.应用：利用(lyng)函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.三、小结(xioji)第64页/共119页第六十四页，共119页。二、函数(hnsh)的极值 定义1 设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.若对任意x (x0),有 f(x)f(x0)f(x)f(x0),则称f(x)在点x0处取得(qd)极大值(极小值)f(x0),称为极大值点(极小值点)极大值和极小值统称(tngchng)为极值,极大值点和极小值点统称(tngchng)为极值点 第65页/共119页第六十五页，共119页。第66页/共119页第六十六页，共119页。通常称f(x)=0的根为函数f(x)的驻点(zh din).可见，可导函数的极值点一定是驻点(zh din)但要注意的是:驻点(zh din)不一定是极值点.第67页/共119页第六十七页，共119页。从几何直观看，定理的结论(jiln)很明显:第68页/共119页第六十八页，共119页。第69页/共119页第六十九页，共119页。第70页/共119页第七十页，共119页。例1解第71页/共119页第七十一页，共119页。第72页/共119页第七十二页，共119页。第73页/共119页第七十三页，共119页。例2解第74页/共119页第七十四页，共119页。练 习 题第75页/共119页第七十五页，共119页。练习题答案(d n)第76页/共119页第七十六页，共119页。而如果 在(a,b)内只有(zhyu)有限个驻点或导数不存在的点，不妨设为 ，第五节 最优化问题(wnt)求一个函数(称为目标(mbio)函数)的最大值或最小值问题 称为最优化问题.我们已经知道，若 在闭区间a,b上连续,则 在a,b上必取得最大值与最小值.如果最值在(a,b)内取得，则它一定是极值；最值也可能在区间端点x=a或x=b取得；第77页/共119页第七十七页，共119页。例1解第78页/共119页第七十八页，共119页。注:第79页/共119页第七十九页，共119页。，求它在定义域上的最大值和最小值例2 设f(x)=x解 (x+1)f(x)=令 0,得驻点(zh din)x=-1 f(x)=当x(-，-1)时，0；当x(-1，+)时,故x=-1为极小值点 f(x)0，f(x)从而(cng r)f(-1)=为f(x)的最小值.f(x)=+，又 f(x)=0,所以(suy)f(x)无最大值 第80页/共119页第八十页，共119页。一、最大利润(lrn)与最小成本问题 设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q)(Q为产量(chnling),则总利润L可表示为 L(Q)R(Q)-C(Q)要使利润(lrn)最大,必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即 R(Q)=C(Q)(1)此式表明当产出的边际收益等于边际成本 时，利润最大.L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即 R(Q)C(Q)(2)经济学中称(1)和(2)为“最大利润原则”或“亏损最小原则”假如L(Q)在(0,+)内二阶可导，则还要求第81页/共119页第八十一页，共119页。单位成本(即平均(pngjn)成本)最小的问题 设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为 最小,必须使产量Q满足条件 此式表明当产出的边际成本等于(dngy)平均成本 时，平均成本最小.第82页/共119页第八十二页，共119页。例3解总收益(shuy)R(Q)=PQ=60Q,总利润(lrn)L(Q)=R(Q)-C(Q)令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200,又L(Q0)=L(200)=-0.60，所以(suy)当日产量为Q0=200单位时可获最大利润.最大利润为 L(200)=3000(元)第83页/共119页第八十三页，共119页。例4 设某产品(chnpn)的总成本函数为试求平均成本最小时的产量(chnling)水平.C(Q)=54+18Q+6 ，解 因C(Q)=18+12Q，+18+6Q，令C(Q)=得Q=3(Q已舍)，所以(suy)当产量Q=3时可使平均成本最小.第84页/共119页第八十四页，共119页。例5某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去(ch q)当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去(ch q)，而租出去(ch q)的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租(fngz)为每月 元，租出去的房子(fng zi)有 套，每月总收入为第85页/共119页第八十五页，共119页。（唯一(wi y)驻点）故每月每套租金(zjn)为350元时收入最高。最大收入(shur)为第86页/共119页第八十六页，共119页。点击图片任意处播放暂停例6第87页/共119页第八十七页，共119页。解如图,第88页/共119页第八十八页，共119页。解得第89页/共119页第八十九页，共119页。二、库存(kcn)问题 假定计划期内货物(huw)的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.设计划(jhu)期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q=,进货周期为t=,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成 第90页/共119页第九十页，共119页。(1)进货(jn hu)费 (2)贮存费 于是总费用E可表示(biosh)为批量q的函数最优批量(p lin)q*应使一元函数E=f(q)达到最小值,第91页/共119页第九十一页，共119页。最优进货(jn hu)次数为 最优进货(jn hu)周期 最小总费用 第92页/共119页第九十二页，共119页。三、复利(fl)问题例7 设林场的林木(ln m)价值是时间t的增函数V=,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间 解 考虑到资金的时间因素,晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单(jindn)相比,而应折成现值 设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)=的现值,按连续复利计算应为第93页/共119页第九十三页，共119页。第94页/共119页第九十四页，共119页。四、其他(qt)优化问题例8 巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(kmh)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型 试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少?第95页/共119页第九十五页，共119页。解得唯一驻点v=26.15(kmh).由于这是一个实际问题，所以(suy)函数的最大值必存在.当车速v=26.15kmh时,车流量最大,且最大车流量为f(26.15)=8.8(辆/秒).第96页/共119页第九十六页，共119页。第六节 函数(hnsh)的凸性、曲线的拐点及渐近线一、函数的凸性、曲线(qxin)的拐点在(0,)上都是单调递增的,但它们增长的方式不同,从几何(j h)上来看，两条曲线弯曲的方向不同.函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性.第97页/共119页第九十七页，共119页。向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于(wiy)联结两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反 在曲线(qxin)y=f(x)上任取两点(x1,y1)和(x2,y2),设x10,则f(x)在a,b上是严格下凸的;(2)若在(a,b)内f (x)0,则f(x)在a,b上是严格上凸的.例解函数(hnsh)上凸或下凸的区间称为凹凸区间.第101页/共119页第一百零一页，共119页。定义2 设f(x)C(U(x0),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧(lin c)凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点例1解第102页/共119页第一百零二页，共119页。可见:若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点(ui din),则f(x0)=0或f(x0)不存在.反之不一定成立.第103页/共119页第一百零三页，共119页。例2 讨论(toln)-4 的凸性，并求拐点(ui din)y=3，这两个(lin)点将定义域(-,+)分成三个部分区间解 y=12 -12令y=0 得列表考察各部分区间上二阶导数的符号，确定出函数的凸性与曲线的拐点(“”表示下凸,“”表示上凸)：x(-，0)0(0,)(,+)y+0-0+y有拐点有拐点-24x=36x(x-)，y=36第104页/共119页第一百零四页，共119页。可见(kjin)，曲线在(-,0)及(，+)上是下凸的，在)上是上凸的，拐点(ui din)为(0，1)，)(0，及(第105页/共119页第一百零五页，共119页。二、曲线(qxin)的渐近线1.水平(shupng)渐近线定义3 设函数y=f(x)的定义域为无限区间,如果 f(x)=A或 f(x)=A(A为常数(chngsh),则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线例3解显然曲线有水平渐近线第106页/共119页第一百零六页，共119页。2.垂直(chuzh)渐近线 定义4 设函数y=f(x)在点x0处间断,如果 f(x)=或 f(x)=,则称直线(zhxin)x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线例4解故垂直(chuzh)渐近线为第107页/共119页第一百零七页，共119页。3.斜渐近线 定义(dngy)5 设函数y=f(x)的定义(dngy)域为无限区间,且它与直线y=ax+b有如下关系：f(x)-(ax+b)=0 或 f(x)-(ax+b)=0 则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线要求斜渐近线y=ax+b，关键在于确定(qudng)常数a和b.下面介绍(jisho)求a，b的方法:-a-=0,x因为所以将求出的a代入(1)式 得(2)(1)(f(x)-ax)-b=0，所以 第108页/共119页第一百零八页，共119页。例5解无水平(shupng)渐近线，x=-1为垂直渐近线又于是(ysh)曲线有斜渐近线第109页/共119页第一百零九页，共119页。三、函数图形(txng)的描绘(1)确定(qudng)y=f(x)的定义域;(3)求出f(x)=0和f(x)=0的根及其不存在(cnzi)的点,并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间;(2)讨论函数的奇偶性、周期性;(4)列表确定函数的单调区间和极值及曲线的凸向区间和拐点；(5)确定曲线的渐近线；(6)算出方程f(x)=0,f(x)=0的根所对应的函数值,定出图形上的相应点.(7)作图.第110页/共119页第一百一十页，共119页。例6解下凸、单调(dndio)增,下凸、单调(dndio)减,上凸、单调(dndio)增,上凸、单调减,描绘f(x)=2xe-x的图形.(1)定义域为(-,+),且f(x)C(-,+),(2)f(x)=2e-x(1-x),f(x)=2e-x(x-2),由f(x)=0得x=1,由f(x)=0得x=2,把定义域分为三个区间(-,1),(1,2),(2,+);第111页/共119页第一百一十一页，共119页。(3)列表(li bio)如下:x (-,1)1 (1,2)2(2,+)f(x)+0 -f(x)-0 +f(x)极大极大2/e拐点拐点(2.4/e2)f(x)=2xe-x第112页/共119页第一百一十二页，共119页。第113页/共119页第一百一十三页，共119页。的图形(txng)例7 作函数(hnsh)y=3x-解 (1)定义域为(-，+)；(2)函数是奇函数，所以函数的图形关于(guny)原点对称；=0(3)令y=3-3x =3(1-x)(1+x)=0,得驻点令y=-6x=0,得(4)列表讨论，由于对称性，这里也可以只列(0，+)上的表格，=-1,x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y-0+0-y+0-y极小值y=-2拐点（0，0）极大值y=2第114页/共119页第一百一十四页，共119页。(5)无渐近线；(6)已知点(0，0)、(1，2)，辅助(fzh)点(，0)、(-2，2)；，0)、(2，-2)，再利用函数(hnsh)的图形关于原点的对称性，找出对称点(-1，-2)、(-(7)描点作图 第115页/共119页第一百一十五页，共119页。的图形(txng)例8 描绘(miohu)f(x)=解 (1)函数(hnsh)的定义域为(-,+)，且f(x)为偶函数(hnsh)，只讨论(0，+)上该函数的图形又对任意x(-，+)有f(x)0，所以y=f(x)的图形位于x轴的上方(-1)(2)f（x)=-，f(x）=令f（x)=0 得x=0;令f(x）=0 得x=1(3)列表如下：第116页/共119页第一百一十六页，共119页。x 0(0,1)1(1,+)f（x)0 -0 +f(x）极大值拐点f()x(4)因=0,故有水平(shupng)渐近线y=0取辅助(fzh)点（0，），（，），(5)f(0)=,f(1)=，f(2)=（2，），第117页/共119页第一百一十七页，共119页。画出函数(hnsh)在0,+)上的图形，再利用对称性便得到函数(hnsh)在(-,0上的图形。第118页/共119页第一百一十八页，共119页。感谢您的观看(gunkn)！第119页/共119页第一百一十九页，共119页。
