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会计学1概率论第五章概率论第五章第一页，共106页。2在一些实际问题中，我们需要了解随机变在一些实际问题中，我们需要了解随机变量量(su j bin lin)的分布函数外，更关心的分布函数外，更关心的是随机变量的是随机变量(su j bin lin)的某些特征。的某些特征。问题问题(wnt)的提出：的提出：第1页/共105页第二页，共106页。3 例：例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要在检查一批棉花的质量时，既需要(xyo)注意纤维的平均长度，又需要注意纤维的平均长度，又需要(xyo)注注意纤维长度与平均长度的偏离程度；意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。间的差异程度。第2页/共105页第三页，共106页。4试问哪个射手试问哪个射手(shshu)技术较好技术较好?例例:谁的技术谁的技术(jsh)比较好比较好?乙射手乙射手(shshu)甲射手甲射手第3页/共105页第四页，共106页。5 解：计算甲的平均成绩解：计算甲的平均成绩(chngj)(chngj)：计算乙的平均成绩计算乙的平均成绩(chngj)(chngj)：所以甲的成绩所以甲的成绩(chngj)(chngj)好于乙的成绩好于乙的成绩(chngj)(chngj)。第4页/共105页第五页，共106页。6定义：设离散型随机变量定义：设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数(j sh)则称级数则称级数(j sh)的值为的值为X的数学期望，记为的数学期望，记为E(X)，即，即4.1 4.1 数学数学(shxu)(shxu)期望期望(一一)数学期望数学期望(qwng)(qwng)定定义义第5页/共105页第六页，共106页。7定义：设连续型随机变量定义：设连续型随机变量X的概率密度函数的概率密度函数为为f(x)，若积分，若积分则称积分则称积分 的值为的值为X的数学的数学(shxu)期望，记为期望，记为E(X)，即，即数学期望简称数学期望简称(jinchng)期望，又称均值。期望，又称均值。第6页/共105页第七页，共106页。8例例1.1 澳门澳门(o mn)赌场猜大小游戏中有赌场猜大小游戏中有买买4点的游戏，游戏规则如下，掷点的游戏，游戏规则如下，掷3颗骰子，颗骰子，点数之和为点数之和为4赌场输，赌场赔率赌场输，赌场赔率1赔赔50,否则否则其押金归赌场所有其押金归赌场所有,问此规则对赌场还是赌问此规则对赌场还是赌客更有利客更有利?第7页/共105页第八页，共106页。9解：显然赌客猜中解：显然赌客猜中4点的概率为点的概率为3/216=1/72.设一赌客押了设一赌客押了1元元,那么根据规则那么根据规则,他赢他赢50元的概元的概率为率为1/72,输输1元的概率为元的概率为71/72.因此经过一次因此经过一次赌博赌博,他能他能期望期望(qwng)得到的金额为得到的金额为:所以对赌场有利所以对赌场有利.第8页/共105页第九页，共106页。10例例1.2 1.2 设随机变量设随机变量X X的分布的分布(fnb)(fnb)律为律为证明证明X X不存在数学期望不存在数学期望.证明证明:由于由于 即该无穷级数是发散的，由数即该无穷级数是发散的，由数学期望学期望(qwng)(qwng)定义知，定义知，X X不存在数不存在数学期望学期望(qwng).(qwng).第9页/共105页第十页，共106页。11例例1.3 1.3 设随机变量设随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为证明证明X X不存在不存在(cnzi)(cnzi)数学期望数学期望.证明证明:由于由于 由数学期望定义由数学期望定义(dngy)(dngy)知，知，X X不存在数不存在数学期望学期望.第10页/共105页第十一页，共106页。12第11页/共105页第十二页，共106页。13第12页/共105页第十三页，共106页。14第13页/共105页第十四页，共106页。15第14页/共105页第十五页，共106页。16例例1.7 某厂生产某厂生产(shngchn)的电子产品的电子产品,其寿命其寿命(单位单位:年年)服从指数分布服从指数分布,概率密度函数为概率密度函数为若每件产品的生产若每件产品的生产(shngchn)成本为成本为350元元,出售价出售价格为格为500元元,并向顾客承诺并向顾客承诺,如果售出一年之内发生故如果售出一年之内发生故障障,则免费调换一件则免费调换一件;如果在三年之内发生故障如果在三年之内发生故障,则予则予以免费维修以免费维修,维修成本为维修成本为50元元.在这样的价格体系下在这样的价格体系下,请问请问:该厂每售出一件产品该厂每售出一件产品,其平均净收入为多少其平均净收入为多少?第15页/共105页第十六页，共106页。17解：记某件产品寿命解：记某件产品寿命(shumng)(shumng)为为X(X(年年),),售出一件产品的售出一件产品的净收入为净收入为Y(Y(元元)，则，则由于由于(yuy)X(yuy)X服从指数分布，那么服从指数分布，那么第16页/共105页第十七页，共106页。18即即Y Y的分布的分布(fnb)(fnb)律为律为Y -200 100 150 p因此售出一件产品因此售出一件产品(chnpn)的平均净收入为的平均净收入为第17页/共105页第十八页，共106页。19(二二)随机变量函数随机变量函数(hnsh)(hnsh)的数学的数学期望期望第18页/共105页第十九页，共106页。20 定理的重要意义在于，求定理的重要意义在于，求E(Y)时，不必时，不必(bb)算出算出Y的分布律或概率密度函数，只利用的分布律或概率密度函数，只利用X的分布律或概率密度函数的分布律或概率密度函数;可以将定理推广到两个或两个以上随机变量可以将定理推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况的函数的情况.第19页/共105页第二十页，共106页。21第20页/共105页第二十一页，共106页。22第21页/共105页第二十二页，共106页。23第22页/共105页第二十三页，共106页。24 例例1.9 1.9 设随机变量设随机变量(su j bin lin)(X,Y)(su j bin lin)(X,Y)的联的联合密度函数为：合密度函数为：求求E(X),E(XY).E(X),E(XY).第23页/共105页第二十四页，共106页。25 例例1.9 1.9 设随机变量设随机变量(su j bin lin)(X,Y)(su j bin lin)(X,Y)的联的联合密度函数为：合密度函数为：求求E(X),E(XY).E(X),E(XY).第24页/共105页第二十五页，共106页。26例例1.10 1.10 某商店经销某种商品，每周进货量某商店经销某种商品，每周进货量X X与需求与需求量量Y Y是相互独立的随机变量，都是相互独立的随机变量，都U10,20.U10,20.商店每商店每售出一单位售出一单位(dnwi)(dnwi)商品可获利商品可获利1 1万元，若需求量万元，若需求量超过进货量，商店可从其他处调剂供应，此时每单超过进货量，商店可从其他处调剂供应，此时每单位位(dnwi)(dnwi)商品获利商品获利0.50.5万元；求商店经销该商品万元；求商店经销该商品每周所获利润的数学期望每周所获利润的数学期望.第25页/共105页第二十六页，共106页。27第26页/共105页第二十七页，共106页。28例例1.11 设按季节出售的某种应时产品的销售量设按季节出售的某种应时产品的销售量X(单位单位:吨吨)服从服从5,10上的均匀分布上的均匀分布.若销售出一吨产品可盈利若销售出一吨产品可盈利C1=2万元万元;但若在销售季节未能售完但若在销售季节未能售完,造成积压造成积压,则每吨产品则每吨产品将会净亏损将会净亏损C2=0.5万元万元.若该厂家需要提前生产该种商品若该厂家需要提前生产该种商品,为使厂家能获得为使厂家能获得最大的期望最大的期望(qwng)利润利润,问问:应在该季生产多少应在该季生产多少吨产品最为合适吨产品最为合适?第27页/共105页第二十八页，共106页。29解：设应在该季生产解：设应在该季生产(shngchn)a吨产品吨产品 ，所获利润为，所获利润为Y万元，则万元，则Y依赖于销售量依赖于销售量X及产量及产量a，第28页/共105页第二十九页，共106页。30第29页/共105页第三十页，共106页。31(三三)数学数学(shxu)(shxu)期望的性质期望的性质1.设设C是常数，则有是常数，则有E(C)=C,2.设设X是随机变量是随机变量,C是常数是常数,则有则有E(C X)=CE(X),3.设设X,Y是随机变量是随机变量,则有则有E(X+Y)=E(X)+E(Y),合起来为合起来为E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c.推广推广(tugung)到任意有限个随机变量线性组合：到任意有限个随机变量线性组合：第30页/共105页第三十一页，共106页。324.设设X,Y是相互独立是相互独立(dl)随机变量随机变量,则有则有 E(XY)=E(X)E(Y),推广到任意有限个相互独立推广到任意有限个相互独立(dl)随机变量之积：随机变量之积：第31页/共105页第三十二页，共106页。33下面仅对连续型随机变量给予(jy)证明证明证明(zhngmng)：第32页/共105页第三十三页，共106页。34第33页/共105页第三十四页，共106页。35第34页/共105页第三十五页，共106页。36第35页/共105页第三十六页，共106页。37例例1.13 1.13 一专用电梯载着一专用电梯载着1212位乘客从一层上升，位乘客从一层上升，最高最高1111层层.假设中途没有乘客进入，每位乘客独假设中途没有乘客进入，每位乘客独立立(dl)(dl)等概率地到达各层等概率地到达各层.如果没有乘客到达如果没有乘客到达某层楼，电梯在该层就不停某层楼，电梯在该层就不停.记电梯停留次数为记电梯停留次数为X X，求，求E(X).E(X).(设电梯到达设电梯到达1111层后乘客全部下完层后乘客全部下完)第36页/共105页第三十七页，共106页。38 解：引入随机变量解：引入随机变量(su j bin(su j bin lin)lin)：第37页/共105页第三十八页，共106页。39 本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有(jyu)一定的普遍意义。第38页/共105页第三十九页，共106页。40第39页/共105页第四十页，共106页。41第40页/共105页第四十一页，共106页。42第41页/共105页第四十二页，共106页。43第42页/共105页第四十三页，共106页。44第43页/共105页第四十四页，共106页。45第44页/共105页第四十五页，共106页。46第45页/共105页第四十六页，共106页。47第46页/共105页第四十七页，共106页。48第47页/共105页第四十八页，共106页。49第48页/共105页第四十九页，共106页。50第49页/共105页第五十页，共106页。51第50页/共105页第五十一页，共106页。52第51页/共105页第五十二页，共106页。534.2 4.2 方差方差(fn ch)(fn ch)设有一批灯泡寿命为：一半设有一批灯泡寿命为：一半设有一批灯泡寿命为：一半设有一批灯泡寿命为：一半(ybn)(ybn)约约约约950950小时，另一半小时，另一半小时，另一半小时，另一半(ybn)(ybn)约约约约10501050小时小时小时小时平均寿命为平均寿命为平均寿命为平均寿命为10001000小时；小时；小时；小时；另一批灯泡寿命为：一半另一批灯泡寿命为：一半另一批灯泡寿命为：一半另一批灯泡寿命为：一半(ybn)(ybn)约约约约13001300小时，另一半小时，另一半小时，另一半小时，另一半(ybn)(ybn)约约约约700700小时小时小时小时平均寿命为平均寿命为平均寿命为平均寿命为10001000小时；小时；小时；小时；问题：哪批灯泡的质量更好？问题：哪批灯泡的质量更好？问题：哪批灯泡的质量更好？问题：哪批灯泡的质量更好？单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命寿命X X与均值与均值(jn zh)1000(jn zh)1000小时的偏离程度。小时的偏离程度。方差方差正是体现这种意义的数学特征。正是体现这种意义的数学特征。第52页/共105页第五十三页，共106页。54(一一)方差方差(fn(fn ch)ch)的定义的定义定义定义(dngy)(dngy)设设X X是随机变量，若是随机变量，若 存在，存在，则称其为则称其为X X的方差，记为的方差，记为Var(X)Var(X)或或D(X),D(X),即即将将 记为记为 称为称为X的标准差或均方差的标准差或均方差(fn ch)，它与，它与X有相同的量纲有相同的量纲.方差方差Var(X)刻画了刻画了X取值的分散程度，取值的分散程度，若若 X取值比较集中，则取值比较集中，则Var(X)较小较小，反之，反之，若若X取取值比较分散，则值比较分散，则Var(X)较大较大.因此因此Var(X)是衡是衡量量X取值分散程度的一个指标取值分散程度的一个指标.第53页/共105页第五十四页，共106页。55对于离散对于离散(lsn)(lsn)型随机变量型随机变量X X，对于对于(duy)(duy)连续型随机变量连续型随机变量X X，第54页/共105页第五十五页，共106页。56 此外此外(cwi)(cwi)，利用数学期望的性质，可得方，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：差的计算公式：第55页/共105页第五十六页，共106页。57例例2.12.1设随机变量设随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)X具有具有0-10-1分分布，其分布律为：布，其分布律为：解：解：第56页/共105页第五十七页，共106页。58第57页/共105页第五十八页，共106页。59解：解：X X的密度的密度(md)(md)函数函数为：为：第58页/共105页第五十九页，共106页。60例例2.4 2.4 设随机变量设随机变量X X服从指数分布，其密度服从指数分布，其密度(md)(md)函数为：函数为：第59页/共105页第六十页，共106页。61(二二)方差方差(fn ch)(fn ch)的性质：的性质：第60页/共105页第六十一页，共106页。62推广到任意有限个独立随机变量推广到任意有限个独立随机变量(su j bin lin)线线性组合的情况性组合的情况第61页/共105页第六十二页，共106页。63证明证明证明证明(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)(zhngmng)：第62页/共105页第六十三页，共106页。64第63页/共105页第六十四页，共106页。65Xkp011-pp第64页/共105页第六十五页，共106页。66第65页/共105页第六十六页，共106页。67第66页/共105页第六十七页，共106页。第67页/共105页第六十八页，共106页。69表表1 1 几种常见分布几种常见分布(fnb)(fnb)的均值与方的均值与方差差数学数学(shxu)(shxu)期望期望 方差方差 分布率或 密度(md)函数 分布 01分布 p p(1-p)二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布 均匀分布U(a,b)指数分布正态分布第68页/共105页第六十九页，共106页。第69页/共105页第七十页，共106页。71第70页/共105页第七十一页，共106页。72 定义：设随机变量定义：设随机变量定义：设随机变量定义：设随机变量X X X X具有数学具有数学具有数学具有数学(shxu)(shxu)(shxu)(shxu)期望期望期望期望第71页/共105页第七十二页，共106页。734.3 4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数协方差的计算公式：协方差的计算公式：方差方差(fn ch)(fn ch)性质的补充：性质的补充：第72页/共105页第七十三页，共106页。74协方差的性质协方差的性质(xngzh)(xngzh)：第73页/共105页第七十四页，共106页。75思考题：思考题：第74页/共105页第七十五页，共106页。76定义定义 称为称为(chn wi)X与与Y的相关系数的相关系数.它它无量纲的量无量纲的量.相关系数的性质相关系数的性质(xngzh):第75页/共105页第七十六页，共106页。77续第76页/共105页第七十七页，共106页。78续第77页/共105页第七十八页，共106页。79第78页/共105页第七十九页，共106页。80第79页/共105页第八十页，共106页。81第80页/共105页第八十一页，共106页。82第81页/共105页第八十二页，共106页。83例例例例3.1 3.1 3.1 3.1 设设设设X,YX,YX,YX,Y服从服从服从服从(fcng)(fcng)(fcng)(fcng)同一分布，其分布律为：同一分布，其分布律为：同一分布，其分布律为：同一分布，其分布律为：X -1 0 1 X -1 0 1 X -1 0 1 X -1 0 1 p 1/4 1/2 1/4 p 1/4 1/2 1/4 p 1/4 1/2 1/4 p 1/4 1/2 1/4 已知已知 ,判断判断X和和Y是否不相关是否不相关(xinggun)？是否独立？是否独立？第82页/共105页第八十三页，共106页。84第83页/共105页第八十四页，共106页。85第84页/共105页第八十五页，共106页。86续第85页/共105页第八十六页，共106页。87第86页/共105页第八十七页，共106页。88第87页/共105页第八十八页，共106页。89第88页/共105页第八十九页，共106页。904.4 4.4 其它其它(qt)(qt)数字特征数字特征 第89页/共105页第九十页，共106页。91第90页/共105页第九十一页，共106页。92第91页/共105页第九十二页，共106页。934.5 4.5 多元随机变量多元随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的数字特征的数字特征 第92页/共105页第九十三页，共106页。94第93页/共105页第九十四页，共106页。利用利用利用利用(lyng)(lyng)(lyng)(lyng)协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推广，得到广，得到广，得到广，得到n n n n元正态变量的概率密度。元正态变量的概率密度。元正态变量的概率密度。元正态变量的概率密度。第94页/共105页第九十五页，共106页。96第95页/共105页第九十六页，共106页。97第96页/共105页第九十七页，共106页。第97页/共105页第九十八页，共106页。99n元正态变量具有以下元正态变量具有以下(yxi)四条重要性质：四条重要性质：第98页/共105页第九十九页，共106页。100第99页/共105页第一百页，共106页。第100页/共105页第一百零一页，共106页。第101页/共105页第一百零二页，共106页。第102页/共105页第一百零三页，共106页。104第103页/共105页第一百零四页，共106页。2023/2/27课件待续(di x)!第104页/共105页第一百零五页，共106页。106感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第105页/共105页第一百零六页，共106页。