微分方程的基本概念12学习教案.pptx
微分方程微分方程(wi fn fn chn)的基本概念的基本概念12第一页，共31页。引例 一曲线(qxin)通过点(1,2),且在该曲线(qxin)上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求该曲线(qxin)的方程。解：设所求曲线(qxin)方程为：y=f(x)两边(lingbin)对x求积分：即 y=x2+C将x=1,y=2代入，得：2=1+C即 C=1故所求曲线为：y=x2+1由题意得：第1页/共31页第二页，共31页。定义1 含有未知函数的导数(或微分(wi fn)的方程。2.1、微分方程(wi fn fn chn)第2页/共31页第三页，共31页。定义1 含有未知函数的导数(或微分(wi fn)的方程。如：2.1、微分方程(wi fn fn chn)未知函数是多元函数，即含有偏导数的微分方程，称为偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程常微分方程第3页/共31页第四页，共31页。定义2 微分方程(wi fn fn chn)中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程(wi fn fn chn)的阶。二阶微分方程(wi fn fn chn)n阶微分方程的一般(ybn)形式为：F(x，y，y，y，y(n)=0一阶微分方程2.2、微分方程的阶第4页/共31页第五页，共31页。2.3、微分方程(wi fn fn chn)的分类分类(fn li)1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性(未知函数及其导数都是一次)非线性微分方程分类4:单个微分方程 与微分方程组.第5页/共31页第六页，共31页。定义3 若将某函数(hnsh)及其导数代入微分方程,可使方程成为恒等式,则称此函数(hnsh)为微分方程的解3.1、微分方程(wi fn fn chn)的解第6页/共31页第七页，共31页。例1 验证下列函数(hnsh)都是微分方程 y2y+y=0 的解.解:代入原方程(fngchng)是原方程的解.代入原方程：是原方程的解.第7页/共31页第八页，共31页。例1 验证下列(xili)函数都是微分方程 y 2y+y=0 的解.解:代入原方程(fngchng)：是原方程的解.解的线性组合也是解y=0也是解。均为解，有何区别？第8页/共31页第九页，共31页。通解(tngji)：微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并(hbng)了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解(tngji)与特解 特解：确定了通解中任意常数的解。例1中：通解特解既非通解，也非特解，是个解。奇解（但不是特解，不研究）通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数第9页/共31页第十页，共31页。通解(tngji)：微分方程的解中含有任意常数(chngsh)，这些常数(chngsh)相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解(tngji)与特解 特解：确定了通解中任意常数的解。特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，n阶微分方程就有n个定解条件第10页/共31页第十一页，共31页。求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意(rny)常数的值，可得特解。微分方程(wi fn fn chn)微分方程的通解定解条件如引例求解得：微分方程的特解第11页/共31页第十二页，共31页。解的图像:微分方程(wi fn fn chn)的积分曲线.通解的图像:积分(jfn)曲线族.3.3、微分方程解的几何意义过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.第12页/共31页第十三页，共31页。解例3 验证:函数 是微分方程 的解.并求满足初始条件 的特解.第13页/共31页第十四页，共31页。所求特解为练习(linx)：为微分方程(wi fn fn chn)的特解.函数 是微分方程 的解吗？如是解，请问是什么解?第14页/共31页第十五页，共31页。Basic concept of differential equations三、齐次方程三、齐次方程(fngchng)(fngchng)一、一阶微分方程一、一阶微分方程(wi fn(wi fn fn chn)fn chn)的形式的形式四、一阶线性微分方程四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程第15页/共31页第十六页，共31页。一般(ybn)形式:F(x,y,y)=0正规(zhnggu)型:微分(wi fn)型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型可化为如：下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。y=f(x,y)第16页/共31页第十七页，共31页。形式(xngsh)：即变量x的函数和微分(wi fn)与变量y的函数和微分(wi fn)已分离在等式两边（或已分离开来）.解法(ji f)：直接积分。例1、求通解：解：两边积分故原方程的通解为：2.1、已分离变量的微分方程第17页/共31页第十八页，共31页。例2 求通解(tngji)：解：两边(lingbin)积分得：故原方程的通解为：结论1:通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.第18页/共31页第十九页，共31页。形式(xngsh)：2.2、可分离变量(binling)的微分方程解法：先分离变量，再两边积分即可。或第19页/共31页第二十页，共31页。例3 解微分方程(wi fn fn chn)解:先分离(fnl)变量，再两边积分故原方程的通解为第20页/共31页第二十一页，共31页。若积分后出现对数,则可将任意(rny)常数写成 lnC 的形式,以利化简.说明:在解微分方程时,对形如积分,可直接得lnx,lny,不必加绝对值；dxx1dyy1例3 解题(ji t)过程可简化为：先分离变量：再两边积分第21页/共31页第二十二页，共31页。解：例4 求方程(fngchng)满足(mnz)初始条件y(1)=2的特解.分离变量积分得：故通解为:将x=1,y=2代入通解故所求特解为：得：C=10第22页/共31页第二十三页，共31页。例5 已知某商品的需求(xqi)量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,且该商品最大需求(xqi)量为240,求需求(xqi)函数Q=Q(p).解:依题意(t y),得:整理得：积分得:将p=0,Q=240代入,得:C=240故求需求函数为：第23页/共31页第二十四页，共31页。例6 设f(x)在(-，+)连续(linx),且满足:求f(x).注：积分方程(fngchng)求导后化为微分方程(fngchng);注意隐条件.+=xdttfxxf0)(2)(解：原方程对x求导：即：分离变量得：两端积分得：由原方程可知：f(0)=0 代入通解 C=2故第24页/共31页第二十五页，共31页。解：f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)故是齐次函数(hnsh),且是3次齐次函数(hnsh);故是齐次函数(hnsh),且是0次齐次函数(hnsh).复习:证明函数f(x,y)=50 xy2;都是齐次函数,并说明是几次齐次函数.yxyxyxf+-=),(),(),(yxfyxyxtytxtytxtytxf=+-=+-=3.1、齐次方程的引入第25页/共31页第二十六页，共31页。3.2、齐次方程(fngchng)及其解法解法：化标准形式；变量替换 ；分离变量；求通解；回代。标准(biozhn)形式：常见(chn jin)形式：如化为标准形式定义:微分方程 中,若为0次齐次函数,则称该方程为齐次微分方程,简称为齐次方程.第26页/共31页第二十七页，共31页。关于(guny)y的微分方程代入原方程(fngchng),得：关于(guny)u的微分方程分离变量,得：积分、整理得通解：回代得：是的解。第27页/共31页第二十八页，共31页。解：分离(fnl)变量得：例1.求微分方程(wi fn fn chn)的通解.代入原方程,得：两边积分得：故原方程的通解为：第28页/共31页第二十九页，共31页。例2.求 的通解(tngji).分离(fnl)变量得：解：原方程为：代入原方程,得：积分得:即通解为：第29页/共31页第三十页，共31页。作业作业作业(zuy(zuy(zuy)：习题(xt)10-2（P384）1(3)(4)(5)；2(2)(5)6;7第30页/共31页第三十一页，共31页。
