微分方程及其分类学习教案.pptx
微分方程微分方程(wi fn fn chn)及其分类及其分类第一页，共41页。函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十分重要的，然而，在许多问题中，往往(wngwng)不能直接找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。第1页/共41页第二页，共41页。解解 为了便于阐述微分方程的有关为了便于阐述微分方程的有关(yugun)(yugun)概念，先看下面例子：概念，先看下面例子：例1 一曲线通过点，且在该曲线上任一点切线的斜率为，求这曲线的方程。对上式两边对上式两边(lingbin)积积分有分有由于所求曲线通过点一、微分方程一、微分方程(wi fn fn chn)的的概念概念第2页/共41页第三页，共41页。1.1.微分方程微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)的定义的定义凡含有未知函数(hnsh)以及未知函数(hnsh)的导数（或微分）的方程叫微分方程。例例2.2.微分方程微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)的分类的分类 3.3.微分方程的阶微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。第3页/共41页第四页，共41页。例例2 判断下列判断下列(xili)方程是否为微分方程？若是，方程是否为微分方程？若是，是几阶是几阶 的微分方程？的微分方程？解解（1）是，）是，1阶；阶；（2）是，）是，1阶；阶；（3）是，）是，2阶；阶；（4）是，）是，3阶；阶；（5）是，）是，1阶；阶；（6）不是）不是(b shi)。第4页/共41页第五页，共41页。4.4.微分方程微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)的解的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。（1）微分方 程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数(chngsh)的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解（2）微分方程的特解当微分方程的通解中各任意常数(chngsh)都取定值时所得的解（3）微分方程的初始条件第5页/共41页第六页，共41页。确定通解(tngji)中的任意常数的附加条件。5.5.微分方程微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)解的几何意义解的几何意义通解通解(tngji)(tngji)的的图象图象:积分曲线族积分曲线族.特解的图象特解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.例例3 3解解第6页/共41页第七页，共41页。又因为这个解中含有两个独立的任意常数又因为这个解中含有两个独立的任意常数 ，而方程为二阶微分方程，所以而方程为二阶微分方程，所以第7页/共41页第八页，共41页。因此因此(ync)方程满足初始条件的特解为方程满足初始条件的特解为第8页/共41页第九页，共41页。二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化.特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论(toln)，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.第9页/共41页第十页，共41页。在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定(wndng)场方程这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道(zh do)对于二次实曲线其中(qzhng)为常数，且设 10.2 数学物理方程的分类第10页/共41页第十一页，共41页。则当 时，上述(shngsh)二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆(tuyun)受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)进行分类.下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为第11页/共41页第十二页，共41页。（10.2.1）其中(qzhng)为的已知函数(hnsh)定理(dngl)10.2.1 如果 是方程(10.2.2)的一般积分，则 是方程第12页/共41页第十三页，共41页。(10.2.3)的一个(y)特解在具体求解方程(fngchng)(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式 1.当判别式 以求得两个(lin)实函数解 时，从方程(10.2.10)可第13页/共41页第十四页，共41页。也就是说，偏微分方程(wi fn fn chn)(10.2.1)有两条实的特征线于是，令即可使得(sh de)同时(tngsh)，根据(10.2.4)式，就可以断定 所以，方程(10.2.6)即为 (10.2.4)第14页/共41页第十五页，共41页。或者(huzh)进一步作变换于是(ysh)有所以(suy)第15页/共41页第十六页，共41页。又可以(ky)进一步将方程(10.2.11)化为 这种类型的方程称为双曲型方程我们前面建立(jinl)的波动方程就属于此类型2当判别式 时：这时方程(fngchng)(10.2.10)一定有重根第16页/共41页第十七页，共41页。因而(yn r)只能求得一个解，例如，特征(tzhng)线为 一条(y tio)实特征线作变换 就可以使 由(10.2.4)式可以得出，一定有，故可推出 这样就可以任意选取另一个变换，只要它和 彼此独立，即雅可俾式第17页/共41页第十八页，共41页。即可这样(zhyng)，方程(10.2.6)就化为 此类方程称为抛物型方程热传导（扩散(kusn)）方程就属于这种类型第18页/共41页第十九页，共41页。3.当判别式 面的讨论(toln)，只不过得到的 时：这时，可以(ky)重复上和 是一对共轭的复函数(hnsh)，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族于是是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量第19页/共41页第二十页，共41页。于是(ysh)所以(suy)方程(fngchng)(10.2.11)又可以进一步化为第20页/共41页第二十一页，共41页。这种类型(lixng)的方程称为椭圆型方程拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型(lixng)综上所述，要判断二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)属于何种类型，只需讨论判别式 即可.第21页/共41页第二十二页，共41页。10.3 二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)标准化对于(duy)二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为，则二阶线性偏微分方程分为(fn wi)三类：第22页/共41页第二十三页，共41页。时，方程(fngchng)称为双曲型;时，方程(fngchng)称为抛物型;时，方程(fngchng)称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程 因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，第23页/共41页第二十四页，共41页。设特征方程的解为 令 (10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程(wi fn fn chn)变为下列形式第24页/共41页第二十五页，共41页。(10.3.3)上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准(biozhn)形式，再作变量代换，令或 则偏微分方程(wi fn fn chn)又变为第25页/共41页第二十六页，共41页。(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程(wi fn fn chn)的第二种形式 注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外(ln wi)的函数。如 与是两个不同(b tn)的函数。2抛物型偏微分方程第26页/共41页第二十七页，共41页。因为(yn wi)抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数(hnsh)曲线，所以(suy)特征曲其特征方程的解为 (10.3.5)因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)第27页/共41页第二十八页，共41页。上式称为抛物型偏微分方程的标准(biozhn)形式3.椭圆型偏微分方程(wi fn fn chn)椭圆型偏微分方程(wi fn fn chn)的判别式，所以特征曲线是一组共轭复变函数族其特征方程的解为(10.3.7)若令 第28页/共41页第二十九页，共41页。(10.3.8)作自变量变换(binhun)，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为椭圆型偏微分方程(wi fn fn chn)的标准形式第29页/共41页第三十页，共41页。10.4 二阶线性常系数(xsh)偏微分方程的进一步化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面(xi mian)按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型 对于下列含常系数的第一种标准(biozhn)形式的双曲型标准(biozhn)方程还可进一步化简第30页/共41页第三十一页，共41页。注：上式中用(zhngyng)小写字母代表常系数(xsh)，以便与我们(w men)不妨令 大写字母代表某函数区别开来,例如为了化简，从而有(10.4.2)第31页/共41页第三十二页，共41页。其中(qzhng)由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数(xsh)）可以进一步化简(10.4.3)式中 均为常系数(xsh)若令第32页/共41页第三十三页，共41页。则有(10.4.4)(10.4.5)其中(qzhng)第33页/共41页第三十四页，共41页。对于(duy)含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（10.4.6）还可以(ky)进一步化简上式中小写字母 均为常系数(xsh)为了化简，不妨令 从而有 (10.4.7)2.抛物型第34页/共41页第三十五页，共41页。3.椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(fngchng)(含常系数)(10.4.8)还可以(ky)进一步进行化简上式中小写字母的 为常系数(xsh)第35页/共41页第三十六页，共41页。为了(wi le)化简，不妨令 从而(cng r)有 (10.4.9)其中(qzhng)第36页/共41页第三十七页，共41页。含有两个自变量的线性偏微分方程的一般(ybn)形式也可以写成下面的形式：其中(qzhng)L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数线性偏微分算符有以下(yxi)两个基本特征：10.5 线性偏微分方程解的特征第37页/共41页第三十八页，共41页。其中(qzhng)均为常数(chngsh)进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程(wi fn fn chn)的解有以下特性：为方程的解时，则也为方程的解；(1).当为方程的解，则也是方程的解；(2)若若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：第38页/共41页第三十九页，共41页。为非齐次方程(fngchng)的特解，为齐次方程(fngchng)的通解，则为非齐次方程(fngchng)的通解；(1)若若(2)若 则3线性偏微分方程的叠加原理需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠 第39页/共41页第四十页，共41页。加原理(yunl)，即若是方程(fngchng)（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果(rgu)级数 收敛，且二阶偏导数存在（其中 为任意常数），则 一定是方程 的解 程右端的级数是收敛的）（当然要假定这个方第40页/共41页第四十一页，共41页。
