概率论与数理统计课件第2章学习教案.pptx

会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(sh l tn j)课件第课件第2章章第一页，共119页。信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.1 随机变量及其分布(fnb)函数一、随机变量一、随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)二、随机变量的分布二、随机变量的分布(fnb)(fnb)函函数数第1页/共118页第二页，共119页。一、随机变量一、随机变量(su j(su j bin lin)bin lin)例 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数我们(w men)将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为第2页/共118页第三页，共119页。我们记取出的黑球数为 X，则X 的可能(knng)取值为1,2,3因此,X是一个变量但是，X取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量X 的取值情况可由下表给出：第3页/共118页第四页，共119页。由上表可以看出，该随机试验(shyn)的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间上的函数：我们定义了随机变量(su j bin lin)后，就可以用随机变量(su j bin lin)的取值情况来刻划随机事件例如 表示至少取出2个黑球(hi qi)这一事件，等等 表示取出2个黑球这一事件；第4页/共118页第五页，共119页。例例一大批产品中次品一大批产品中次品(cpn)率为率为p，从中任取，从中任取n件，件，求其中最多有求其中最多有k件次品件次品(cpn)的概率。的概率。求求P(B)第5页/共118页第六页，共119页。Bernoulli试验中，试验中，A表示表示(biosh)成成功，可设功，可设第6页/共118页第七页，共119页。此处用w表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素(yun s)w，而是用w表示所有的元素(yun s)。随机变量(su j bin lin)的定义定义：设随机试验(shyn)E的样本空间是=w，如果对于每一个w，有一个实数X(w)与之对应，且对任何一个实数 是随机事件，这样就得到一个定义在上的单值实值函数X=X(w)，称X=X(w)为随机变量,简记为X。第7页/共118页第八页，共119页。说 明第8页/共118页第九页，共119页。例例1 1 盒中有盒中有5 5个乒乓球个乒乓球,其中其中2 2个白球，个白球，3 3个个黄黄球球,从中任取从中任取3 3个个,记记X=“X=“取到白球的个数取到白球的个数”,”,则则X X是一个是一个(y)(y)随机变量随机变量,且且X X的可能取值是的可能取值是0,1,2,0,1,2,且且有有第9页/共118页第十页，共119页。例例2 2 上午上午 8:00 8:009:00 9:00 在某路口在某路口(lku)(lku)观观察，令察，令Y Y：该时间间隔内通过的汽车数则：该时间间隔内通过的汽车数则Y Y 就是一就是一个随机变量它的取值为个随机变量它的取值为 0 0，1 1，表示通过(tnggu)的汽车数小于100辆这一随机事件；表示(biosh)通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100辆这一随机事件第10页/共118页第十一页，共119页。随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件事件.引入随机变量后，对随机现象引入随机变量后，对随机现象(xinxing)(xinxing)统统计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验结果进行广泛而深入的研究机试验结果进行广泛而深入的研究.随机变量随机变量(su j bin lin)因其取值方式的不同，因其取值方式的不同，通常通常(tngchng)分为两类：分为两类：离散型随机变量连续型非离散型其它第11页/共118页第十二页，共119页。称为称为(chn wi)X(chn wi)X的分布函数的分布函数0 xxX 设X是一个随机变量,是任意实数(shsh),函数几何(j h)定义：二、随机变量的分布函数第12页/共118页第十三页，共119页。第13页/共118页第十四页，共119页。X的分布的分布(fnb)函函数为数为出现出现(chxin)的点数小于的点数小于x的概率的概率1,2,3,4,5,6例例3掷一枚骰子掷一枚骰子,设设X表示表示(biosh)出现的点数出现的点数,其其可能取值为可能取值为没有可能的点数没有可能的点数包含出现包含出现1点点包含出现包含出现1,2点点包含出现包含出现1,2,3点点包含出现包含出现1,2,3,4点点包含出现包含出现1,2,3,4,5点点包含出现包含出现1,2,3,4,5,6点点 分布函数是分布函数是累计概率累计概率第14页/共118页第十五页，共119页。分布函数分布函数(hnsh)(hnsh)的性质的性质(1)(3)F(x)右连续，即右连续，即(2)第15页/共118页第十六页，共119页。如果一个函数具有上述性质，则一定是某个如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的的分布函数分布函数.也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是是鉴别一个函数是否是某否是某 r.v 的分布函数的充分的分布函数的充分(chngfn)必要条件必要条件.第16页/共118页第十七页，共119页。例例4判别下列函数(hnsh)是否为某随机变量的分布函数(hnsh)?(1)(1)解(1)由题设,在上单调不减,右连续(linx),并有所以是某一随机变量的分布函数.第17页/共118页第十八页，共119页。例例4判别(pnbi)下列函数是否为某随机变量的分布函数?(2)(2)因在 上单调下降,不可能(knng)是分布函数.所以解第18页/共118页第十九页，共119页。用分布函数用分布函数F(x)F(x)表示表示(biosh)(biosh)的事件概率计的事件概率计算公式算公式第19页/共118页第二十页，共119页。例例5解解(1)(1)因为分布因为分布(fnb)(fnb)函数右连续函数右连续,且且第20页/共118页第二十一页，共119页。信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.2 离散型随机变量(su j bin lin)及其分布律一、离散型随机变量一、离散型随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的分布律的分布律二、离散型随机变量的分布二、离散型随机变量的分布(fnb)(fnb)函数函数第21页/共118页第二十二页，共119页。定义定义 如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值多个数值(shz)(shz)，并且所有的数可按一定的顺序排列，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量则称该随机变量为离散型随机变量.设离散设离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量X X其可能的取值为其可能的取值为称称为离散型随机变量为离散型随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X的概率的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律分布或概率函数，也称为分布列或分布律一、离散型随机变量一、离散型随机变量的的分布律分布律第22页/共118页第二十三页，共119页。表格表格(biog)(biog)形式形式分布分布(fnb)(fnb)列的性质：列的性质：第23页/共118页第二十四页，共119页。概率概率(gil)直方直方图图另外还可用图形另外还可用图形(txng)(txng)来表示分布律：线条图、概率来表示分布律：线条图、概率直方图直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图线条图0.20.40.6012PXPX0.075 0.325 0.6 0 1 2 X第24页/共118页第二十五页，共119页。例例1袋中有袋中有1 1个白球和个白球和4 4个黑球个黑球(hi qi)(hi qi)，每次不放，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布取球次数的概率分布.解解设设X X为取到白球时的取球次数为取到白球时的取球次数(csh)(csh)X的可能的可能(knng)取值取值为为1,2,3,4,5不难求得不难求得因此因此,所求的概率分布为所求的概率分布为1 2 3 4 50.2 0.2 0.2 0.2 0.2第25页/共118页第二十六页，共119页。则则的分布函数为的分布函数为即，即，当当时，时，时，时，当当当当时，时，当当时，时，二、离散型随机变量二、离散型随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)的分布函数的分布函数第26页/共118页第二十七页，共119页。如图，如图，是一个阶是一个阶它在它在有跳跃，有跳跃，反之反之(fnzh)(fnzh)，若一个随机变量若一个随机变量的分布函的分布函则则一定是一个离散型随机变量，一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由其概率分布亦由分布亦由分布亦由唯一确定唯一确定.梯函数梯函数(hnsh)(hnsh)，跳跃跳跃(tioyu)(tioyu)度恰为随机变量度恰为随机变量点处的概率点处的概率在在数，数，数为阶梯函数为阶梯函当当时，时，第27页/共118页第二十八页，共119页。例例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过的概率允许或禁止汽车通过.以以X表示汽车表示汽车首次首次(shu c)停下时，它已通过的信号灯的盏数，求停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分的分布律布律.(信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p第28页/共118页第二十九页，共119页。解解 以以p p表示每盏信号灯禁止表示每盏信号灯禁止(jnzh)(jnzh)汽车通过的汽车通过的概率，则概率，则X X的分布律为：的分布律为：pkp或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,301234(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 X PX=4=(1-p)4 第29页/共118页第三十页，共119页。以以p=1/2p=1/2代入得代入得X X的分布的分布(fnb)(fnb)律：律：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625X的分布的分布(fnb)函函数为数为 分布分布(fnb)函函数是累计概数是累计概率率第30页/共118页第三十一页，共119页。例例3有人对随机变量有人对随机变量X X的分布列表述的分布列表述(bio sh)(bio sh)如下如下:-1 0 1 2 3 求求 .解解根据根据(gnj)(gnj)概率分布的性质概率分布的性质所以所以(suy(suy)解得解得(舍去舍去)第31页/共118页第三十二页，共119页。作业作业P47练习(linx)2.1 2P51练习(linx)2.2 1 2第32页/共118页第三十三页，共119页。信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.3 几种(j zhn)常见的离散型分布一、两点分布一、两点分布(fnb)(fnb)二、二、二项分布二项分布三、泊松(Poisson)分布(fnb)四、超几何分布*第33页/共118页第三十四页，共119页。定义定义(dngy)若一个随机变量若一个随机变量只有两个可能的取值只有两个可能的取值,其分布其分布(fnb)为为且且特别特别(tbi)地地,点分布点分布,即即参数为参数为的两的两则称则称服从服从处处的的两点分布两点分布.参数为参数为若若服从服从处处则称则称服从参数为服从参数为的的分布分布.一、两点分布一、两点分布第34页/共118页第三十五页，共119页。两点分布两点分布(fnb)是最简单的一种分布是最简单的一种分布(fnb),任何一个只有两种可能结果的随机现任何一个只有两种可能结果的随机现象象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等种籽是否发芽等,都属于两点分布都属于两点分布(fnb).说明(shumng)第35页/共118页第三十六页，共119页。例1 抛掷一枚质地均匀的硬币(yngb),有两种可能的结果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量X，令 pi=P X=i=0.5 (i=0,1)X 0 1p0.5 0.5X的概率分布表：概率分布为第36页/共118页第三十七页，共119页。例例2200 件产品中,有 196 件是正品(zhngpn),则服从参数为 0.98 的两点分布.于是(ysh),4 件是次品(cpn),今从中随机地抽取一件,若规定第37页/共118页第三十八页，共119页。二、二项分布定义定义 若随机变量若随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,n,其概其概率分布为率分布为 很显然很显然,n重伯努利试验重伯努利试验(shyn)中成功的次数服从二项分中成功的次数服从二项分布布事实上事实上,二项分布就是来源于二项分布就是来源于n重伯努利试验重伯努利试验(shyn)模模型型第38页/共118页第三十九页，共119页。n=1时，即 PX=0=1-p,PX=1=pPX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，(0-1)分布(fnb)性性质质(x(xnngzgzhh)(1)(2)第39页/共118页第四十页，共119页。二项分布的图形二项分布的图形(txng)(txng)特点特点:对于固定对于固定及及当当增增加时加时,概率概率先先是是随随之之增增加加直直至至达达到到最最大值大值,随后单调减少随后单调减少.第40页/共118页第四十一页，共119页。在图在图1 1和图和图2 2中，中，分别给出了当分别给出了当和和时二项分布的图形时二项分布的图形.从图易从图易看出：看出：对于固定对于固定及及当当增加时，增加时，概率概率先是随之增加直至达到最大值，先是随之增加直至达到最大值，随后随后单调减少单调减少.pknOn=10,p=0.7图1第41页/共118页第四十二页，共119页。注注：为不超过为不超过的最大整数的最大整数.当当为整数时，为整数时，二项概率二项概率在在和和处达到最处达到最大值大值.可以证明，可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一一般的二项分布的图形也具有这一性质，性质，二项概率二项概率在在达到最大值；达到最大值；不为整数时，不为整数时，且当且当pknOn=10,p=0.7图1第42页/共118页第四十三页，共119页。例例3 3 一张考卷上有一张考卷上有5 5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4 4个个可能答案，其中只有一个答案是正确的某可能答案，其中只有一个答案是正确的某学学生靠猜测生靠猜测(cic)(cic)至少能答对至少能答对4 4道题的概率是道题的概率是多少？多少？解 每答一道(ydo)题相当于做一次伯努利试验，则第43页/共118页第四十四页，共119页。例例4 4 按规定按规定,某种型号电子元件的使用寿命超某种型号电子元件的使用寿命超过过15001500小时的为一级品小时的为一级品.已知某批产品的一级品已知某批产品的一级品率为率为0.2,0.2,现在从中随机地抽取现在从中随机地抽取2020只只,问问2020只元件只元件中恰有中恰有k(k=0,1,2,20)k(k=0,1,2,20)只为一级品的概率只为一级品的概率(gil)(gil)为多少？为多少？记X为20只元件(yunjin)中一级品的只数,解第44页/共118页第四十五页，共119页。解：将每次射击看成一次试验解：将每次射击看成一次试验(shyn),(shyn),设击中的次设击中的次数为数为X,X,则则XB(400,0.02),XB(400,0.02),某人进行射击(shj)，设每次射击(shj)的命中率为0.02，独立射击(shj)400次，求至少击中两次的概率。所求概率(gil)为第45页/共118页第四十六页，共119页。随机变量X所有可能(knng)取值为0,1,2,取各个值的概率称X服从(fcng)参数为的泊松分布,记为XP().(1)P X=k0.三、泊松(Poisson)分布(fnb)性性质质第46页/共118页第四十七页，共119页。泊松分布(fnb)的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做他们做了了26082608次观察次观察(每次时间每次时间(shjin)(shjin)为为7.57.5秒秒)发现放发现放射性物质在规定的一段时间射性物质在规定的一段时间(shjin)(shjin)内内,其放射的其放射的粒子数粒子数X X服从泊松分布服从泊松分布.第47页/共118页第四十八页，共119页。电话(dinhu)呼唤次数交通事故次数(csh)商场(shngchng)接待的顾客数地震火山爆发特大洪水 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.第48页/共118页第四十九页，共119页。例例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的的Poisson分布分布(fnb)，问一年中不多于两次，问一年中不多于两次意外断电的概率意外断电的概率.解解设一年中的意外设一年中的意外(ywi)断电次数断电次数为为X所以所以(suy),一年中不多于两次断电的一年中不多于两次断电的概率为概率为=0.06197查表查表(累积概率累积概率)第49页/共118页第五十页，共119页。二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近(bjn)(bjn)对二项分布对二项分布当试验次数当试验次数很大时，很大时，计计算其概率算其概率(gil)(gil)很麻烦很麻烦.例如例如(lr)(lr)，要计算要计算n=5000=5000故须寻求近似计算方法故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的这里先介绍二项分布的泊松逼近泊松逼近，在第五章中还将介绍二项分布的正态在第五章中还将介绍二项分布的正态逼近.第50页/共118页第五十一页，共119页。泊松定理泊松定理(dngl)在在重伯努利实验中，重伯努利实验中，事件事件在在每次试验中发生的概率为每次试验中发生的概率为若当若当时，时，为常数为常数),则有则有该定理(dngl)于1837年由法国数学家泊松引入！第51页/共118页第五十二页，共119页。二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 可见，当可见，当n充分大充分大,p又很小时又很小时(xiosh),可可用泊松分布来近似二项分布！用泊松分布来近似二项分布！实际实际(shj)计算中，计算中，时近似效果变很好时近似效果变很好.第52页/共118页第五十三页，共119页。由泊松定理由泊松定理(dngl)，n重伯努利试验中重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有(xyu)事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等第53页/共118页第五十四页，共119页。例例6 一家商店采用科学管理一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记由该商店过去的销售记录知道录知道,某种商品每月的销售数可以用参数某种商品每月的销售数可以用参数 的的泊松分布来描述泊松分布来描述,为了以为了以 95%以上以上(yshng)的把握保证不脱的把握保证不脱销销,问商店在月底至少应进该种商品多少件问商店在月底至少应进该种商品多少件?解设该商品每月的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即查泊松分布(fnb)表,得于是得于是得件件.第54页/共118页第五十五页，共119页。保险公司保险公司保险公司保险公司(b(b o xio xi n n nn s)s)为了估计企业的利润，为了估计企业的利润，为了估计企业的利润，为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司司司司(b(b o xio xi n n nn s)s)的某人寿保险险种有的某人寿保险险种有的某人寿保险险种有的某人寿保险险种有10001000人投保人投保人投保人投保,每个每个每个每个人一年内死亡的概率为人一年内死亡的概率为人一年内死亡的概率为人一年内死亡的概率为0.0050.005个，试求在未来一年中在这些个，试求在未来一年中在这些个，试求在未来一年中在这些个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过投保人中死亡人数不超过投保人中死亡人数不超过投保人中死亡人数不超过1010人的概率人的概率人的概率人的概率对每个人而言，在未来一年是否(sh fu)死亡相当于做一次伯努利试验，1000人就是做1000重伯努利试验，因此 XB(1000,0.005)，解由泊松定理(dngl)第55页/共118页第五十六页，共119页。作业作业P58练习(linx)2.3 1 2第56页/共118页第五十七页，共119页。信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.4 连续型随机变量(su j bin lin)及其密度函数一、密度一、密度(md)(md)函数函数二、有关二、有关(yugun)(yugun)事件的事件的概率概率三、几种常见的连续型分布第57页/共118页第五十八页，共119页。f()为X的概率密度函数,x简称密度函数简称密度函数(hnsh)(hnsh)或分布密或分布密度度.(或分布(fnb)密度函数),一、密度一、密度(md)(md)函数函数定义第58页/共118页第五十九页，共119页。xf(x)xF(x)分布函数与密度(md)函数几何意义第59页/共118页第六十页，共119页。根据定义根据定义(dngy),(dngy),可以得到密度函数的如下性可以得到密度函数的如下性质质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量(su j bin lin)的密度函数.第60页/共118页第六十一页，共119页。二、有关二、有关(yugun)(yugun)事件的事件的概率概率=0事实上事实上第61页/共118页第六十二页，共119页。积分积分(jfn)(jfn)中值中值定理定理第62页/共118页第六十三页，共119页。例例1 1设随机变量设随机变量X X的密度的密度(md)(md)函数为函数为求常数求常数A A及及X X的分布的分布(fnb)(fnb)函数和函数和 解解所以所以(su(suy)y)第63页/共118页第六十四页，共119页。1.1.如果随机变量如果随机变量(su j bin(su j bin lin)Xlin)X的密度函数为的密度函数为从密度函数从密度函数(hnsh)(hnsh)的意的意义可知义可知三、几种常见(chn jin)的连续型分布第64页/共118页第六十五页，共119页。均匀分布均匀分布(fnb)的分布的分布(fnb)函数为函数为第65页/共118页第六十六页，共119页。均匀分布的意义(yy)第66页/共118页第六十七页，共119页。例例2某公共汽车(gnggngqch)站从上午7时起,每15分钟来一班车(bnch),即7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车(qch)到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解 以7:00为起点 0,以分为单位,依题意第67页/共118页第六十八页，共119页。解以 7:00 为起点(qdin)0,以分为(fn wi)单位,依题意(t y)为使候车时间少于 5 分钟,乘客必须在 7:10 到7:15 之间,或在 7:25 到 7:30 之间到达车站,故所求概率为即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.第68页/共118页第六十九页，共119页。例例3 3 设随机变量设随机变量 X X 在在 2,5 2,5 上服从均匀分布上服从均匀分布,现现对对 X X 进行进行(jnxng)(jnxng)三次独立观测三次独立观测,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 3 的概率的概率.X 的分布密度(md)函数为 X 3 表示表示“对对 X 的观测的观测(gunc)值大于值大于 3 的概率的概率”,解因而有设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则第69页/共118页第七十页，共119页。2.如果随机变量如果随机变量(su j bin lin)X的密度函的密度函数为数为则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布的几何图形如图的几何图形如图.注：注：指数分布常用指数分布常用(chn yn)来描述对某来描述对某一事件一事件(shjin)发生的等待时间发生的等待时间.例如，例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.第70页/共118页第七十一页，共119页。指数分布的重要作用指数分布的重要作用,是常用它来作为各种是常用它来作为各种(zhn)“寿命寿命”的近似的近似,如通讯、保险、随机服务系统等方面如通讯、保险、随机服务系统等方面3.分布分布(略略)易求得易求得的分布函数的分布函数第71页/共118页第七十二页，共119页。例例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一次性缴纳保费一次性缴纳保费1000元，若被保险人在元，若被保险人在10年内死亡，年内死亡，保险公司将赔负保险公司将赔负5000元，假设元，假设(jish)人的寿命服人的寿命服从参数为从参数为1/65的指数分布的指数分布.试帮保险公司做出决策试帮保险公司做出决策.解解假设假设(jish)某人某人的寿命为的寿命为X假设某人假设某人(mu rn)投保时年龄投保时年龄超过超过S岁岁则此人再活则此人再活10年以上的概率为年以上的概率为第72页/共118页第七十三页，共119页。因此，被保险人在因此，被保险人在10年内死亡年内死亡(swng)的概率为的概率为所以所以(suy)保险公司对该被保险人的预期保险公司对该被保险人的预期收益为收益为1000-0.1426*5000=287(元元)结论结论:保险公司可以保险公司可以(ky)开展这种保险开展这种保险业务业务.一般化一般化在已活在已活s年的基础上年的基础上,再活再活t年的概年的概率等于寿命大于率等于寿命大于t年的概率年的概率.指数分布指数分布永远年轻永远年轻第73页/共118页第七十四页，共119页。作业作业P63 练习(linx)2.4 1 2 4第74页/共118页第七十五页，共119页。信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.5 正态分布一、正态分布的密度函数一、正态分布的密度函数(hnsh)(hnsh)及其及其特点特点二、标准二、标准(biozhn)(biozhn)正态分正态分布布三、一般(ybn)正态分布与标准正态分布的关系第75页/共118页第七十六页，共119页。一、正态分布的密度函数一、正态分布的密度函数(hnsh)(hnsh)及其特点及其特点第76页/共118页第七十七页，共119页。正态概率密度函数的几何(j h)特征第77页/共118页第七十八页，共119页。第78页/共118页第七十九页，共119页。第79页/共118页第八十页，共119页。正态分布正态分布(fnb)的分的分布布(fnb)函数函数第80页/共118页第八十一页，共119页。正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产(shngchn)的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用(yngyng)与背景 第81页/共118页第八十二页，共119页。正态分布下的概率(gil)计算原函数不是原函数不是(b shi)初等函数初等函数方法方法(fngf)二二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算方法一方法一:利用统计软件计算利用统计软件计算第82页/共118页第八十三页，共119页。标准(biozhn)正态分布的概率密度表示为标准正态分布的分布函数(hnsh)表示为二、标准二、标准(biozhn)(biozhn)正态正态分布分布第83页/共118页第八十四页，共119页。标准(biozhn)正态分布的图形第84页/共118页第八十五页，共119页。标准正态分布具有标准正态分布具有(jyu)如下如下特点特点第85页/共118页第八十六页，共119页。第87页/共118页第八十八页，共119页。例例1=0.7517=1-0.9591=0.0409=0.8925=2*0.975-1=0.95=0.9591-1+0.7517=0.7108=2*(1-0.9671)=0.0658第88页/共118页第八十九页，共119页。例例2第90页/共118页第九十一页，共119页。三、一般三、一般(ybn)(ybn)正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布的关系一般一般(ybn)正态随机变量正态随机变量：X N(,2)其分布(fnb)函数作变量代换作变量代换（1 1）一般正态随机变量与标准正态随机变量的分布）一般正态随机变量与标准正态随机变量的分布 函数之间的关系函数之间的关系第92页/共118页第九十三页，共119页。第94页/共118页第九十五页，共119页。命题命题(mng t)(mng t)：若：若 ，则，则证明证明(zhngmng)(zhngmng)：作变量代换作变量代换(di hun)(di hun)，得到得到。由此知：。由此知：（2 2）一般正态随机变量与标准正态随机变量之间的）一般正态随机变量与标准正态随机变量之间的 关系关系第95页/共118页第九十六页，共119页。例例3=2*0.8413-1=0.6826=2*0.97725-1=0.9545=2*0.99865-1=0.9973事件的发生事件的发生(fshng)几乎是必然几乎是必然的的第96页/共118页第九十七页，共119页。服从服从(fcng)(fcng)正态分布正态分布 的随机变的随机变量量X X 落在区间落在区间 内的概率为内的概率为0.99730.9973，落在该区间外的概率只有，落在该区间外的概率只有0.0027.0.0027.也也就是说就是说,X,X几乎不可能在区间几乎不可能在区间 之之外取值。外取值。由由3 3 原则原则(yunz)(yunz)知，知，第97页/共118页第九十八页，共119页。例例4 从某地去火车站有两条路线从某地去火车站有两条路线,第一条路线经过市区第一条路线经过市区(shq),路程较短路程较短,但交通拥挤，所需时间但交通拥挤，所需时间(分钟分钟)服从服从正态分布正态分布N(50,100),第二条路线经环城路，路程较长第二条路线经环城路，路程较长,所所需时间服从正态分布需时间服从正态分布N(60,16),若只有若只有70分钟可用分钟可用,应走哪应走哪一条路线一条路线?若只有若只有65分钟呢分钟呢?解解 设所需时间分别为设所需时间分别为T和和X,显然应走在允许的时间内显然应走在允许的时间内有较大概率及时赶到有较大概率及时赶到(n do)火车站的路线火车站的路线.(1)在在70分钟内分钟内,两条路线能及时两条路线能及时(jsh)赶到的概率分赶到的概率分别为别为因此在这种情况下，应走第二条路线因此在这种情况下，应走第二条路线.第99页/共118页第一百页，共119页。(2)在在65分钟内分钟内,两条路线能及时赶到两条路线能及时赶到(n do)的概率的概率分别为分别为因此因此(ync)在这种情况下，应走第一条在这种情况下，应走第一条路线路线.第100页/共118页第一百零一页，共119页。作业作业P68 练习(linx)2.5 2 3 4第101页/共118页第一百零二页，共119页。信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.6 随机变量(su j bin lin)函数及其分布一、随机变量函数一、随机变量函数(hnsh)(hnsh)的定义的定义二、离散二、离散(lsn)(lsn)型随机变量函数的分布型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布第102页/共118页第一百零三页，共119页。实例实例(shl)两个两个(lin)赌徒用一枚骰子进行赌博赌徒用一枚骰子进行赌博,甲若甲若掷出掷出x点点,则可得则可得(或付或付)10 x-35元元,分析甲在一次分析甲在一次掷骰子中的输赢掷骰子中的输赢.显然显然(xinrn)第103页/共118页第一百零四页，共119页。一一 、随机变量函数、随机变量函数(hnsh)(hnsh)的定义的定义分别就离散分别就离散(lsn)型随机变量和连续型随机变量型随机变量和连续型随机变量进行讨论进行讨论问题问题(wnt)定义：设定义：设 是是 上的实值函数，上的实值函数，是是 上的随机变上的随机变量，在量，在 上定义随机变量上定义随机变量 ，称，称 为随机变量为随机变量 的函数，记作的函数，记作 第104页/共118页第一百零五页，共119页。Y 的可能的可能(knng)值为值为 即 0,1,4.解例1二、离散型随机变量二、离散型随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)函数的分布函数的分布第105页/共118页第一百零六页，共119页。故 Y 的分布(fnb)律为由此归纳出离散型随机变量函数(hnsh)的分布的求法.第106页/共118页第一百零七页，共119页。离散(lsn)型随机变量的函数的分布第107页/共118页第一百零八页，共119页。Y 的分布(fnb)律为例2 设解第108页/共118页第一百零九页，共119页。第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布的分布(fnb)函数函数解例3三、连续型随机变量(su j bin lin)函数的分布解例3第109页/共118页第一百一十页，共119页。第二步 由分布(fnb)函数求概率密度.第110页/共118页第一百一十一页，共119页。解例4再由分布(fnb)函数求概率密度.第111页/共118页第一百一十二页，共119页。第112页/共118页第一百一十三页，共119页。当 Y=2X+3 时,有第113页/共118页第一百一十四页，共119页。第114页/共118页第一百一十五页，共119页。证明(zhngmng)X 的概率密度为例5第115页/共118页第一百一十六页，共119页。第116页/共118页第一百一十七页，共119页。作业作业P71练习(linx)2.6 1 2P72习题(xt)二第117页/共118页第一百一十八页，共119页。感谢您的观看(gunkn)。第118页/共118页第一百一十九页，共119页。