正交基的求法学习教案.pptx
会计学1正交基的求法正交基的求法第一页，共35页。27二月2023第二章多项式矩阵(jzhn)1)多项式矩阵概念,初等变换;2)等价标准形,不变因子,行列式因子;3)初等因子;4)矩阵相似(xins)条件与相似(xins)标准形;27 二月 2023第1页/共35页第二页，共35页。第三章 欧氏空间(kngjin)定义定义(dngy)(dngy)及性质及性质 设V是R上的线性空间(kngjin),在V上定义了一个二元实函数,(,):VVR,它具有如下性质:1)对称性:(,)=(,),V;2)双线性:(+,)=(,)+(,),V,(k,)=k(,),kR3)正定性:(,)0,等号成立=0,V.称V为欧几里得空间.27 二月 2023第2页/共35页第三页，共35页。向量的向量的长长度度,距离距离(jl),夹夹角角 2)正齐次性:|k|=|k|,kR,V,27 二月 2023第3页/共35页第四页，共35页。4)向量的距离(jl):,V,非负实数称为(chnwi)与的距离.性质(xngzh):(4.1)对称性:d(,)=d(,);(4.2)正定性:d(,)0,等号成立,当且仅当 =;(4.3)三角不等式:d(,)d(,)+d(,),V.5)向量的夹角:非零向量 ,V的夹角规定为27 二月 2023第4页/共35页第五页，共35页。不等式不等式1)Cauchy-Schwartz不等式:|(,)|,V等号成立(chngl),当且仅当,线性相关.2)三角(snjio)不等式:|+|+|,V,正交、投影(tuyng)1)正交:,V,若(,)=0,则称,正交,记为 .2)投影:,V,定义(,)/(,),为 在 上的投影.其中 0.27 二月 2023第5页/共35页第六页，共35页。度量度量(dling)(dling)矩阵矩阵 设:由此,给定了一组基下的度量(dling)矩阵,就唯一定义了内积.27 二月 2023第6页/共35页第七页，共35页。度量(dling)矩阵的性质:27 二月 2023第7页/共35页第八页，共35页。幺正基27 二月 2023第8页/共35页第九页，共35页。3)性质(xngzh):i)正交基的度量矩阵(jzhn)为对角矩阵(jzhn),反之度量矩阵(jzhn)是对角矩阵(jzhn)的基是正交基.ii)标准正交基的度量(dling)矩阵为单位矩阵,度量(dling)矩阵为单位矩阵的基是标准正交基.27 二月 2023第9页/共35页第十页，共35页。5)标准(biozhn)正交基下的内积:27 二月 2023第10页/共35页第十一页，共35页。正交基的求法正交基的求法 1)定理:欧氏空间(kngjin)中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基.27 二月 2023第11页/共35页第十二页，共35页。2)施密特(Schmidt)正交化过程(guchng)(2.1)正交化:ii)取27 二月 2023第12页/共35页第十三页，共35页。3)一些(yxi)结果:i)由Schmidt正交化过程确定(qudng)的标准正交基到原基的过渡矩阵为上三角阵.ii)可逆矩阵(jzhn)可分解为正交矩阵(jzhn)和上三角阵的乘积.iii)标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,而由标准正交基和一个正交矩阵作为过渡矩阵所确定的基是标准正交基.v)正交矩阵之积是正交矩阵.27 二月 2023第13页/共35页第十四页，共35页。欧氏空间欧氏空间(kngjin)(kngjin)的同构的同构 1)定义(dngy):称R上欧氏空间V与V为同构的，系指由V到V有一个1-1映上的映射,适合i)线性(+)=()+(),V(k)=k(),kRii)保持(boch)内积:(),()=(,)则称为V到V的同构映射.2)性质:ii)两个有限维欧氏空间同构,当且仅当它们维数相同.27 二月 2023第14页/共35页第十五页，共35页。正交变换1)定义(dngy):欧氏空间V上的线性变换A称为正交变换,系指它保持V的向量内积不变,即,V有(A,A)=(,).2)性质(xngzh):(2.1)正交变换A是V到AV的一个(y)同构.(2.2)A是正交变换 V,|A|=|,A 将标准正交基变为标准正交基.A 在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.27 二月 2023第15页/共35页第十六页，共35页。(2.3)正交变换的逆是正交变换.(2.4)正交变换的乘积(chngj)是正交变换.(2.5)正交矩阵(jzhn)的乘积,正交矩阵(jzhn)的逆也是正交矩阵(jzhn).27 二月 2023第16页/共35页第十七页，共35页。正交子空间(kngjin)2)性质(xngzh):27 二月 2023第17页/共35页第十八页，共35页。对称(duchn)变换(1.1)(A)R.27 二月 2023第18页/共35页第十九页，共35页。(1.4)A的属于不同特征(tzhng)值的特征(tzhng)子空间正交.(1.6)任意(rny)二次型:都可以(ky)经过正交替换变成平方和27 二月 2023第19页/共35页第二十页，共35页。2)对称变换(binhun)定义:欧氏空间中满足(A,)=(,A),V的线性变换(binhun)A称为对称变换(binhun).27 二月 2023第20页/共35页第二十一页，共35页。27 二月 2023第21页/共35页第二十二页，共35页。27 二月 202323 第四章 二次型与二次曲面第22页/共35页第二十三页，共35页。27 二月 202324第23页/共35页第二十四页，共35页。27 二月 202325第24页/共35页第二十五页，共35页。27 二月 202326第25页/共35页第二十六页，共35页。4二次曲面的种类(zhngli)(注意：共有17种)一般(ybn)形式:令:则二次曲面的一般(ybn)形式可记为:27 二月 2023第26页/共35页第二十七页，共35页。定义(dngy)引理则原方程(fngchng)化为:27 二月 2023第27页/共35页第二十八页，共35页。1)不含一次项:椭球面虚椭球面原点单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面虚椭圆柱面直线(zhxin)27 二月 2023第28页/共35页第二十九页，共35页。2)含有(hnyu)一次项(抛物面):椭圆(tuyun)抛物面:双曲抛物面:抛物柱面:27 二月 2023第29页/共35页第三十页，共35页。27二月2023第五章第五章第五章第五章 双线性函数双线性函数双线性函数双线性函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)n n可以视为内积函数可以视为内积函数可以视为内积函数可以视为内积函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)的扩展的扩展的扩展的扩展27 二月 2023第30页/共35页第三十一页，共35页。27二月2023关于(guny)期末考试考试(kosh)时间和地点：时间:2017年1月4日(星期三)下午，具体时间待定地点:待定答疑时间和地点：1月2日上午 8：0011：00力学楼327办公室考试内容：本学期课堂讲授的内容,27 二月 2023第31页/共35页第三十二页，共35页。27二月2023难度(nd)按学校要求,有相应的优秀率与不及格率。考试(kosh)纪律:1)考试时携带学生证,以备教务部门随时查询;2)监考教师有权指定任何参加考试同学的坐位,请同学们严格按指定位置就坐;3)只携带考试用的笔及涂改工具,其它均视为与考试无关的东西,不得带入考场坐位,否则视为作弊;27 二月 2023第32页/共35页第三十三页，共35页。27二月20234)考前请同学(tng xu)们做好准备,交卷前不得以任何理由离开考场;5)因故不能参加考试的同学,必须提前履行书面申请,并经我院王建祥副院长批准(p zhn),对未经批准(p zhn)而未参加考试的同学,按旷考论处;6)根据学校有关规定,在考试成绩确定之前,不得以任何方式影响教师批改试卷(如找家长、辅导员、熟人说情，或给老师打电话，发邮件等);否则均视为考试作弊。成绩出来后可到系里直接查询。27 二月 2023第33页/共35页第三十四页，共35页。27二月2023第34页/共35页第三十五页，共35页。
